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- 2021-04-13 发布
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都匀一中2019-2020 学年度第一学期高一年级半期考试数学
第I卷
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分）
1.集合，， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
观察两集合，的公共元素即可得解.
【详解】解:因集合，，
所以,
故选:C.
【点睛】本题考查了集合交集的运算，属基础题.
2.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
要使函数有意义，则需根式有意义，即，求解即可.
【详解】解：要使函数有意义，则需，解得：，
即函数定义域为，
故选:D.
【点睛】本题考查了函数定义域的求法，属基础题.
3.下列函数为幂函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
由幂函数的定义可知，选A。
4.若指数函数在上是增函数, 则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由指数函数单调性可知，实数的取值范围是
考点：指数函数单调性
5.已知，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由分段函数解析式，观察自变量-3所在的区间，求得，再观察自变量2所在的区间，求解即可.
【详解】解：由分段函数解析式可得，，
即，
故选：C.
【点睛】本题考查了分段函数求值问题，属基础题.
6.下列函数中既是偶函数，又在上是单调递增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对于选项A，函数在上是单调递减函数，对于选项C，函数是非奇非偶函数，对于选项D，函数是奇函数，故选项A,C,D均不合题意，只有选项B符合题意.
【详解】解：对于选项A，函数是偶函数，在上是单调递减函数，即选项A不合题意；
对于选项B，函数是偶函数，在上是单调递增函数，即选项B符合题意；
对于选项C，函数是非奇非偶函数，即选项C不合题意；
对于选项D，函数是奇函数，即选项D不合题意，
即函数中既是偶函数，又在上是单调递增函数的是，
故选：B.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，属基础题.
7.下列函数中与函数y=x相等的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
函数的定义域为 ，而函数的定义域为 故函数与函数不相等；
函数 ，故函数与函数不相等；
函数的定义域为，而函数的定义域为 故函数与函数不相等；
函数的定义域为，且,故函数 与函数相等.
选D
8.，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由对数函数的单调性，指数函数的单调性，求出的大致范围即可得解.
【详解】解：因为，即，
因为，所以，
因为，所以，
即，
故选：B.
【点睛】本题考查了对数值及指数幂的运算，重点考查了对数值及指数幂的大小关系，属基础题.
9.若函数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数满足，再分别令，，列方程组求解即可.
【详解】解：因为函数满足，
令得：，①
令得：，②
联立①②得：，
故选:A.
【点睛】本题考查了利用赋值法求函数的值，属基础题.
10.函数的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：根据函数解析式易得，所以函数是奇函数，当x=1时，f(x)=0，当，得，故选A．
考点：函数图象的判断.
11.函数的图象向左平移个单位，所得图象与的图象关于轴对称，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设的图像与的图像关于轴对称，由函数图像的对称变换可得，再由函数图像的平移变换可得，得解.
【详解】解：设的图像与的图像关于轴对称，则，
再将的图像向右平移两个单位，得，
即，
故选:A.
【点睛】本题考查了函数图像的平移变换及对称变换，属基础题.
12.定义在上的偶函数满足：对任意的，，有
，且，则不等式解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由对任意的，，有，则函数在为减函数，又函数在上为偶函数，则函数在为增函数，再利用函数的性质可得等价于，再求解即可.
【详解】解：由对任意的，，有，则函数在为减函数，又函数在上为偶函数，则函数在为增函数，
又，则当时，，当或时，，
又等价于，即，即或，
即或，即或，
即不等式解集是.
故选：B.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性，主要考查了利用函数的性质求解不等式，重点考查了运算能力，属中档题.
第II卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.若不等式，则不等式的解集为_______.（用集合或区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】
由对数不等式的解法，解不等式即可得解.
【详解】解：因为，所以，即，
即不等式的解集为，
故答案为：.
【点睛】本题考查了对数不等式的解法，属基础题.
14.函数且的图象过定点P，则点P的坐标为______ ．
【答案】(2,4)
【解析】
【分析】
利用a0＝1（a≠0），取x＝2，得f（2）＝4，即可求函数f（x）的图象所过的定点．
【详解】当x＝2时，f（2）＝a2﹣2+3＝a0+3＝4，
∴函数f（x）＝ax﹣2+3的图象一定经过定点（2，4）．
故答案为（2，4）．
【点睛】本题考查了含有参数的函数过定点的问题，自变量的取值使函数值不含参数即可求出其定点．
15.若，则______
【答案】1
【解析】
【分析】
由求得，，利用对数的运算法则化简即可.
【详解】因为，
所以，
则，故答案为1.
【点睛】本题主要考查对数的运算与性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.
16.若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
函数有四个不同的零点 等价于与的图象有四个交点，将两个函数的图象在同一坐标系画出，即可观察出的取值范围.
