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- 2021-04-13 发布
江西省上高县第二中学2016-2017学年高二第七次月考（5月）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.用反证法证明：若整系数一元二次方程（）有有理数根，那么中至少有一个是偶数. 用反证法证明时，下列假设正确的是 ( )
A．假设都是偶数 B．假设都不是偶数
C．假设至多有一个偶数 D．假设至多有两个偶数
2.设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．2
3.用数学归纳法证明当为正奇数时，能被整除，第二步是（ ）
A．设时正确，再推正确
B．设时正确，再推时正确
C．设时正确，再推时正确
D．设正确，再推时正确
4.已知随机变量的取值为0，1，2，若，，则（ ）
A． B． C. D．
5.已知某射击运动员，每次击中目标的概率是，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）
A． B． C． D．
6.设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则（ ）
A．5 B．6 C. 7 D．8
7.如果函数的图象在处的切线过点，并且与圆：相离，则点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆内 B．在圆外 C. 在圆上 D．不能确定
8.如图，和都是圆内接正三角形，且，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在内”，表示事件“豆子落在内”，则
（ ）
A． B． C. D．
9.近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2016年双11期间，某平台的销售业绩高达918亿人民币，与此同时，相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务评价体系，现从评价系统中随机选出200次成功的交易，并对其评价结果进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
在犯错误概率不超过（ ）的前提下，认为商品好评与服务好评有关.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A． B． C. D．
10.某宾馆安排五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ）种
A．64 B．84 C．114 D．144
11.一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动，如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）.令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
12.已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为（ ）(参考数据：)
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.我校在上次市统考中约有1000人参加考试，数学考试的成绩（
，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次考试成绩不低于110分的学生约有 人.
14.在上随机地选择一个数，则有两个负根的概率为 .
15.把正数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则 .
16.已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围是 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知在的展开式中，第6项为常数项.
（1）求含项的系数；
（2）求展开式中有理项为第几项.
18.有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币，其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为，小华先抛掷这三枚硬币，然后小红再抛掷这三枚硬币.
（1）求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率；
（2）若用表示小华抛得正面的个数，求的分布列和数学期望.
19.某汽车公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年利润（单位：万元）的影响，对近5年的宣传费和年利润（）进行了统计，列出了下表：
（单位：千元）
2
4
7
17
30
（单位：万元）
1
2
3
4
5
员工小王和小李分别提供了不同的方案.
（1）小王准备用线性回归模型拟合与的关系，请你帮助建立关于的线性回归方程；（系数精确到0.01）
（2）小李决定选择对数回归模型拟合与的关系，得到了回归方程：，并提供了相关指数.请用相关指数说明哪个模型更合适，并预测年宣传费为4万元的年利润.（精确到0.01）（小王也提供了他的分析数据）
参考公式：相关指数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．参考数据：，．
20.在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
21.已知椭圆：，圆：的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于两点，直线交圆于，两点，且为的中点，求面积的取值范围.
22. 已知函数，.
（1）求函数在的最小值；
（2）若函数与的图象恰有一个公共点，求实数的值；
（3）若函数有两个不同的极值点，且，求实数的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5：BABAD 6-10：BADCC 11、12：DB
二、填空题
13．200； 14．； 15．1031； 16．．【来源：全,品…中&高*考+网】
三、解答题
17.（1）通项公式为，∵第6项为常数项，∴时，有，即，含项得，∴所求的系数为.
（2）根据通项公式，由题意得，令，（），则
，即，
∵，∴应为偶数，∴可取，即可取，
∴第3项，第6项与第9项为有理项.
18、解：（1）设表示事件“小华抛得一个正面两个反面”，表示事件“小红抛得两个正面一个反面”，
则， ，
则小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率为
.
（2）由题意，的取值为0，1，2，3，且，，，.
所求随机变量的分布列为
0
1
2
3
数学期望.
19、（1），，所以，小王建立关于的线性回归方程为.
（2），所以小王模型的相关指数，这个值比小李模型相关指数小，小李模型的拟合度更好，所以选择小李提供的模型更合适.
当时，由小李模型得，预测年宣传费为4万元的年利润为5.37万元.
20、(1)证明：与交于，连接，由已知得四边形是平行四边形，所以是的中点，∵是的中点，所以，又平面，平面，所以平面.
（2）由于四边形是菱形，是的中点，可得，又四边形是矩形，面面，∴面，如图建立空间直角坐标系，则
，
，，设平面的法向量为，则
，∴，令，∴，又平面的法向量，
∴，解得，
∴在线段上存在点，当时使二面角的大小为.
21、解：（1）∵椭圆的右焦点，，∴.
又点在椭圆上，∴，又，解得，.
∴椭圆的标准方程为.
（2）由题意可得，的斜率不为零.
当垂直轴时，的面积为.
当不垂直轴时，设直线的方程为，，则直线的方程为，由，消去，得，
∴，，则
，又圆心到的距离，得，又，，
则，
∴的面积.
令，则，，∴
综上所述，面积的取值范围为.
22、（1）解：由题，
（i）当时，在上单调递减，在上单调递增，.
（ii）当时，在上单调递增，
（2）由题在上有且只有一个根，即在上有且仅有一根，令，则，易知，在上单调递减，在上单调递增，所以.
（3）由题，，则其导函数为，题意即为有两个不同实根，等价于有两个不同实根，等价于直线与函数的图象有两个不同的交点，由，可知在上单调递减，在上单调递增，画出函数图象的大致形状（如图），由图象易知，当时，存在，且
的值随着的增大而增大.而当时，由题有，两式相减可得得代入上述方程解得，此时实数，所以实数的取值范围为.