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- 2021-04-13 发布
格致中学高三开学考数学试卷
一.填空题
1.不等式 的解集为________
【答案】
【解析】
【分析】
将常数移到左边，通分得到答案.
【详解】
故答案
【点睛】本题考查了分式不等式 解法，属于基础题型.
2.已知向量 ， ，则 ________
【答案】13
【解析】
【分析】
先求出向量 （4，3，12），由此能求出| |．
【详解】∵向量 ， ，
∴ （4，3，12），
∴| | 13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查向量的模的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能
力，是基础题．
3.如果双曲线 的焦点在 轴上，焦距为 8，则实数 ________
【答案】
为
的
1 3x
>
1(0, )3
1 1 1 3 3 1 13 3 0 0 0 0 3
x x xx x x x
− −> ⇒ − > ⇒ > ⇒ < ⇒ < <
1(0, )3
(7, 1,5)a = − ( 3,4,7)b = − | |a b+ =
a b+ = a b+
( )7 15a = − ， ， ( )3 4 7b = − ，，
a b+ =
a b+ 16 9 144= + + =
2 2
13
x y
m m
− = y m =
4−
【解析】
【分析】
先化为标准式，再由焦距为 8，列出 m 方程，即可得到结论．
【详解】由题意，双曲线 的焦点在 y 轴上，则 =1，半焦距为 4，则
﹣m﹣3m＝16，
∴m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题．
4.函数 ， 的反函数为 ，则 ________
【答案】2
【解析】
【分析】
求出原函数的反函数，取 x＝4 即可求得 f﹣1（4）．
【详解】由 y＝f（x）＝x2（x＞0），
得 x ，
则函数 f（x）＝x2（x＞0）的反函数为 y＝f﹣1（x） ，
∴f﹣1（4） ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查反函数的求法及函数值的求法，是基础题．
5.若 ，则 ________
【答案】0 或 2
【解析】
【分析】
方程变形为 ，分为两种情况得到答案.
2 2
13
x y
m m
− =
2 2
3
y x
m m
−− −
2( )f x x= (0, )x∈ +∞ 1( )y f x−= 1(4)f − =
y=
x=
4 2= =
22sin cos cos 0α α α⋅ − = cotα =
(2sin cos ) cos 0α α α− ⋅ =
【 详 解 】 或
当 时：
当 时：
故答案为 0 或 2
【点睛】本题考查了三角函数运算，意在考查学生的计算能力.
6.若复数 的实部和虚部相等，且 （ 是虚数单位），则实数 的值为________
【答案】
【解析】
分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
详解】由 ，
得 z＝i（a+2i）＝﹣2+ai，
又∵复数 的实部和虚部相等，
∴a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
7.已知一组数据 ，1，0， ， 的方差为 10，则 ________
【答案】7 或
【解析】
【分析】
依据方差公式列出方程，解出即可。
【详解】 ，1，0， ， 的平均数为 ，
所以
解得 或 。
【
【
22sin cos cos 0 (2sin cos ) cos 0 cos 0α α α α α α α⋅ − = ⇒ − ⋅ = ⇒ =
2sin cos 0α α− =
cos 0α = cot 0α =
2sin cos 0α α− = cot 2α =
z i2i
z
a
=+ i a
2−
2
z ia i
=+
2
z ia i
=+
1− 2− x x =
8−
1− 2− x 2
5
x −
2 2 2 2 21 2 2 2 2 21 1 0 2 105 5 5 5 5 5
x x x x xx
− − − − − − − + − + − + − − + − =
7x = 8x = −
【点睛】本题主要考查方差公式的应用。
8.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋科学家杨辉、元代
数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等，某仓库中部
分货物堆放成“菱草垛”，自上而下，第一层 1 件，以后每一层比上一层多 1 件，最后一层是
件，已知第一层货物单价 1 万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的 ，若这堆货
物总价是 万元，则 的值为________
【答案】10
【解析】
【分析】
由题意可得第 n 层的货物的价格为 an＝n•（ ）n﹣1，根据错位相减法求和即可求出．
【详解】由题意可得第 n 层的货物的价格为 an＝n•（ ）n﹣1，
设这堆货物总价是 Sn＝1•（ ）0+2•（ ）1+3•（ ）2+…+n•（ ）n﹣1，①，
由① 可得 Sn＝1•（ ）1+2•（ ）2+3•（ ）3+…+n•（ ）n，②，
由①﹣②可得 Sn＝1+（ ）1+（ ）2+（ ）3+…+（ ）n﹣1﹣n•（ ）n
n•（ ）n＝10﹣（10+n）•（ ）n，
∴Sn＝100﹣10（10+n）•（ ）n，
∵这堆货物总价是 万元，
∴n＝10，
故答案为 10
【点睛】本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题解决问题的能力，属
于中档题．
n 9
10
9100 200( )10
n− n
9
10
9
10
9
10
9
10
9
10
9
10
9
10
× 9
10
9
10
9
10
9
10
9
10
1
10
9
10
9
10
9
10
9
10
9
10
91 ( )10
91 10
n−
= −
−
9
10
9
10
9
10
9100 200( )10
n−
9.若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围为
________
【答案】
【解析】
【分析】
由 函 数 在 区 间 上 单 调 递 增 ， 得 到 在 每 一 部 分 都 单 调 递 增 ， 且
，即可求出结果.
