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- 2021-04-13 发布
（广东省东莞市2019届高三上学期期末调研测试数学理试题）
3.假设东莞市市民使用移动支付的概率都为，且每位市民使用支付方式都相互独立的，已知是其中10位市民使用移动支付的人数，且，则的值为（ ）
A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知得X服从二项分布，直接由期望公式计算即可.
【详解】由已知条件每位市民使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，
满足X～B（10，p），=6,
则p=0.6
故选：C
【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求法，属于基础题.
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）
20.在创新“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.
附：参考数据与公式：,若，则，，.
【答案】（1）0.8185（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意计算平均值，根据Z～N（，）计算的值；
（2）由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．
【详解】（1）由题意得：
∴，∵，
∴，
，
∴
综上，
（2）由题意知，，
获赠话费的可能取值为20,40,50,70,100
；
；
；
，
；
的分布列为：
∴
【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望以及正态分布等基础知识，也考查了运算求解能力，是中档题．
（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）
20.某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：
分组
频数
频率
合计
（1）求，；
（2）根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于或小于为不合格，钢管内径尺寸在或为合格，钢管内径尺寸在为优等.钢管的检测费用为元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布.
（i）若从这批钢管中随机抽取根，求内径尺寸为优等钢管根数的分布列和数学期望；
（ii）已知这批钢管共有根，若有两种销售方案：
第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以元/根售出；
第二种方案：对该批钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失元，合格等级的钢管元/根，优等钢管元/根.
请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由.
【答案】（1）,（2）（i）分布列见解析，期望为0.9（ii）当时，按第一种方案，
时，第一、二种方案均可， 时，按第二种方案.
【解析】
【分析】
（1）结合列联表和频率直方图运用，计算b、a值，即可。（2）（i）分别计算X=0,1,2,3对应的概率，列出分布列，计算期望，即可。（ii）分别计算每种方案对应的利润，然后相减，计算出m的范围，即可。
【详解】（1）由题意知：，
所以 ，
所以.
（2）（i）由（1）知，钢管内径尺寸为优等的概率为，所有可能的取值为，，，，
，
，
，
，
故的分布列为
（ii）按第一种方案： ，
按第二种方案： ，
，
若时，，则按第一种方案，
若时，，则第一、第二方案均可，
若时，，则按第二种方案，
故当时，按第一种方案，
时，第一、二种方案均可，
时，按第二种方案.
【点睛】本道题考查了离散型随机变量分布列，难度中等。
（广东省清远市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）
15.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），已知成绩在的学生人数为，且有个女生的成绩在中，则__________；现由成绩在的样本中随机抽取2名学生作指导工作，记所抽取学生中女生的人数为，则的数学期望是__________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
先利用频率和为求得的值.根据的学生人数及频率，计算出的值.根据的频率计算出该组的总人数，利用超几何分布概率计算公式求得分布列，由此求得的数学期望.
【详解】由，解得.依题意，则.成绩在的人数为，其中个为女生，个为男生.的可能取值为.，故.
【点睛】本小题主要考查频率分布直方图的知识，考查超几何分布的概率计算公式，考查分布列的期望求法.属于中档题.对于频率分布直方图，要注意的有以下两点：一个是小长方形的面积和为，二个是频率分布直方图的纵坐标为.超几何分布的计算公式，类似于古典概型的计算公式.
（安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题）
18.2015年11月27日至28日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会. 黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显.贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一.据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访,其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为
,扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为,帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为.
（Ⅰ）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率；
（Ⅱ）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X,求X的分布列；
（Ⅲ）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均每天至少有1人走访”.请问：他说的是真的吗？
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)详见解析（Ⅲ）真的
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由n次独立重复事件的概率公式得；(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出概率，列出分布列即可；（Ⅲ）由分布列求出期望，与1比较大小即可判断真假。
【详解】(Ⅰ)设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为A，
则
∴帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为.
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
；
；
；
.
随机变量X的分布列为.