【详解】函数有四个不同的零点等价于与的图象有四个交点，
的图象如图所示：
由图可知：.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数零点与方程的根之间的等价关系，考查利用数形结合思想解决问题，注意作图过程中利用偶函数的性质，画出关于轴对称的函数的图象.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）5.
【解析】
【分析】
（1）由对数的运算性质，代入运算即可；
（2）由指数的运算性质，代入运算即可.
【详解】解：（1）原式；
（2）原式.
【点睛】本题考查了对数的运算及指数的运算，属基础题.
18.已知集合，，且B⊆A.求实数m的取值范围．
【答案】{m|m≥－1}
【解析】
【分析】
由B⊆A，分类讨论①当B＝∅，②当B≠∅两种情况进行求解即可．
【详解】∵B⊆A，
(1)当时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
(2)当时，有
解得－1≤m＜2，
综上得，m的取值范围为{m|m≥－1}．
【点睛】本题主要考查了不等式的求解及集合的包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用．
19.某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线。
(1)写出第一次服药后，y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效。求服药一次后治疗有效的时间是多长？
【答案】（1） ； （2）服药一次后治疗有效的时间是5－＝小时.
【解析】
【分析】
（1）由函数图象的奥这是一个分段函数，第一段为正比例函数的一段，第二段是指数函数的一段，由于两端函数均过点，代入点的坐标，求出参数的值，即可得到函数的解析式；
（2）由（1）的结论将函数值代入函数的解析式，构造不等式，求出每毫升血液中函数不少于微克的起始时刻和结束时刻，即可得到结论.
【详解】（1）由题意，根据给定的函数的图象，可设函数的解析式为，
又由函数的图象经过点，
则当时，，解得，
又由时，，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由题意，令，即当时，，解得，
当时，，解得，
综上所述，可得实数的取值范围是，
所以服药一次后治疗有效的时间是小时.
【点睛】本题主要考查了一次函数与指数函数模型的应用，解答中认真审题，合理设出函数的解析式，代入求解是解答的关键，同时应用指数函数模型应注意的问题：(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型.
20.设，.（其中为常数）
（1）若为奇函数，求的值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由为奇函数，且函数定义域为，所以，求解即可；
（2）由不等式恒成立，则分离变量可得恒成立，再求范围，从而求得实数的取值范围.
【详解】解：（1）因为为奇函数，且函数定义域为，所以得，
经检验可得时，为奇函数，
即为奇函数时.
（2）因为，
由恒成立，
得恒成立，
因，所以，
所以，即.
故的取值范围是.
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值及不等式恒成立问题，重点考查了分离变量最值法，属基础题.
21.已知函数为偶函数，且．
（1）求的值，并确定的解析式；
（2）若(且)，求在上值域．
【答案】（1），；（2）当时，函数的值域为，当时，的值域为.
【解析】
试题分析：（1）因为，所以由幂函数的性质得，，解得，因为，所以或，验证后可知，；（2）由（1）知，函数在上单调递增，故按，两类，利用复合函数单调性来求函数的值域.
试题解析：
（1）因为，所以由幂函数的性质得，，解得，
因为，所以或，
当时，它不是偶函数；
当时，是偶函数；
所以，；
（2）由（1）知，
设，则，此时在上的值域，就是函数的值域；
当时，在区间上是增函数，所以；
当时，在区间上是减函数，所以；
所以当时，函数的值域为，当时，的值域为．
考点：幂函数单调性，复合函数值域.
【方法点晴】本题主要考查幂函数的单调性和复合函数单调性与值域的问题.根据题意，可以判断函数在上是单调递减的，所以幂函数的指数部分小于零，由此可以判断出可能的取值，然后逐一利用函数是偶函数来验证正确答案.第二问考查的是复合函数单调性，利用同增异减，可以快速判断函数的单调性，并由此求出最值.
22.已知函数的值满足（当时），对任意实数，都有
，且，，当时，.
（1）求的值，判断的奇偶性并证明；
（2）判断在上的单调性，并给出证明；
（3）若且，求的取值范围.
【答案】（1）1，为偶函数，证明见解析；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）令，可求得，再令，求得，即得为偶函数；
（2）利用定义法判断函数的单调性即可；
（3）由函数的奇偶性、单调性可得，即，得解.
【详解】解：（1）令，；
函数为偶函数.
证明如下：
令，则，，
，
故为偶函数；
（2）在上是增函数.
证明如下：设，，，
则，
，，，
，
故在上是增函数.
（3），
又，
，，
，，
，则，
又函数在上是增函数，
，即，
综上知，的取值范围是.
【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性及利用函数的性质求参数的范围，重点考查了运算能力，属中档题.