【详解】因为函数 在区间 上单调递增，
所以 在每一部分都单调递增，且 ，
即 ，解得 .
故答案为
【点睛】本题主要考查分段函数单调的问题，只需满足每一部分单调，并且特别主要结点位
置的取值即可，属于常考题型.
10.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为 ，再由乙猜甲刚才想的数字
把乙猜的数字记为 ，且 ，若 ，则称甲乙“心有灵犀”，
现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________
【答案】
【解析】
【分析】
试验发生的所有事件是从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 十个数中任取两个数由分步计数原
理知共有 10×10 种不同的结果，而满足条件的|a﹣b|≤2 的情况通过列举得到共 28 种情况，
代入公式得到结果．
【详解】试验发生的所有事件是从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 十个数中任取两个共有 10×10
2 2 1( ) lg 1
x xf x x m x
− ≤= − >
[0, )+∞ m
9
10m ≤
( )f x [ )0,+∞ ( )f x
21 2 lg 1 m− ≤ −
( ) 2 2 1
lg 1
x xf x x m x
− ≤= − >
[ )0,+∞
( )f x 21 2 lg 1 m− ≤ −
1
1 2 1
m
lg m
≤
− ≤ −
9
10m ≤
9
10m ≤
a
b *, { | 0 9, }a b n n n∈ ≤ ≤ ∈N | | 1a b− ≤
7
25
种不同的结果，
则|a﹣b|≤1 的情况有 0，0；1，1；2，2；3，3；4，4；5，5；6，6；7，7；8，8；9，9；
0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3；4，5；5，4；5，6；6，5；6，7；7，
6；7，8；8，7；8，9；9，8 共 28 种情况，
甲乙出现的结果共有 10×10＝100，
∴他们”心有灵犀”的概率为 P ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题．
11.若关于 的不等式 在 时恒成立，则实数 的取值范围是_____
【答案】
【解析】
【分析】
利用对数函数的单调性，将不等式去掉对数符号，再依据分离参数法，转化成求构造函数最
值问题，进而求得 的取值范围。
【 详 解 】 由 得 ， 两 边 同 除 以 ， 得 到 ，
，
，设 ， ，由函数 在 上递减，
所以 ，故实数 的取值范围是 。
【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，以及恒成立问题的常规解法——分离参数法。
12.已知 是 满足下列性质 的一个排列（ ， ），性质 ：排列
有且只有一个 （ ），则满足性质 的所有数列的个数
________
【答案】
【解析】
100
28
25
7= =
7
25
x 1
1
2
log (4 2 ) 0x xλ+ + ⋅ < 0x > λ
3λ ≥ −
λ
1
1
2
log (4 2 ) 0x xλ+ + ⋅ < 14 2 1x xλ+ + ⋅ > 2x
1 4 22
x
x
λ > − ⋅
0x > 2 1xt = > 1 4tt
λ∴ > − 1 4y tt
= − ( )1 + ∞，
1 4 1 4 3tt
− < − = − λ 3λ ≥ −
1 2, , , na a a⋅⋅⋅ 1,2, ,n⋅⋅⋅ T 2n ≥ n ∗∈N T
1 2, , , na a a⋅⋅⋅ 1i ia a +> {1,2, , 1}i n∈ ⋅⋅⋅ − T
( )f n =
2 1n n− −
【分析】
先根据题意得到 和 之间的关系： ，再计算
【详解】考虑 和 之间的关系，为此考虑两种情况下的 ：
第一种为 1 到 符合性质 排列，不妨设 ，此时 要么放在末尾要么放在 和
之间，这一共有 种情况；
第二种为 1 到 不符合性质 T 排列，此时若想插入数 使得序列满足性质 ，则前 个
数只能递增排列，然后插入 ，有 种情况；
故
设
易知
故答案为：
【点睛】本题考查了数列的递推公式得到数列的通项公式，找到递推公式是解题的关键，本
题还可以计算前面几项，归纳出通项公式，再利用数学归纳法得到答案.
