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- 2021-04-13 发布
2019-2020学年度上学期高一年级期中考试
数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可得出两集合的取值范围，再进行交集运算．
【详解】因为，
所以.
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题．
2.函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
令对数的真数大于0，分母不等于0，列出不等式组，即可得到答案．
【详解】要使函数有意义，需满足，
解得且
故选：C.
【点睛】本题考查函数的定义域，求解时常需考虑开偶次方根的被开方数大于等于0、对数的真数大于0、底数大于0且不等于1、分母不为0等，注意函数的定义域是以集合形式或区间形式表示．
3.已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意知，函数图象的对称轴为，
∵函数在区间上是增函数，
∴，解得。选C。
4.下列函数是奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数的解析式可知A为偶函数，B中指数函数非奇非偶，C中函数值恒大于等于0不可能为奇函数，D中反比例函数，显然是奇函数.
【详解】对A，定义域关于原点对称，且，则函数为偶函数，故A错误；
对B，指数函数的图象恒在轴上方，图象不关于原点对称，函数为非奇非偶，故B错误；
对C，函数的图象恒在轴上方，图象不关于原点对称，函数为非奇非偶，故
C错误；
对D，反比例函数的定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数，故D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，求解时可以根据函数的解析式和性质想象函数图象，即可快速得到答案，即利用脑中有图的方法进行问题求解.
5.函数的零点个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
函数的零点个数方程解的个数函数与函数图象交点个数．
【详解】由得，
分别作出函数与，的图象如图：
由图象可知两个函数有2个交点，即函数的零点个数为2个，
故选：D.
【点睛】本题考查函数零点与方程的根与两个函数图象交点横坐标之间的转化关系，考查数形结合思想、转化与化归思想的应用，准确作出函数的图象是解题的关键．
6.已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设，所以，利用换元法求解析式．
【详解】设，所以.则，
即.
【点睛】本题考查换元法求解析式，解题的关键是，属于一般题．
7.设=20.3，=0.32，=log20.3，则，，的大小关系是（ ）
A. ＜＜ B. ＜＜ C. ＜＜ D. ＜＜
【答案】B
【解析】
试题分析：
考点：比较大小
8.如果某种放射性元素每年的衰减率是，那么的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间），可以得出一个方程，两边取对数，即可求出.
【详解】千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）为，
，两边取对数，
，即，
.
故选：C.
【点睛】本题以实际问题为问题载体，考查指数函数模型的构建及解指数方程，属于基础题．
9.若函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分段函数要求每一段函数均为单调的，根据这一条件列式即可.
【详解】函数是上单调递增函数，则要求每一段上函数均为增函数，
则要求
故答案为：B.
【点睛】本题考查了已知函数单调性求参的问题，要求每一段函数均为单调的，且要求在两段函数的连接点处，函数图像不能错位.
10.已知函数为定义在上奇函数,当时，,则的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据奇函数关于原点对称，先求出时，的值域，即可得到的值域．
【详解】当时，，
为定义在上的奇函数，，
则当时，，
综上.
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数值域的求解，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．
11.函数在上的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
画出函数的图象，通过观察函数图象得到其在上的最大值．
【详解】函数在上的图象，如图所示：
当时，；当时，；
所以最大值为.
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数图象研究函数的最大值，考查数形结合思想的应用.本题在画函数图象时，是先画出的图象，再把轴下方翻到轴上方.
12.设，，则（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】
容易得出，，即得出，，从而得出，．
【详解】，.
又，即，，
，．
故选：B.
【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，求解时注意总结规律，即对数的底数和真数同时大于1或同时大于0小于1，函数值大于0；若一个大于1，另一个大于0小于1，函数值小于0．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题纸对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.）
13.已知函数，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求，进而求出答案．
【详解】因为，所以则.
【点睛】本题考查分段函数求值问题，属于简单题．
14.函数的值域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用换元法，令，原函数的值域转化为求函数的值域.
