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- 2021-04-13 发布
2016-2017学年江苏省苏北四市联考高三（上）期中数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，则∁UA= ．
2．已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为 ．
3．函数y=cos（x+）的最小正周期为 ．
4．如图是一个算法的流程图，则输出x的值为 ．
5．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取 人．
6．若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为 ．
7．设实数x，y满足，则3x+2y的最大值为 ．
8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2=3，S4=16，则S9的值为 ．
9．将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是 ．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是 ．
11．若tanβ=2tanα，且cosαsinβ=，则sin（α﹣β）的值为 ．
12．已知正数a，b满足+=﹣5，则ab的最小值为 ．
13．已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB=8，CD=6，则•的取值范围是 ．
14．已知函数f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15．（14分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3．
（1）求角A的大小；
（2）若c=3，求b的长．
16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D．求证：
（1）直线A1E∥平面ADC1；
（2）直线EF⊥平面ADC1．
17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2）
（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；
（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．
18．（16分）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．
（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；
（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．
19．（16分）在数列{an}中，已知a1=，an+1=an﹣，n∈N*，设Sn为{an}的前n项和．
（1）求证：数列{3nan}是等差数列；
（2）求Sn；
（3）是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使Sp，Sq，Sr成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．
20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证：f（）≤0；
（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．
[选修4-1：几何证明选讲]
21．（10分）如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．
[选修4-2：矩阵与变换]
22．（10分）求椭圆C：+=1在矩阵A=对应的变换作用下所得的曲线的方程．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，求证：|2x+y﹣3|＜c．
七、解答题（共2小题，满分20分）
25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．
（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．
26．（10分）设n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值；
（2）证明：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．
2016-2017学年江苏省苏北四市联考高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．（2016秋•江苏期中）已知全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，则∁UA= {0，1} ．
【考点】补集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合．
【分析】根据补集的定义进行计算即可．
【解答】解：全集U={﹣1，0，1，2}，
集合A={﹣1，2}，
所以∁UA={0，1}．
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查了补集的定义与计算问题，是基础题目．
2．（2016秋•江苏期中）已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为 1 ．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由z（1﹣i）=2，得，
∴z的实部为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．（2016秋•江苏期中）函数y=cos（x+）的最小正周期为 4π ．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】计算题；定义法；三角函数的图像与性质．
【分析】找出ω的值，代入周期公式计算即可得到结果．
【解答】解：∵ω=，
∴函数的最小正周期T==4π，
故答案为：4π
【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．
4．（2016秋•江苏期中）如图是一个算法的流程图，则输出x的值为 23 ．
【考点】程序框图．
【专题】综合题；数形结合；数形结合法；算法和程序框图．
【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的S是什么．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知
第1次循环，x=5，n=2；
第2次循环，x=11，n=3；
第3次循环，x=23，n=4；
退出循环，输出x=23．
故答案为：23．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，是基础题．
5．（2016秋•江苏期中）某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取 8 人．
【考点】分层抽样方法．
【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计．
【分析】先求出足球、篮球、排球的成员的比例，再根据比例确定足球兴趣小组应抽取的学生数．
【解答】解：足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人则比例为40：60：20=2：3：1，
则足球兴趣小组中应抽取：24×=8人
故答案为：8．
【点评】本题考查基本的分层抽样，本题考查分层抽样的定义和方法，用样本容量除以每个个体被抽到的概率等于个体的总数．属基本题．
6．（2016秋•江苏期中）若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为 ．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】计算题；集合思想；定义法；概率与统计．
【分析】先求出基本事件总数，再求出这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数，由此能求出这两个数恰好为一奇一偶的概率．