二.选择题
13.如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
( )f n ( 1)f n − ( ) 2 ( 1) 1f n f n n= − + − ( )f n
( )f n ( 1)f n − ( )f n
1n − T 1i ia a +> n ia 1ia +
2 ( 1)f n −
1n − n T 1n −
n 1n −
( ) 2 ( 1) 1f n f n n= − + −
( ) 2 ( 1) 1 ( ) 1 2[ ( 1) ]f n f n n f n n f n n= − + − ⇒ + + = − +
1( ) 1 2n n na f n n a a −= + + ⇒ =
2
2(2) 1 4 4 2 2n n
nf a a −= ⇒ = ⇒ = × =
1( )) 2 ( 2n nf n n− − ≥=
2 1n n− −
【分析】
由三视图及正三棱柱的几何特征可得解.
【详解】由正三棱柱的几何特征知，俯视图中间有条实线，故选 C.
【点睛】本题主要考查了正三棱柱的几何特征和三视图的相关知识，属于基础题.
14.点 到直线 （ 为参数， ）的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先把直线的参数方程化成普通方程，再根据点到直线的距离公式可得．
【详解】由 消去参数 t 可得 3x﹣4y+5＝0，
根据点到直线的距离公式可得 d ．
故选：D．
【点睛】本题考查了直线的参数方程化成普通方程，点到直线的距离公式，属基础题．
15.若 表示两条直线， 表示平面，下列说法中正确的为（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】C
【解析】
对于选项 A， 与 可能平行，也可能在平面内，故 A 不正确。
对于选项 B， 与 可能平行、相交、垂直，故 B 不正确。
对于选项 C，由线面垂直的定义可得必有 ，故 C 正确。
对于选项 D， 与 可能相交、平行或异面，故 D 不正确。
( )2,0P 1 4 ,
2 3 ,
x t
y t
= +
= + t t R∈
3
5
4
5
6
5
11
5
1 4
2 3
x t
y t
= +
= +
2 2
3 2 0 4 5 11
53 4
× − × += =
+
a b、 α
a α⊥ a b⊥ b α∥ a α∥ a b⊥ b α⊥
a α⊥ b α⊂ a b⊥ a α∥ b α∥ a b
b α
b α
a b⊥
a b
选 C。
16.设向量 ， ，向量 中有 4 个 ，其余为 ，
向量 中有 3 个 ，其余为 ，则 的所有可能取值中最
小的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
由 分析求解即可
【详解】由题 ，要想数量积之和最小，数量积为 0 的个数越多越好；
中的 4 个 ，与 中 4 个 分别求数量积， 中的 3 个 ，
与 中 3 个 分别求数量积，之和为 0，剩余的 中的 3 个 ，分别与
中 3 个 求数量积之和为 3
故选：B
【点睛】本题考数量积运算，考查分析能力，是基础题
三.解答题.
17.在直三棱柱 中， ， ， .
（1）求异面直线 与 所成角的大小；
（2）求直线 与平面 的距离.
(cos ,sin )a α α= ( sin ,cos )b α α= −
1 2 10, , ,x x x⋅⋅⋅ a b
1 2 10, , ,y y y⋅⋅⋅ a b
1 1 2 2 10 10x y x y x y⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅
2 2
0, 1a b a b⋅ = = =
2 2
0, 1a b a b⋅ = = =
1 2 10, , ,x x x⋅⋅⋅ a
1 2 10, , ,y y y⋅⋅⋅ b
1 2 10, , ,x x x⋅⋅⋅ b
1 2 10, , ,y y y⋅⋅⋅ a
1 2 10, , ,x x x⋅⋅⋅ b
1 2 10, , ,y y y⋅⋅⋅ b
1 1 1ABC A B C− 90ABC∠ = ° 1AB BC= = 1 2BB =
1 1B C 1AC
1 1B C 1A BC
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
【分析】
（1） 或其补角就是异直线 与 所成角，我们可证 为直角三角形且
，故可得异面直线所成角的大小.