【详解】令，原函数的值域转化为求函数的值域，
因为函数单调递减，
所以时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
【点睛】本题考查指数型复合函数的值域，考查换元法的应用，求解时引入新元，注意新元的取值范围.
15.函数的增区间是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由可求定义域，根据复合函数的单调性，要求函数的单调增区间，只要求在的单调增区间．
【详解】由，得，即定义域为．
设，
则当时，为增函数；
又也为增函数，
故函数的单调递增区间为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查对数函数与二次函数复合而成的复合函数的定义域、单调区间的求解，解题的关键是灵活利用对数函数的定义域及复合函数的单调性．
16.若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝＿＿＿＿.
【答案】
【解析】
当时，有，此时，此时为减函数，
不合题意.若，则，故，检验知符合题意
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知集合.
（1）当 时，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）当 时，可得，进而求出交集．
（2）由题可得，因为，所以，进而求出答案．
【详解】（1）因为，所以
因为
所以
（2），可得，所以
因为，所以
所以，即的取值范围为.
【点睛】本题考查集合的运算以及利用集合间的关系求参数，属于一般题．
18.计算
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用指数幂的运算法则进行运算，即可求得答案；
（2）利用对数运算法则、换底公式进行运算，即可求得答案.
【详解】（1）原式；
（2）原式
.
【点睛】本题考查指数幂运算法则和对数运算法则、换底公式、对数恒等式的综合运用，考查基本运算求解能力.
19.已知函数.
（1）判断函数奇偶性;
（2）若，且，求的值;
（3）求函数值域.
【答案】（1）奇函数；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的定义域并判断关于原点对称，再证明，从而得到函数为奇函数；
（2）构造为奇函数，从而得到，进而求得的值；
（3）利用分子分离法将函数化为，再利用不等式的性质求得函数的值域.
【详解】（1）的定义域为关于原点对称，
因为，
所以为奇函数.
（2）因为，所以，
所以函数为奇函数，
所以.
（3）因为，
又，
所以函数值域为.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断、函数值域的求解、不等式的性质运用，求解时要注意不等式的符号，即左边大于0不能弄错.
20.已知幂函数在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=2x-k.
(Ⅰ)求实数m的值；
(Ⅱ)当x∈(1，2]时，记ƒ(x)，g(x)的值域分别为集合A.B,若A∪B=A，求实数k的值范围.
【答案】(Ⅰ)m=0. (Ⅱ)[0.1].
【解析】
试题分析：(Ⅰ)根据幂函数的定义和性质即可求出的值；(Ⅱ)先求出的值域，再根据若，得到关于的不等式组，解得即可.
试题解析：(Ⅰ)依题意得.
∴或
当时，在(0,+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去.
∴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当时，函数和均单调递增.
∴集合，
又∵
∴
∴
∴
∴实数的取值范围是.
21.已知函数.
(1)判断在上的单调性（不需要证明）；
(2)求不等式的解集.
【答案】（1）单调递增；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据复合函数的单调性，同增异减可得在上的单调递增；
（2）将解析式代入不等式中，并进行对数运算化简得到分式不等式，从而求得不等式的解集.
【详解】（1）在上的单调递增；
（2）因为
所以
所以不等式的解集为：
【点睛】本题考查复合函数的单调性、对数不等式，求解时注意定义域优先法则的运用，考查基本运算求解能力.
22.已知函数.
(1)当时，求方程的解；
(2)若，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）．
【解析】
分析】
（1）由题意可得，由指数方程解法即可得到所求解；
（2）由题意可得，设，，，可得，即有，由对勾函数的单调性可不等式右边的最大值，进而得到所求范围．
【详解】（1）方程，即为，
即有，所以或，
解得或；
（2）若，不等式恒成立
可得，即，
设，，可得，
即有，
由在递增，可得时取得最大值，
即有．
【点睛】本题考查指数方程的解法和不等式恒成立问题的解法，注意运用换元法和参数分离法，结合对勾函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．