X
0
1
2
3
P
（Ⅲ）,所以
所以杨老汉说的是真的。
【点睛】本题考查了事件的概率，分布列及期望的求法，属于中档题。
（湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（四）数学（理）试题）
19.为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：
阶梯级别
第一阶梯水量
第二阶梯水量
第三阶梯水量
月用水量范围(单位：立方米)
从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：
（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为一阶的可能性最大，求的值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由茎叶图计算，可得第二阶段水量的户数的可能取值为，求解随机变量取每个值对应的概率，列出随机变量的分布列，利用公式，求解数学期望；
（Ⅱ）设为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得，根据概率公式，列出不等式组，求得实数的范围，即可求解的值，得到答案.
【详解】（Ⅰ）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列为
0
1
2
3
的数学期望.
（Ⅱ）设为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得，
，
由，解得，又，所以当时概率最大．
即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大.
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，以及二项分布的应用，其中解答中认真审题，得到随机变量的取值，利用排列组合的知识得到随机变量取每个值对应的概率，合理利用公式计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
（河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）
19.有编号为1，2，3…n的n个学生，入座编号为1，2，3…n的n个座位，每个学生规定坐一个座位, 设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为, 已知时, 共有6种坐法.
（1）求的值；
（2）求随机变量的概率分布列及数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列详见解析，.
【解析】
试题分析：（1）解题的关键是ξ=2时，共有6种坐法，写出关于n的表示式，解出未知量，把不合题意的舍去．
（2）学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，由题意知ξ的可能取值是0，2，3，4，当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，理解变量对应的事件，写出分布列和期望．
解：（1）∵当ξ=2时，有Cn2种坐法，
∴Cn2=6，
即，
n2﹣n﹣12=0，n=4或n=﹣3（舍去），
∴n=4．
（2）∵学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，
由题意知ξ的可能取值是0，2，3，4，
当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，
当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，
当变量是3时表示学生所坐的座位号与该生的编号有1个相同，
当变量是4时表示学生所坐的座位号与该生的编号有0个相同，
∴，
，
，
，
∴ξ的概率分布列为：
ξ
0
2
3
4
P
∴．
考点：离散型随机变量及其分布列．
（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）
19.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀．
第一周
第二周
第三周
第四周
甲组
20
25
10
5
乙组
8
16
20
16
（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；
（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.
（i）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为、，求、的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？
（ii）按（i）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率．
【答案】（1）（2）（i）见解析（ii）
【解析】
【分析】
（1）甲组人中有
人优秀，利用超几何分布概率计算公式，计算得“甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率”.（2）可能取值有，根据题目所给数据计算出每种取值对应的频率也即概率，由此得到分布列并其算出期望值.的所有可能取值为，根据题目所给数据计算出每种取值对应的频率也即概率，由此得到分布列并其算出期望值.根据两个期望值较小的即为选择.（3）先计算出从公司任选一人，优秀率为，再按照二项分布的概率计算公式计算得“从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率”
【详解】解：（1）甲组60人中有45人优秀，任选两人，
恰有一人优秀的概率为；
（2）（i）的分布列为
5
10
15
20
P
，
的分布列为
4
8
12
16
P
，
∵，∴公司应选培训方式一；
（ii）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为，
则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为．
【点睛】本小题主要考查利用超几何分布和二项分布计算概率，考查离散型随机变量分布列及其期望，属于中档题.
（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）
19.某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：
每月完成合格产品的件数（单位：百件）
频数
10
45
35
6
4
男员工人数
7
23
18
1
1
（1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”.由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？
非“生产能手”
“生产能手”
合计
男员工
女员工
合计
（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出件的部分，累进计件单价为1.2元；超出件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为，求的分布列和数学期望.
附：，
.
【答案】（1）见解析； （2）.
【解析】
【分析】
（1）利用列联表求得的观测值，即可判断.
（2）设2名女员工中实得计件工资不少于3100元的人数为
，1名男员工中实得计件工资在3100元以及以上的人数为，则，,根据X、Y的相应取值求得Z的相应取值时的概率，列出分布列，利用期望公式求得期望.
【详解】（1）
非“生产能手”
“生产能手”
合计
男员工
48
2
50
女员工
42
8
50
合计
90
10
100
因为的观测值 ，
所以有的把握认为“生产能手”与性别有关.