【解答】解：随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，
基本事件总数n=，
这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数m==6，
∴这两个数恰好为一奇一偶的概率p==．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．
7．（2016秋•江苏期中）设实数x，y满足，则3x+2y的最大值为 3 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：
设z=3x+2y，则y=，
平移直线y=，由图象可知当直线y=，
经过点C时，直线y=的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即C（1，0），
此时zmax=3×1+2×0=3，
故答案为：3
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
8．（2016秋•江苏期中）设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2=3，S4=16，则S9的值为 81 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2=3，S4=16，
∴a1+d=3，4a1+d=16，
解得a1=1，d=2．
则S9=9+×2=81．
故答案为：81．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．（2016秋•江苏期中）将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是 ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】综合题；方程思想；演绎法．
【分析】几何体为两个同底等高的圆锥的组合体．
【解答】解：等腰直角三角形的斜边长为4，斜边的高为2．
∴旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体．圆锥的底面半径为2，高为2．
∴几何体的体积V=2×=．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转体的结构特征和体积计算，属于基础题．
10．（2016秋•江苏期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】数形结合；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由B2F⊥AB1，可得•=0，即可得出．
【解答】解：F（c，0），A（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），
∴=（﹣c，b），=（a，b），
∵B2F⊥AB1，∴•=﹣ac+b2=0，
∴a2﹣c2﹣ac=0，
化为：e2+e﹣1=0，0＜e＜1．
解得e=，
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（2016秋•江苏期中）若tanβ=2tanα，且cosαsinβ=，则sin（α﹣β）的值为 ﹣ ．
【考点】两角和与差的正弦函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得 2sinαcosβ=cosαsinβ，再根据cosαsinβ=，求得 sinαcosβ的值，利用两角差的正弦公式求得sin（α﹣β）的值．
【解答】解：∵tanβ=2tanα，即=2，
∴2sinαcosβ=cosαsinβ．
∵cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，则sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣=﹣，
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．
12．（2016秋•江苏期中）已知正数a，b满足+=﹣5，则ab的最小值为 36 ．
【考点】基本不等式．
【专题】转化思想；不等式．
【分析】正数a，b满足+=﹣5，﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，解出即可得出．
【解答】解：∵正数a，b满足+=﹣5，
∴﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，
解得≥6，当且仅当=，+=﹣5，即a=2，b=18时取等号．
解得ab≥36．
故答案为：36．
【点评】本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．（2016秋•江苏期中）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB=8，CD=6，则•的取值范围是 [﹣9，0] ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用．
【分析】以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设出点M（x，y），表示出•，求出它的最值即可．
【解答】解：以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
如图所示；
且圆O的直径为AB，
设M（x，y），
则A（4，0），B（﹣4，0），
=（4﹣x，﹣y），
=（﹣4﹣x，﹣y）；
•=（4﹣x）（﹣4﹣x）+（﹣y）2=x2+y2﹣16，
又M是圆O的弦CD上一动点，且CD=6，
所以16﹣9≤x2+y2≤16，
即7≤x2+y2≤16，其中最小值在CD的中点时取得，
所以•的取值范围是[﹣9，0]．
故答案为：[﹣9，0]．
【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，解题的关键是建立适当的平面直角坐标系，表示出出•，是综合性题目．
14．（2016秋•江苏期中）已知函数f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣5] ．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由题意可得f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|=|x﹣2|（|x+2|+a）≤0，分离参数，得到a≤﹣|x+2|，设y=﹣|x+2|，x∈[﹣3，3]．画出图象，结合图象即可得到a的取值范围．
【解答】解：f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|=|x﹣2|（|x+2|+a）≤0，
当x=2时，f（x）=0恒成立，
当x≠2时，
∴|x+2|+a≤0，
∴a≤﹣|x+2|，
设y=﹣|x+2|，x∈[﹣3，3]．则其图象为：
由图象可知ymin=﹣5，
a≤﹣5，
故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]，
故答案为：（﹣∞，﹣5]
【点评】本题考查了参数的取值的范围，关键是分离参数，属于基础题．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15．（14分）（2016秋•江苏期中）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3．
（1）求角A的大小；
（2）若c=3，求b的长．
【考点】两角和与差的正切函数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】（1）利用两角和的正切函数公式表示出tan（B+C），把tanB和tanC的值代入即可求出tan（B+C）的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式得到tanA等于﹣tan（B+C），进而得到tanA的值，结合A的范围即可得解；
（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，sinC的值，进而利用正弦定理即可得解b的值．
【解答】（本题满分为10分）