（2）先计算 ，再利用等积法求 到平面 的距离，它就是直线 到平面
的距离.
【详解】(1)因为 ，所以 (或其补角)是异直线 与 所成角.
因为 ， ， ，
所以 平面 ，所以 .
中， ，所以 ，
所以异面直线 与 所成角的大小为 .
(2)因为 平面 ，所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，
设 到平面 的距离为 ，因为 ，
，可得 ，
直线 与平面 的距离为 .
【点睛】异面直线所成角的计算，可通过平移把空间角转化为平面角，在可解的三角形中求
其大小.直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，求点面距时，注意利用题设中已有的线
面垂直，如果没有，则利用面面垂直构建线面垂直，也可利用等积法求点面距.
18.在△ABC 中，a=3，b−c=2，cosB= ．
（Ⅰ）求 b，c 的值；
arctan 5
2 5
5
1ACB∠ 1 1B C 1AC 1A AB∆
1 5A B =
1 1A B BCV − 1B 1A BC 1 1B C 1A BC
1 1B C BC∥ 1ACB∠ 1 1B C 1AC
BC AB⊥ 1BC BB⊥ 1AB BB B∩ =
BC ⊥ 1ABB 1BC A B⊥
1Rt A BC 1
1
5tan 51
A BACB BC
∠ = = = 1 arctan 5ACB∠ =
1 1B C 1AC arctan 5
1 1B C ∥ 1A BC 1 1B C 1A BC 1B 1A BC
1B 1A BC d 1 1 1B A BC A BB CV V− −=
1
1 1
3 3A BCS d∆∴ × =
1 1 1B BCS A B∆ × 2 5
5d =
1 1B C 1A BC 2 5
5
1
2
−
（Ⅱ）求 sin（B–C）的值．
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意列出关于 a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定 b,c 的值；
(Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得 的值.
【详解】(Ⅰ)由题意可得： ，解得： .
(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得： ，
结合正弦定理 可得： ，
很明显角 C 为锐角，故 ，
故 .
【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意
在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.已知抛物线 关于 轴对称，且经过点 .
（1）求抛物线 的标准方程及其准线方程；
（2）设 为原点，过抛物线 的焦点 作斜率不为 0 的直线 交抛物线 于两点 、 ，
抛物线的准线分别交直线 、 于点 和点 ，求证：以 为直径的圆经过 轴上的
两个定点.
【答案】（1）标准方程为 ，准线方程为 ；（2）证明见解析
【解析】
7
5
b
c
=
=
4 37
( )sin B C−
2 2 2 1cos 2 2
2
3
a c bB ac
b c
a
+ −= = −
− =
=
3
7
5
a
b
c
=
=
=
2 3sin 1 cos 2B B= − =
sin sin
b c
B C
= sin 5 3sin 14
c BC b
= =
2 11cos 1 sin 14C C= − =
( ) 4sin sin cos cos sin 37B C B C B C− = − =
C y (2, 1)−
C
O C F l C M N
OM ON A B AB y
2 4x y= − 1y =
【分析】
（1）设抛物线 C：x2＝﹣2py，代入点（2，﹣1），解方程可得 p，求得抛物线的方程和准线方
程；（2）抛物线 x2＝﹣4y 的焦点为 F（0，﹣1），设直线方程为 y＝kx﹣1，联立抛物线方程，
运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得 A，B 的坐标，可得 AB 为直径的圆方程，可令 x
＝0，解方程，即可得到所求定点．
【详解】（1）设抛物线 C：x2＝﹣2py，经过点（2，﹣1）．可得 4＝2p，即 p＝2，
可得抛物线 C 的方程为 x2＝﹣4y，准线方程为 y＝1；
（2）抛物线 x2＝﹣4y 的焦点为 F（0，﹣1），
设直线方程为 y＝kx﹣1，联立抛物线方程，可得 x2+4kx﹣4＝0，
设 M（x1，y1），N（x2，y2），
可得 x1+x2＝﹣4k，x1x2＝﹣4，
直线 OM 的方程为 y x，即 y x，
直线 ON 的方程为 y x，即 y x，
可得 A（﹣ ，1），B（﹣ ，1），
可得 AB 的中点的横坐标为﹣2（ ）＝﹣2• ﹣2k，
即有 AB 为直径的圆心为（﹣2k， 1），
半径为 | |＝2• 2 ，
可得圆的方程为（x+2k）2+（y﹣1）2＝4（1+k2），
化为 x2+4kx+（y﹣1）2＝4，
由 x＝0，可得 y＝﹣1 或 3．
则以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点（0，﹣1），（0，3）．
点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联
立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
【
1
1
y
x
= 1
4
x= −
2
2
y
x
= 2
4
x= −
1
4
x 2
4
x
1 2
1 1
x x
+ 4
4
k− =−
1
2 2
AB =
1 2
4 4
x x
− 216 16
4
k + = 21 k+
20.若数列 、 满足 ( N*)，则称 为数列 的“偏差数列”.