（2）当员工每月完成合格产品的件数为3000件时，
得计件工资为 元，
由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于3100元的概率为，
女员工实得计件工资不少于3100元的概率为，
设2名女员工中实得计件工资不少于3100元的人数为，1名男员工中实得计件工资在3100元以及以上的人数为，则，，
的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为
0
1
2
3
故 .
【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，考查了二项分布及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）
18.现有4名学生参加演讲比赛，有两个题目可供选择，组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择题目，掷出其他的数则选择题目.
（1）求这4个人中恰好有1个人选择题目的概率；
（2）用分别表示这4个人中选择题目的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为．
【解析】
试题分析：（1）本题为二项分布模型，由题可知，选择题目的概率为，选择题目的概率为，则，所以这4人中恰有一人选择题目的概率为；（2）的所有可能取值为0，3，4，，，写出分布列，并求期望。
试题解析：
由题意知，这4个人中每个人选择题目的概率为，选择题目的概率为，
记“这4个人中恰有人选择题目”为事件，
∴，
（1）这4人中恰有一人选择题目的概率为.
（2）的所有可能取值为0，3，4，且
，
，
.
∴的分布列是
所以.
（广西桂林、贺州、崇左三市2018届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）
18.在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.
组别
频数
25
150
200
250
225
100
50
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的知识求；
（2）在（1）的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：:
（ⅰ）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
（ⅱ）每次获赠送的随机话费和对应的概率为：
赠送的随机话费（单元：元）
20
40
概率
0.75
0.25
现有市民甲要参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列与数学期望.
附：参考数据与公式
，若，则
①；
②；
③.
【答案】（1）0.8186.（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意结合题意可得，，结合正态分布图像的对称性可得.
（2）由题意可知的可能取值为，，，.且；；；.据此可得分布列，结合分布列计算数学期望可得.
【详解】（1）.
故， ，
∴，
.
∴.
综上，
.
（2）易知，
获奖券面值的可能取值为，，，.
；；
；.
的分布列为：
∴.
【点睛】本题主要考查正态分布的应用，概率分布列和数学期望的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
（晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考数学(理)试题）
19.“共享单车”的操控企业无论是从经济效益，还是从惠及民生都给人们带来一定方便，可是，国人的整体素养待提高，伤痕累累等不文明行为也遍及大江南北．某市建立了共享单车服务系统，初次交押金时个人积分为100分，当积分低于60分时，借车卡将自动锁定，禁止借车．共享单车管理部门按相关规定扣分，且扣分规定三条如下：
i．共享单车在封闭式小区、大楼、停车场、车库等区域乱停乱放，扣1分；
ii．闯红灯、逆行、在机动车道内骑行，扣2分；
iii．损坏共享单车、私自上锁、私藏，扣5分．
已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次：甲、乙扣1分的概率分别是0.4和0.5；甲、乙扣2分的概率分别是0.4和0.3；租用共享单车人均触规定三条中一条，且触规定三条中任一条就归还车．
（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；
（2）若甲、乙两人在初次租用共享单车一次后所剩下的积分之和为X，求随机变量X的数学期望．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）记“甲扣1分、2分、3分”，“乙扣1分、2分、3分”为事件，
由题意可知各个事件相互独立，且易知每个事件的概率，据此计算甲、乙两人所扣积分相同的概率即可.
（2）设甲、乙两人在各租用共享单车一次之后所扣积分之和为，易知的可能取值为2，3，4，6，7，10． 求得相应的概率值得到分布列，然后计算数学期望即可.