解：（1）因为：tanB=2，tanC=3，tan（B+C）===﹣1，…（3分）
因为：A=180°﹣B﹣C，（4分）
所以：tanA=tan（180°﹣（B+C））=﹣tan（B+C）=1…
因为：A∈（0，π），
所以：A=．
（2）因为：c=3，tanB=2，tanC=3．
所以：sinB=，sinC=，
所以由正弦定理可得：b===2…（10分）
【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
16．（14分）（2016秋•江苏期中）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D．求证：
（1）直线A1E∥平面ADC1；
（2）直线EF⊥平面ADC1．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．
【分析】（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点．可得四边形B1BDE是平行四边形，进而证明四边形AA1ED是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明直线A1E∥平面ADC1．
（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，利用线面垂直的判定与性质定理可得AD⊥BB1，又△ABC是正三角形，可得AD⊥BC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论．
【解答】证明：（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点，
∴B1E∥BD且B1E=BD，
∴四边形B1BDE是平行四边形，
∴BB1∥DE且BB1=DE，又BB1∥AA1且BB1=AA1，
∴AA1∥DE且AA1=DE，
∴四边形AA1ED是平行四边形，
∴A1E∥AD，又∵A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，
∴直线A1E∥平面ADC1．
（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
又AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1，
又△ABC是正三角形，且D为BC的中点，∴AD⊥BC，
又BB1，BC⊂平面B1BCC1，BB1∩BC=B，
∴AD⊥平面B1BCC1，
又EF⊂平面B1BCC1，∴AD⊥EF，
又EF⊥C1D，C1D，AD⊂平面ADC1，C1D∩AD=D，
∴直线EF⊥平面ADC1．
【点评】本题考查了空间位置关系、线面平行与垂直的判定性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．（14分）（2016秋•江苏期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2）
（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；
（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆．
【分析】（1）求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程；
（2）求出P的轨迹方程，利用两圆的位置关系，即可得出结论．
【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，所以圆心C（2，0），半径为2．
因为l∥AB，A（﹣1，0），B（1，2），所以直线l的斜率为，
设直线l的方程为x﹣y+m=0，…（2分）
则圆心C到直线l的距离为．…（4分）
因为，
而，所以，…（6分）
解得m=0或m=﹣4，
故直线l的方程为x﹣y=0或x﹣y﹣4=0．…（8分）
（2）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x﹣2）2+y2=4，
PA2+PB2=（x+1）2+（y﹣0）2+（x﹣1）2+（y﹣2）2=12，
即x2+y2﹣2y﹣3=0，即x2+（y﹣1）2=4，…（10分）
因为，…（12分）
所以圆（x﹣2）2+y2=4与圆x2+（y﹣1）2=4相交，
所以点P的个数为2．…（14分）
【点评】本题考查了直线与圆的方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，是中档题．
18．（16分）（2016秋•江苏期中）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．
（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；
（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【专题】综合题；转化思想；演绎法．
【分析】（1）取AB中点G，则四边形BCEF的面积为，求出GF，即可求灌溉水管EF的长度；
（2）△ADC中，由余弦定理，得，即可求灌溉水管EF的最短长度．
【解答】解：（1）因为AD=DC=2，BC=1，∠ABC=∠BAD=90°，
所以，…（2分）
取AB中点G，则四边形BCEF的面积为，
即=，
解得，…（6分）
所以（km）．
故灌溉水管EF的长度为km．…（8分）
（2）设DE=a，DF=b，在△ABC中，，
所以在△ADC中，AD=DC=CA=2，
所以∠ADC=60°，
所以△DEF的面积为，
又，所以，即ab=3．…（12分）
在△ADC中，由余弦定理，得，
当且仅当时，取“=”．
故灌溉水管EF的最短长度为km．…（16分）
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查余弦定理，属于中档题．
19．（16分）（2016秋•江苏期中）在数列{an}中，已知a1=，an+1=an﹣，n∈N*，设Sn为{an}的前n项和．
（1）求证：数列{3nan}是等差数列；
（2）求Sn；
（3）是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使Sp，Sq，Sr成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．
【考点】数列的求和；等差关系的确定．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】（1）把给出的数列递推式an+1=an﹣，n∈N*，变形后得到新数列{3nan}，该数列是以1为首项，以﹣2为公差的等差数列；
（2）由（1）推出{an}的通项公式，利用错位相减法从而求得求Sn；
（3）根据等差数列的性质得到2Sq=Sp+Sr，从而推知p，q，r的值．
【解答】（1）证明：由an+1=an﹣，n∈N*，
得到3n+1an+1=3nan﹣2，
则3n+1an+1﹣3nan=﹣2．
又∵a1=，
∴3×a1=1，
数列{3nan}是以1为首项，以﹣2为公差的等差数列；
（2）由（1）可以推知：3nan=1﹣2（n﹣1），
所以，an=，
所以Sn=﹣﹣﹣﹣…﹣，①
Sn=﹣﹣﹣﹣…﹣，②
①﹣②，得
Sn=﹣2（+++…+）﹣，
=﹣2×﹣，
=，
所以Sn=．
（3）假设存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使Sp，Sq，Sr成等差数列．
则2Sq=Sp+Sr，
即=+．
由于当n≥2时，an=＜0，
所以数列{Sn}单调递减．
又p＜q，
所以p≤q﹣1且q至少为2，
所以≥，﹣=．
①当q≥3时，≥≥，
又＞0，
所以＜+，等式不成立．
②当q=2时，p=1，
所以=+．
所以=，
所以r=3，（数列{Sn}单调递减，解唯一确定）．
综上可知，p，q，r的值分别是1，2，3．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（16分）（2016秋•江苏期中）设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证：f（）≤0；
（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；导数的概念及应用．
【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；