（1）若 为常数列，且为 的“偏差数列”，试判断 是否一定为等差数列，并说明
理由；
（2）若无穷数列 是各项均为正整数的等比数列，且 ， 为数列 的“偏
差数列”，求 的值；
（3）设 ， 为数列 的“偏差数列”， ， 且 ，
若 对任意 恒成立，求实数 M 的最小值.
【答案】（1）见解析；（2） 或 ；（3）
【解析】
【分析】
（1）{an}不一定为等差数列，如 ；
（2）设数列{an}的公比为 q，解方程可得首项和公比，由等比数列的通项公式和求和公式，
计算可得所求值；
（3）由累加法可得数列{an}的通项公式，讨论 n 为奇数或偶数，求得极限，由不等式恒成立
思想可得 M 的最小值．
【详解】解：(1) 如 ，则 为常数列，但 不是等差数列，
(2) 设数列 的公比为 ，则由题意， 、 均为正整数，
因为 ，所以 ，
解得 或 ，
故 或 ( N*)，
①当 时， ， ， ，
{ }na { }nb 1| |n n na a b+ − = n∈ { }nb { }na
{ }nb { }na { }na
{ }na 3 2 6a a− = { }nb { }na
1 2 3
1 1 1 1lim( )
n nb b b b→∞
+ + + +
116 ( )2
n
nb += − { }nb { }na 1 1a = 2 2 1n na a −≤ 2 2 1n na a +≤
| |na M≤ n∈ *N
3
4
2
3
29
6
( 1)n
na = −
( )1 n
na = − 2nb = { }na
{ }na q 1a q
3 2 6a a− = ( )1 1 6 1 2 3a q q − = = × ×
1 1
3
a
q
=
=
1 3
2
a
q
=
=
13n
na −= 13 2n
na −= × n∈
13n
na −= 12 3n
nb −= ×
11 1 1
2 3
n
nb
− = 1 2
1 1 1 3lim 4n nb b b→∞
+ +…+ =
② 当 时， ， ，
综上， 的值为 或 ；
(3) 由 ≤ 且 ≤ 得， =
故有： ，
，
，
累加得：
=
= ，
又 ，所以
当 n 为奇数时， 单调递增， ， ，
当 n 为偶数时， 单调递减， ， ，
从而 ≤ ，所以 M≥ ，即 M 的最小值为 ．
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，
考查分类讨论思想方法，化简运算能力，属于难题．
13 2n
na −= × 13 2n
nb −= ×
11 1 1
3 2
n
nb
− = 1 2
1 1 1 2lim 3n nb b b→∞
+ +…+ =
1 2 3
1 1 1 1lim
n nb b b b→∞
+ + + +
3
4
2
3
2na 2 1na − 2na 2 1na + ( ) 1
1
11 6 2
n
n
n na a
+
+
− = − −
( ) 116 1 2
n
n
+ ⋅ − + −
( ) 1
1
16 1 2
n
n
n na a −
−
− = ⋅ − + −
( ) 1
2
1 2
16 1 2
n
n
n na a
−
−
− −
− = ⋅ − + −
( ) 2
1
2 1
16 1 2a a − = ⋅ − + −
( ) ( ) ( ) ] [ 2 3
1 2 1
1
1 1 16 1 1 1 2 2 2
n
n
na a − − = − + − +…+ − + − + − +…+ −
( )
1
1
1 111 1 1 4 2
6 12 1 2
n
n
−
−
− − − − − × +
+
( )
1
1
11 23 1 1 6
n
n
−
−
− − − − − +
1 1a =
1
*
1
*
7 1 1 2 1,6 6 2
29 1 1 2 ,6 6 2
n
n n
n m m N
a
n m m N
−
−
− − = − ∈ =
− − − = ∈
{ }na 0na > 7lim 6nn
a→∞
=
{ }na 0na < 29lim 6nn
a→∞
= −
na 29
6
29
6
29
6
21.已知函数 ， ，如果对于定义域 内的任意实数 ，对于给定的非零常数 ，
总存在非零常数 ，恒有 成立，则称函数 是 上的 级类增周期函数，
周期为 ，若恒有 成立，则称函数 是 上的 级类周期函数，周期为
.