【详解】（1）记“甲扣1分”为事件，“甲扣2分”为事件，“甲扣5分”为事件，
．
记“乙扣1分”为事件，“乙扣2分”为事件，“乙扣5分”为事件，
．
据题设知，彼此相互独立．
记“甲、乙两人所扣积分相同”为事件，则．
（2）设甲、乙两人在各租用共享单车一次之后所扣积分之和为，
则的可能取值为2，3，4，6，7，10．
所以的分布列为：
2
3
4
6
7
10
P
0.2
0.32
0.12
0.18
0.14
0.04
故．
【点睛】本题主要考查独立事件概率公式，离散型随机变量的分布列与数学期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
（河南省部分省示范性高中2018-2019学年高三数学试卷（理科）1月份联考试题）
18.2018年是中国改革开放的第40周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，并绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）现从年龄在内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用表示年龄在内的人数，求的分布列和数学期望；
（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为.当最大时，求的值.
【答案】（1）分布列见解析；；（2）7.
【解析】
【分析】
（1）根据分层抽样的方法判断出年龄在内的人数，可得的可能取值为0，1，2，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望；（2）设年龄在内的人数为，则，设,可得若，则，；若，则，，从而可得结果.
【详解】（1）按分层抽样的方法抽取的8人中，
年龄在内的人数为人，
年龄在内的人数为人，
年龄在内的人数为人.
所以的可能取值为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列为
0
1
2
.
（2）设在抽取的20名市民中，年龄在内的人数为，服从二项分布.由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为，
所以，
所以 .
设 ，
若，则，；
若，则，.
所以当时，最大，即当最大时，.
【点睛】本题主要考查分层抽样的定义、直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.
（广东省汕尾市2019届高三普通高中3月教学质量检测理科数学试题）
20.某公司销售部随机抽取了1000名销售员1天的销售记录，经统计，其柱状图如图．
该公司给出了两种日薪方案．
方案1：没有底薪，每销售一件薪资20元；
方案2：底薪90元，每日前5件的销售量没有奖励，超过5件的部分每件奖励20元．
（1）分别求出两种日薪方案中日工资y（单位：元）与销售件数n的函数关系式；
（2）若将频率视为概率，回答下列问题：
（Ⅰ）根据柱状图，试分别估计两种方案的日薪X（单位：元）的数学期望及方差；
（Ⅱ）如果你要应聘该公司的销售员，结合（Ⅰ）中的数据，根据统计学的思想，分析选择哪种薪资方案比较合适，并说明你的理由．
【答案】（1）见解析；（2）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（1）分别写出方案1、方案2的日工资y与销售件数n的函数关系式即可；
（2）（Ⅰ）根据柱状图写出方案1的日薪X1的分布列，计算数学期望和方差；
写出方案2的日薪X2的分布列，计算数学期望和方差；
【详解】（1）方案1：日工资y（单位：元）与销售件数n的函数关系式为：y=20n，n∈N；
方案2：日工资y（单位：元）与销售件数n的函数关系式为y=；
（2）（Ⅰ）根据柱状图知，日销售量满足如下表格；
日销售（件）
3
4
5
6
7
概率
0.05
0.2
0.25
0.4
0.1
所以方案1的日薪X1的分布列为，
X1
60
80
100
120
140
P
0.05
0.2
0.25
0.4
0.1
数学期望为E（X1）=60×0.05+80×0.2+100×0.25+120×0.4+140×0.1=106，
方差为D（X1）=0.05×（60-106）2+0.2×（80-106）2+0.25×（100-106）2+0.4×（120-106）2+0.1×（140-106）2=444；
方案2的日薪X2的分布列为，
X2
90
110
130
P
0.5
0.4
0.1
数学期望为E（X2）=90×0.5+110×0.4+130×0.1=102，
方差为D（X2）=0.5×（90-102）2+0.4×（110-102）2+0.1×（130-102）2=176；
（Ⅱ）答案1：由（Ⅰ）的计算结果可知，E（X1）＞E（X2），但两者相差不大，
又D（X1）＞D（X2），则方案2的日薪工资波动相对较小，所以应选择方案2．
答案2：由（Ⅰ）的计算结果可知，E（X1）＞E（X2），方案1的日薪工资期望大于方案2，所以应选择方案1．
【点睛】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题．
（陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）
18.某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有，两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对，两种型号的新型材料对应的产品各件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表：
使用寿命
材料类型
个月
个月
个月
个月
总计
经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，A材料每包的成本为10万元，B材料每包的成本为12万元。假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？
参考数据：，.参考公式：回归直线方程为，其中.