（2）构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；
（3）由（1）可知，a=2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0，即可得出结论．
【解答】（1）解：当a=2时，f（x）=lnx﹣2x2+2x，f′（x）=﹣2x+1，
∴f′（1）=0，
∵f（1）=0，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0；
（2）证明：f（）=﹣lna﹣+1（a＞0），
令g（x）=﹣lnx﹣+1（x＞0），则g′（x）=，
∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增；x＞1时，g′（x）＜0，函数单调递减，
∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，
∴g（x）≤g（1）=0，
∴f（）≤0；
（3）解：由（1）可知，a=2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0，
∴若函数f（x）有且只有1个零点，则a=2．
【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
[选修4-1：几何证明选讲]
21．（10分）（2016•宿迁三模）如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．
【考点】与圆有关的比例线段．
【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．
【分析】连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆知，BD•BE=BA•BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC．
【解答】证明：连接AD，因为AB为圆的直径，
所以∠ADB=90°，
又EF⊥AB，∠AFE=90°，
则A，D，E，F四点共圆，
∴BD•BE=BA•BF，
又△ABC∽△AEF，
∴，即AB•AF=AE•AC
∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2．
【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．
[选修4-2：矩阵与变换]
22．（10分）（2016秋•江苏期中）求椭圆C：+=1在矩阵A=对应的变换作用下所得的曲线的方程．
【考点】几种特殊的矩阵变换．
【专题】选作题；转化思想；演绎法；矩阵和变换．
【分析】确定变换前后坐标之间的关系，代入椭圆方程，即可求出曲线的方程．
【解答】解：设椭圆C上的点（x1，y1）在矩阵A对应的变换作用下得到点（x，y），
则，…
则代入椭圆方程，得x2+y2=1，
所以所求曲线的方程为x2+y2=1．…（10分）
【点评】本题考查矩阵变换，考查学生的计算能力，确定坐标之间的关系是关键．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（2016秋•江苏期中）已知曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．
【分析】由展开得，再利用互化公式即可得出．
【解答】解：由展开得，
又ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴曲线C的直角坐标方程为．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
24．（2016秋•江苏期中）设c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，求证：|2x+y﹣3|＜c．
【考点】绝对值三角不等式．
【专题】选作题；转化思想；演绎法；不等式．
【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．
【解答】证明：由c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，
可得|2x+y﹣3|=|2（x﹣1）+（y﹣1）|
≤2|x﹣1|+|y﹣1|＜=c，
则|2x+y﹣3|＜c成立．
【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．
七、解答题（共2小题，满分20分）
25．（10分）（2016秋•江苏期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．
（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．
【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间角．
【分析】（1）分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出，，利用向量的夹角公式，即可求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
（2）求出平面PBC的一个法向量，利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．
【解答】解：（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因为∠BAD=90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．
分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则由AD=2AB=2BC=4，PA=4可得
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），
P（0，0，4），
又因为M为PC的中点，所以M（1，1，2）．
所以，，…（2分）
所以=，
所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为．…
（2）因为AN=λ，所以N（0，λ，0）（0≤λ≤4），则，，，
设平面PBC的法向量为=（x，y，z），
则令x=2，解得y=0，z=1，
所以=（2，0，1）是平面PBC的一个法向量．…（7分）
因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，
所以，
解得λ=1∈[0，4]，
所以λ的值为1．…（10分）
【点评】本题考查空间角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
26．（10分）（2016秋•江苏期中）设n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2．
（1）求f（1），f（2），f（3）的值；
（2）证明：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．
【考点】函数的值．
【专题】计算题；方程思想；归纳法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2，分别取n=1，2，3，能求出f（1），f（2），f（3）的值．
（2）利用用数学归纳法能证明对任意正整数n，f（n）是8的倍数．
【解答】解：（1）∵n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2，
∴f（1）=3+7﹣2=8，
f（2）=32+72﹣2=56，
f（3）=33+73﹣2=368．
证明：（2）用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，f（1）=3+7﹣2=8，成立；
②假设当n=k时成立，即f（k）=3k+7k﹣2能被8整除，
则当n=k+1时，
f（k+1）=3k+1+7k+1﹣2
=3×3k+7×7k﹣2
=3（3k+7k﹣2）+4×7k+4
=3（3k+7k﹣2）+4（7k+1），
∵3k+7k﹣2能被8整除，7k+1是偶数，
∴3（3k+7k﹣2）+4（7k+1）一定能被8整除，
即n=k+1时也成立．
由①②得：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值是8的倍数的证明，是基础题，解题时要认真审，注意数学归纳法的合理运用．