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- 2021-04-13 发布
芦岭矿中学2017-2018学年度第一学期期末测试卷
高二数学（理）试卷
考试范围：必修二 选修2-1 考试时间：120分钟；
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。每题只有一个正确答案）
1、设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则“非p”为( )
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
2、抛物线y2=6x的准线方程是（ ）
A．x=3 B．x=﹣3 C．x= D．x=﹣
3、若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上的点到直线4x-3y-2=0的最近距离等于1,则半径r值是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 9
4、过点A(1，2)且与原点距离最大的直线方程是( )
A. x+2y-5=0 B. 2x+y-4=0
C. x+3y-7=0 D. x+3y-5=0
5、某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
A．8 cm3 B．12 cm3
C. cm3 D. cm3
6、若平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与夹角的余弦是( )
A. B. C. D. －
7、点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝(1，－1,1)的直线l的距离为，则点M的坐标是( )
A．(0,0，±2) B．(0,0，±3)
C．(0,0，±) D．(0,0，±1)
8、已知直线l过点P(1,0,－1)，平行于向量，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量不可能是( )
A. (1,－4,2) B. C. D. (0,－1,1)
9、已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则的方程为( )
A． B． C． D．
10、如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A. B．
C. D．
11、若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．8
12、若P是以F1，F2为焦点的椭圆=1（a＞b＞0）上的一点，且PF1⊥PF2， tan∠PF1F2=，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知向量，且A、B、C三点共线，
则=
14．已知抛物线的过焦点的弦为，且，，
则p=
15、设圆的圆心为， 是圆内一定点， 为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为
16、已知椭圆，直线AB与椭圆交于A、B两点，若点 P（2，－1）是线段AB的中点，则直线AB的方程是 .
三、解答题（本大题6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明和演算步骤。）
17、(本题10分)命题:；命题:方程表示焦点在轴上的椭圆.若“且”是假命题，“或”是真命题，求实数的取值范围.
18、(本小题12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线交于A、B两点，若|AB|=8，求抛物线的方程．
19、(本小题12分)如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．
20、(本题12分)已知点A(0,4)，B(0，－2)，动点P(x，y)满足·－y2＋8＝0.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证：OC⊥OD(O为原点)．
21．(本题12分)如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）求平面FBE与平面DBE夹角θ的余弦值．
（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论．
22．(本题12分)已知椭圆C：椭圆（a>b>0）的离心率为，且经过点（，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．
朱仙庄矿中学2017-2018学年度第一学期期末测试卷
高二数学（理） 答案
一、 选择题（每题5分）：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
A
C
A
B
D
B
D
A
A
二、 填空题（每题5分）：
13. ； 14. 3 ； 15. 16、
三、解答题：.
17(本题10分)
解答： 命题: 为真，
…………2分
命题为真，即方程是焦点在轴上的椭圆， …………4分
又 “且”是假命题，“或”是真命题
是真命题且是假命题，或是假命题且是真命题…………6分
或 …………8分
的取值范围是…………10分
18、 (本题12分)．
解答：y2=-4x 或 y2=8x
19、(本题12分)
解答：证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．
因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC．…（2分）
因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．…（4分）
因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）
（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PA⊥DE．…（8分）
因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．（9分）
因为OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE=E，
所以PA⊥平面BDE．…（10分）
因为PA⊂平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．…（12分）
20．(本题12分)
解答： (1)由题意可知，＝(－x,4－y)，＝(－x，－2－y)，…………2分
∴x2＋(4－y)(－2－y)－y2＋8＝0， …………4分
∴x2＝2y为所求动点P的轨迹方程．…………5分
(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．由
整理得x2－2x－4＝0， …………7分
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－4，…………8分
∵kOC·kOD＝·＝＝＝＝－1，
…11分
∴OC⊥OD. …………12分
21．(本题12分)
解答：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴ …………1分
又∵是正方形， ∴，…………2分
∵，∴平面．…………3分
（Ⅱ）∵，，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，
∵ ，得．…………4分
则，，，，，
∴，，…………6分
设平面的法向量为，则，即，
令，则．
因为平面，所以为平面的法向量，∴，
所以．
因为二面角为锐角，故平面FBE与平面DBE夹角θ的余弦值为．…………9分
（Ⅲ）依题意得，设，则，
∵平面，∴，即，解得：，
∴点的坐标为，此时，∴点是线段靠近点的三等分点． ……12分
22．(本题12分)
解答： （1）由e2＝＝1－＝，得＝，①
由椭圆C经过点（，），得＋＝1，②
联立①②，解得b＝1，a＝，
所以椭圆C的方程是＋y2＝1； ……5分
（2）易知直线AB的斜率存在，设其方程为y＝kx＋2，
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1＋3k2）x2＋12kx＋9＝0，
令Δ＝144k2－36（1＋3k2）>0，得k2>1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝， ……7分
所以S△AOB＝|S△POB－S△POA|＝×2×|x1－x2|＝|x1－x2|， ……7分
因为（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（－）2－＝，
设k2－1＝t（t>0），
则（x1－x2）2＝＝≤＝， ……7分
当且仅当9t＝，即t＝时等号成立，此时k2＝，△AOB面积取得最大值．
……12分