【答案】（1），预计甲公司2019年3月份的利润为百万元（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据数据求得b、a即可得回归直线方程，代入预测月份对应的自变量x的值，即可得预测值。
（2）分别计算两种情况下的数学期望，比较大小即可得出结论。
【详解】解（1）由折线图可知统计数据共有组，
即，，，，，，
计算可得，
，
所以 ，
，
所以月度利润与月份代码之间的线性回归方程为.
当时，.
故预计甲公司2019年3月份的利润为百万元。
（2）由频率估计概率，每包型新材料可使用个月，个月，个月和个月的概率分别为.，，和，
所以每包型新材料可产生的利润期望值
.
由频率估计概率，每包型新材料可使用个月，个月，个月和个月的概率分别为，，和，
所以每包型新材料可产生的利润期望值
.
.
所以应该采购型新材料。
【点睛】本题考查了应用回归方程分析实际问题，数学期望的求法，试题阅读量大，数据处理较为复杂，属于中档题。
（四川省成都市实验外国语学校2019届高三二诊模拟考试理科数学）
18.2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放周年大会. 年众志成城，40年砥砺奋进，年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展得壮丽史诗.会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放年变化的老照片，并从众多照片中抽取了张照片参加“改革开放年图片展”，其作者年龄集中在之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：
（1）求这位作者年龄的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）央视媒体平台从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出来
人参加“纪念改革开放年图片展”表彰大会，现要从中选出人作为代表发言，设这位发言者的年龄落在区间[45，55]的人数是，求变量的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
(1)首先可以通过频率分布直方图得出每个年龄段所对应的概率，然后通过平均数以及方差的计算公式即可得出结果；
(2)首先可以通过题意以及分层抽样的相关性质得出在以及年龄段的人数，然后得出的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应的概率，即可列出分布列并计算出数学期望。
【详解】这位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为
，
；
根据分层抽样的原理，可知这人中年龄在内有三人，在内有人，
故可能的取值为：
，，
，，
所以的分布列为：
Y
0
1
2
3
P
所以的数学期望为。
【点睛】本题考查频率分布直方图、分布列以及数学期望的相关性质，考查能否根据频率分布直方图得出每一组的概率以及根据分层抽样的原理得出每一组的人数，考查推理能力与计算能力，是中档题。
（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）
19.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：
方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；
方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.
某医院准备一次性购买2台这种机器.为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：
维修次数
0
1
2
3
台数
5
10
20
15
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.
（Ⅰ）求的分布列；
（Ⅱ）以方案一与方案二所需费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）选择延保方案二较合算
【解析】
【分析】
（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出对应的概率，列出分布列即可；（Ⅱ）求出两种方案下所需费用的分布列，然后分别求出对应的期望值，比较二者的大小即可选出最合算的方案。
【详解】解：（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，
，，，
，，
，，
∴的分布列为
0
1
2
3
4
5
6
（Ⅱ）选择延保一，所需费用元的分布列为：
7000
9000
11000
13000
15000
（元）.
选择延保二，所需费用元的分布列为：
10000
11000
12000
（元）.
∵，∴该医院选择延保方案二较合算.
【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了概率的计算，考查了期望的求法，属于中档题。
（江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体2019届高三第一次联考数学（理）试题）
19.今有9所省级示范学校参加联考，参加人数约5000人，考完后经计算得数学平均分为113分.已知本次联考的成绩服从正态分布，且标准差为12.
（1）计算联考成绩在137分以上的人数.
（2）从所有试卷中任意抽取1份，已知分数不超过123分的概率为0.8.
①求分数低于103分的概率.
②从所有试卷中任意抽取5份，由于试卷数量较大，可以把每份试卷被抽到的概率视为相同,表示抽到成绩低于103分的试卷的份数，写出的分布列，并求出数学期望.
参考数据：
，，
.
【答案】（1）114人； （2）① ② .
【解析】
【分析】
（1）利用正态分布的概率公式求得满足条件的概率，再乘以总人数，可得结果.