（1）已知函数 是 上的周期为 1 的 2 级类增周期函数，求实数 的取
值范围；
（2）已知 ， 是 上 级类周期函数，且 是 上的单调
递增函数，当 时， ，求实数 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，使函数 是 上的周期为 的 级类周期函数，若存在，
求出实数 和 的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；（2） ；（3）当 时， ， ；当 时，
， .
【解析】
【分析】
（1）由题意 f（x+1）＞2f（x）整理可求得 a＜x﹣1 ，令 x﹣1＝t（t≥2），由 g（t）＝
t 在[2，+∞）上单调递增，即可求得实数 a 的取值范围；（2）由 x∈[0，1）时，f（x）＝
2x，可求得当 x∈[1，2）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m•2x﹣1，…当 x∈[n，n+1）时，f（x）＝
mn•2x﹣n，利用 f（x）在[0，+∞）上单调递增，可得 m＞0 且 mn•2n﹣n≥mn﹣1•2n﹣（n﹣1），从而
可求实数 m 的取值范围；（3）f（x+T）＝Tf（x）对一切实数 x 恒成立，即 cosk（x+T）＝
Tcoskx 对一切实数恒成立，分当 k＝0 时，T＝1；当 k≠0 时，要使 cosk（x+T）＝Tcoskx 恒
成立，只有 T＝±1，于是可得答案．
【详解】（1）由题意可知：f（x+1）＞2f（x），即﹣（x+1）2+a（x+1）＞2（﹣x2+ax）对一
切[3，+∞）恒成立，
整理得：（x﹣1）a＜x2﹣2x﹣1，
∵x≥3，
( )y f x= x D∈ D x m
T ( ) ( )f x T mf x+ > ( )f x D m
T ( ) ( )f x T mf x+ = ( )f x D m
T
2( )f x x ax= − + [3, )+∞ a
1T = ( )y f x= [0, )+∞ m ( )y f x= [0, )+∞
[0,1)x∈ ( ) 2xf x = m
k ( ) cosf x kx= R T T
k T
1a < 2m ≥ 1T = 2k nπ= n∈Z 1T = −
(2 1)k n π= + n∈Z
2
1x
− −
2
t
−
∴a x﹣1 ，
令 x﹣1＝t，则 t∈[2，+∞），g（t）＝t 在[2，+∞）上单调递增，
∴g（t）min＝g（2）＝1，
∴a＜1．
（2）∵x∈[0，1）时，f（x）＝2x，
∴当 x∈[1，2）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m•2x﹣1，…
当 x∈[n，n+1）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m2f（x﹣2）＝…＝mnf（x﹣n）＝mn•2x﹣n，
即 x∈[n，n+1）时，f（x）＝mn•2x﹣n，n∈N*，
∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴m＞0 且 mn•2n﹣n≥mn﹣1•2n﹣（n﹣1），
即 m≥2．
（3）由已知，有 f（x+T）＝Tf（x）对一切实数 x 恒成立，
即 cosk（x+T）＝Tcoskx 对一切实数恒成立，
当 k＝0 时，T＝1；
当 k≠0 时，
∵x∈R，
∴kx∈R，kx+kT∈R，于是 coskx∈[﹣1，1]，
又∵cos（kx+kT）∈[﹣1，1]，
故要使 cosk（x+T）＝Tcoskx 恒成立，只有 T＝±1，
当 T＝1 时，cos（kx+k）＝coskx 得到 k＝2nπ，n∈Z 且 n≠0；
当 T＝﹣1 时，cos（kx﹣k）＝﹣coskx 得到﹣k＝2nπ+π，
即 k＝（2n+1）π，n∈Z；
综上可知：当 T＝1 时，k＝2nπ，n∈Z；
当 T＝﹣1 时，k＝（2n+1）π，n∈Z．
【点睛】本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题，综合考查构造函数、
分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题．
( )22 1 22 1
1 1
xx x
x x
− −− − = =− −＜ 2
1x
− −
2
t
−