- 1.01 MB
- 2021-04-13 发布
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，故，，所以，故选C．
2．已知为虚数单位，复数满足，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．5
【答案】D
【解析】由已知得，故，故选D．
3．已知数列是以为公比的等比数列，且，则（ ）
A．31 B．24 C．21 D．7
【答案】A
【解析】由题意可知， ，则，所以，故选A．
4.已知向量和满足，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5．执行如下图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A． B. C. D.
【答案】D
是
否
开始
输出s
结束
【答案】D
6．已知函数（）的最小正周期为，若将其图象沿轴向右平移（）个单位，所得图象关于对称，则实数的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数的最小正周期为，所以，将其图象向右平移个单位可得的图象，根据其图象关于对称，可得，所以实数的最小值为，故选B.
7.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加四项体育比赛，每人限报其中一项，记事件“4名同学所报比赛各不相同”，事件“甲同学独报一项比赛”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，故选A．
8．函数的图象大致是（ ）
O
B
O
O
【答案】B
9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
10．设抛物线的焦点为，过点作斜率为的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，过点作轴的垂线与抛物线交于点,若,则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，，由抛物线定义得,则,代入抛物线方程中得,设,且①，②， ，①②两式相减整理得，所以直线的方程为
，选C．
11．在中，内角所对应的边分别为，且，若的面积，则面积的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，由正弦定理得，所以，，则，所以，由余弦定理得，，所以，当且仅当时等号成立，故，所以面积的最小值为，故选B．
12．已知函数若函数的图象与直线有四个不同的公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设、满足约束条件若目标函数为，则的最大值为 ．
【答案】
14．在三棱锥中，平面，，且三棱锥的最长的棱长为，则此三棱锥的外接球体积为________．
【答案】
【解析】因为平面，平面，所以，又因为，所以平面，所以，从而是三棱锥最长的棱，且是其外接球直径，故外接球半径长为，所以此三棱锥的外接球体积为．
15. 在平行四边形中，点在边上，且满足，点在的延长线上，且满足，若，，则的值为____________．
【答案】
【解析】因为, ,所以（）（）.
16．若一直线与圆和函数的图象相切于同一点，则点坐标为______．
【答案】
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）
已知数列中，，，且．
（I）求的值及数列的通项公式；
（II）设，且数列的前项和为，求．
【解析】（I）∵，，
∴，，由，得，……………………3分
于是，即,,
,…，.
以上各式累加得．……………………6分
18．（本小题满分12分）
一企业从某条生产线上随机抽取30件产品，测量这些产品的某项技术指标值,得到如下的频数分布表:
频数
2
6
18
4
(I)估计该技术指标值的平均数；（用各组区间中点值作代表）
(II) 若或，则该产品不合格，其余的是合格产品，试估计该条生产线生产的产品为合格品的概率；
(III)生产一件产品,若是合格品可盈利80元,不合格品则亏损10元,在(II)的前提下,从该生产线生产的产品中任取出两件，记为两件产品的总利润,求随机变量X的分布列和期望.
【解析】(I)该技术指标值的平均数为．……3分
(II)该条生产线生产的产品为合格品的概率是.……6分
（III）随机变量的所有可能取值为．
；；.…………9分
所以随机变量X的分布列为：
160
70
．……………………12分
19．（本小题满分12分）
如图，菱形中，，与相交于点，，.
（I）求证：平面；
（II）当直线与平面所成角的大小为时，求二面角的余弦值.
（II）以为原点，以所在直线分别为轴，轴，以过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.
则，.设，则，………………7分
，
设平面的法向量为，则
即，令，得，
，
直线与平面所成角的大小为，
，
解得或（舍），.………………10分
故平面的一个法向量为，又，，所以平面的一个法向量为，则，
故二面角的余弦值为．………………12分
20．（本小题满分12分）
已知椭圆，右焦点为，，且，椭圆的离心率为．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）设直线的方程为，当直线与椭圆有唯一公共点时，作于（为坐标原点），当时，求的值．
解得． ………………12分
21．（本小题满分12分）
已知函数是自然对数的底数）在处的切线与轴平行．
（I）求函数的单调递增区间；
（II）设．若，不等式恒成立，求的最大值．
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求的极坐标方程与的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点的极坐标为，与相交于两点,求的面积.
（Ⅱ）将代入曲线的极坐标方程，得，
故，．．．．．．7分
因为点的极坐标为，所以点到直线的距离为，．．．．．．．9分
所以. ．．．．．．．．10分
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【解析】（I），
当时，，解得，；
当时，，解得；
当时，，解得，，
综上所述，不等式的解集为.………………5分
（II）由题得，
当且仅当时，等号成立，即，
又不等式有解，则，解得或．………………10分