（2）①直接利用正态分布曲线的对称性求得结果.
②由题意易知找到x的取值，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
【详解】（1）设本次联考成绩为，由题意知在正态分布中，，，
因为，所以，
故所求人数为（人）.
（2）①.
②由题意易知
故，
，
，，
，，
0
1
2
3
4
5
.
【点睛】本题考查了正态分布的性质的应用问题，考查了二项分布的分布列与期望，关键是利用正态曲线的对称性求概率，是中档题．
（河南省濮阳市2019届高三下学期摸底考试数学（理）试题）
19.四川省阆中中学某部根据运动场地的影响，但为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在2018春季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项，分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高学校要求每位学生必须参加，且只参加其中一项，学校780名同学参加各运动项目人数统计如下条形图：
其中参加跑步类的人数所占频率为，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析．
1求条形图中m和n的值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；
2现从抽取的参加400米和跳绳两个项目中随机抽取4人，记其中参加400米跑的学生人数为X，求离散型随机变量X的分布列与数学期望．
【答案】（1），，3人（2）见解析
【解析】
【分析】
1由题意参加跑步类的有420人，从而求出，，根据分层抽样法能求出抽取的13人中参加200米的学生人数．
2抽取的13人中参加400米的学生人数有4人，参加跳绳的学生人数有3人，从而X的所有可能取值为1、2、3、4，分别求出相应的概率，由此能求出离散型随机变量X的分布列和期望．
【详解】1由题意得参加跑步类的有：
，
，
，
根据分层抽样法知：
抽取的13人中参加200米的学生人数有：人．
2由题意，抽取的13人中参加400米的学生人数有，
参加跳绳的学生人数有3人，所以X的所有可能取值为1、2、3、4，
，
，
，
，
所以离散型随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
4
P
所以
【点睛】本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
（广东省深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试数学理试题）
20.某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：
（1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率；
（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：
会员等级
消费金额
普通会员
2000
银卡会员
2700
金卡会员
3200
预计去年消费金额在内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在内的消费者都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：
方案 1：按分层抽样从普通会员， 银卡会员， 金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元； 银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元； 金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.
方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有 3 个白球、 2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中， 有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为 2，则可获得 200 元奖励金； 若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） .
以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪-种方案投资较少？并说明理由.
【答案】（1）（2）预计方案2投资较少.详见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意，随机变量的可能值为“”，得，即可求解。
（2）根据方案1求得按照方案1奖励的总金额元，又由方案2：得到的可能值为“”，求得其概率，列出分布列，求得按照方案2奖励的总金额，比较得到答案。
【详解】（1）设随机抽取的2人中，去年的消费金额超过4000元的消费者有人，
则的可能值为“0，1，2”，
∴ .
（或者.
（2）方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为：
，，，
∴按照方案1奖励的总金额为：元，
方案2：设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，
则的可能值为“0，200，300”，
∵摸到红球的概率：，∴ ，
，，
∴的分布列为
0
200
300
∴元，
∴按照方案2奖励的总金额为：
元，
∵方案1奖励的总金额多于方案1奖励的总金额，
∴预计方案2投资较少.
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.
（广东省韶关市2019届高三1月调研考试数学理试题）
20.现有6人参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，主办方制作了一款电脑软件：按下电脑键盘“”键则会出现模拟抛两枚质地均匀的骰子的画面，若干秒后在屏幕上出现两个点数和，并在屏幕的下方计算出的值.主办方现规定：每个人去按“”键，当显示出来的小于时则参加甲游戏，否则参加乙游戏.
（1）求这6个人中恰有2人参加甲游戏的概率；
（2）用、分别表示这6个人中去参加甲，乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)利用古典概型公式得到选择甲游戏的概率，再利用独立重复实验概率公式即可得到结果；
(2) 依题意得的可能取值为：0，2,4,6.求出相应的概率值，即可得到分布列与期望.
【详解】（1）依题意得由屏幕出现的点数和形成的有序数对一共有种等可能的基本事件.
符合有，等24个，
所以选择甲游戏的概率，选择乙游戏概率.
