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- 2021-04-13 发布
第一部分
专题强化突破
专题二 函数与导数
第二讲 函数与方程及函数的应用
1
高考考点聚焦
2
核心知识整合
3
高考真题体验
4
命题热点突破
5
课后强化训练
高考考点聚焦
高考考点
考点解读
函数的零点
1.
利用零点存在性定理或数形结合法确定函数的零点个数或其存在范围，以及应用零点求参数的值
(
范围
)
．
2
．常以高次式、分式、指数式、对数式、三角式结构的函数为载体考查．
函数与方程
的综合应用
1.
确定高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构方程解的个数或由其个数求参数的值
(
范围
)
．
2
．常与函数的图象与性质的应用交汇命题．
函数的实际应用
1.
常涉及物价、投入、产出、路径、工程、环保等国计民生的实际问题，常以面积、体积、利润等最优化问题出现．
2
．常与函数的最值、不等式、导数的应用综合命题
.
备考策略
本部分内容在备考时应注意以下几个方面：
(1)
加强对函数零点的理解，掌握函数的零点与方程根的关系．
(2)
掌握研究函数零点、方程解的问题的方法．
(3)
熟练掌握应用函数模型解决实际问题的一般程序．
预测
2019
年命题热点为：
(1)
函数的零点、方程的根和两函数图象交点之间的等价转化问题．
(2)
将实际背景常规化，最后归为二次函数、高次式、分式及分段函数或指数式、对数式函数为目标函数的应用问题．
核心知识整合
2
．函数的零点
(1)
函数的零点及函数的零点与方程根的关系
对于函数
f
(
x
)
，把使
f
(
x
)
＝
0
的实数
x
叫做函数
f
(
x
)
的
________
，函数
F
(
x
)
＝
f
(
x
)
－
g
(
x
)
的零点就是方程
f
(
x
)
＝
g
(
x
)
的根，即函数
y
＝
f
(
x
)
的图象与函数
y
＝
g
(
x
)
的图象交点的
________.
(2)
零点存在性定理
如果函数
y
＝
f
(
x
)
在区间
[
a
，
b
]
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
____________
，那么函数
y
＝
f
(
x
)
在区间
(
a
，
b
)
内有零点，即存在
c
∈(
a
，
b
)
，使得
f
(
c
)
＝
0
，这个
c
也就是方程
f
(
x
)
＝
0
的一个根．
3
．
思想与方法
(1)
数学方法：图象法、分离参数法、最值的求法．
(2)
数学思想：数形结合、转化与化归、函数与方程．
零点
横坐标
f
(
a
)
·
f
(
b
)<0
1
．忽略概念
函数的零点不是一个
“
点
”
，而是函数图象与
x
轴交点的横坐标．
2
．
不能准确应用零点存在性定理
函数零点存在性定理是说满足某条件时函数存在零点，但存在零点时不一定满足该条件．即函数
y
＝
f
(
x
)
在
(
a
，
b
)
内存在零点，不一定有
f
(
a
)
f
(
b
)<0.
高考真题体验
C
C
D
B
(4,8)
(1,4)
(1,3]∪(4
，＋∞
)
命题热点突破
命题方向
1
函数的零点
B
C
A
『
规律总结
』
1
．
判断函数零点个数的方法
(1)
直接求零点：令
f
(
x
)
＝
0
，则方程解的个数即为零点的个数．
(2)
零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在
[
a
，
b
]
上是连续的曲线，且
f
(
a
)
·
f
(
b
)<0
，还必须结合函数的图象和性质
(
如单调性
)
才能确定函数有多少个零点．
(3)
数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
2
．
利用函数零点求参数值或取值范围的方法
(1)
利用零点存在的判定定理构建不等式求解．
(2)
分离参数后转化为求函数的值域
(
最值
)
问题求解．
(3)
转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
若将本例
(2)
条件变为
“
f
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
，且
f
(
x
＋
1)
＝
f
(
x
－
1)
，当
x
∈[0,1]
时，
f
(
x
)
＝
ln(
x
2
－
x
＋
1)
．
”
则函数
f
(
x
)
在区间
[0,4]
上有几个零点？
命题方向
2
函数与方程的综合应用
D
B
『
规律总结
』
应用函数思想确定方程解的个数的两种方法
(1)
转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式
(
方程
)
求解．
(2)
分离参数、转化为求函数的值域问题求解．
C
命题方向
3
函数的实际应用