这6个人中恰有2人参加甲游戏的概率为.
（2）依题意得的可能取值为：0，2,4,6.
，
，
，
，
所以的分布列为
0
2
4
6
的数学期望为.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.
（广东省江门市2019届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题）
20.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪元，每单提成元；乙公司无底薪，单以内（含单）的部分每单提成元，大于单的部分每单提成元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
乙公司送餐员送餐单数频数表
（1）若将大于单的工作日称为“繁忙日”，根据以上频数表能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“繁忙日”与公司有关？
（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘，你会推荐小王去哪家？为什么？
参考公式和数据：
【答案】（1）能 ；（2）① ；②从更高收入角度考虑推荐小王去乙公司应聘；因为乙公司比甲公司繁忙，故从工作闲适角度考虑推荐小王去甲公司应聘．
【解析】
【分析】
(1)根据题干写出列联表，再由公式得到卡方值，进而得到结果；（2）①先由送餐单数得到不同的日工资，再根据题干中的表格的频数得到相应的频率，进而列出分布列；②从日工资的均值考虑，做出抉择即可.
【详解】（1）依题意得，公司与“繁忙日”列联表
,
，所以，能在犯错误的概率不超过的前提下认为“繁忙日”与公司有关 .
（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，则当时，，当时，，当时，，当时，，当时， .
所以，的所有可能取值为、、、、，的分布列为：
.
②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为
,
所以甲公司送餐员日平均工资为（元）,
因为，故从更高收入角度考虑推荐小王去乙公司应聘；因为乙公司比甲公司繁忙，故从工作闲适角度考虑推荐小王去甲公司应聘．
【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”
，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.
（广东省广州市天河区2019届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）
20.随着网络信息化的高速发展，越来越多的大中小企业选择做网络推广，为了适应时代的发展，某企业引进一种通讯系统，该系统根据部件组成不同，分为系统A和系统B，其中系统A由5个部件组成，系统B由3个部件组成，每个部件独立工作且能正常运行的概率均为，如果构成系统的部件中至少有一半以上能正常运行，则称系统是“有效”的．
若系统A与系统B一样有效总体有效概率相等，试求p的值；
若对于不能正常运行的部件，称为坏部件，在某一次检测中，企业对所有坏部件都要进行维修，系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，系统B中第n个坏部件的维修费用单位：元满足关系2，，记企业支付该通讯系统维修费用为X，求EX．
【答案】（1）；（2）625元.
【解析】
【分析】
由题意可得，解方程即可得到所求值；分别考虑系统A，B可能维修的费用，运用组合数公式和数学期望公式，计算可得所求值。
【详解】系统A与系统B一样有效总体有效概率相等，
，
整理得：，
解得舍或，
故p的值为．
系统A中每个坏部件的维修费用均为100元，
系统B中第n个坏部件的维修费用单位：元满足关系2，，
记企业支付该通讯系统维修费用为X，
考虑系统A的维修费用可能为0，100、200、300、400、500元；
系统B的维修费用可能为0；200，250，300；450，500，550；750元；
可得
元
【点睛】本题考查随机变量的概率和期望的求法，考查独立事件同时发生的概率求法，考查运算求解能力，属于中档题。
（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学（理）试题）
19.为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：（记成绩不低于分者为“成绩优秀”）
分数
甲班频数
乙班频数
（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的列联表，并判断是否有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？
甲班
乙班
总计
成绩优秀
成绩不优秀
总计
（Ⅱ）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为，求的分布列和期望．
参考公式：，其中．
临界值表
【答案】（1）有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
（2）的分布列为
【解析】
【分析】
（1）根据以上统计数据填写列联表,根据列联表计算,对照临界值得出结论；
（2） 由题意知的可能取值，计算对应的概率值，写出的分布列．
【详解】（1）补充的列联表如下表：
甲班
乙班
总计
成绩优秀
成绩不优秀
总计
根据列联表中的数据，得的观测值为 ，
所以有以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
（2）的可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为
【点睛】本题考查了独立性检验的问题和离散型随机变量的分布列问题， 是中档题 ．