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- 2021-04-13 发布
云天化中学2017—2018学年度阶段测试（二）
高二数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共小题，每小题分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2．在等比数列中，若公比，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3．圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ）
A. B. C. D.
4．已知回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为（ ）
A. B. C. D.
5．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85)（ g ）范围内的概率是（ ）
A. 0.62 B. 0.38 C. 0.02 D. 0.68
6．经过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
7．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的值分别为.则输出的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
9．某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．
规定大于等于90分为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是（ ）
A. 300 B. 150 C. 30 D. 15
10．若实数满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
11．在中，角所对的边分别为，且，若，则 的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
12．已知直线： ，点， . 若直线上存在点满足，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每空5分，共20分．）
13．已知向量， ，若与垂直，则的值是 ．
14．过点且倾斜角为的直线被圆截得的弦长是 ．
15．若正方形边长为为四边上任意一点，则的长度大于的概率等于 ．[]
16．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程是 ．
三、解答题（本题共6题，共70分．）
17．（本小题满分10分）在中， 、、分别是三个内角、、的对边，已知，
（1）若的面积，求；
（2）若是直角三角形，求与．
18．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中， 平面，底面是菱形，点是对角线与的交点， 是的中点，且， ．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面平面；
（3）当三棱锥的体积等于时，求的长．
20．（本小题满分12分）高考复习经过二轮“见多识广”之后，为了研究考前“限时抢分”强化训练次数与答题正确率﹪的关系，对某校高三某班学生进行了关注统计，得到如下数据：
1
2
3
4
20
30
50
60
（1）求关于的线性回归方程，并预测答题正确率是100﹪的强化训练次数；
（2）若用表示统计数据的“强化均值”（精确到整数），若“强化均值”的标准差在区间内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效?
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
＝， ＝－; 样本数据的标准差为：
21．（本小题满分12分）汽车厂生产,,三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
轿车
轿车
轿车
舒适型
100
150
Z
标准型
300
450
600
(1)求Z的值；
(2)用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：. 把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过的概率．
22. （本小题满分12分）如图，已知圆的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，圆与直线相交于两点，当时，.
（1）求圆的方程；
（2）当取任意实数时，问：在轴上是否存在定点，使得始终被轴平分?
云天化中学2017—2018学年度阶段测试（二）
高二年级理数答案
一、 选择题
题号
答案
D
B
A
C
C
B
D
D
B
B
C
C
1．【解析】,,.故选D.
2．【解析】 ,故选B.
3．【解析】设圆的半径为 ，则由题意可得 ，可得，故选A.
4．【解析】试题分析：设回归方程为,回归方程必过样本中心点，代入方程，求得,故选C．
5．【解析】质量在[4.8，4.85)（ g ）范围内的概率是0.32-0.3=0.02. 故选C．
6．【解析】直线的斜率为2，则所求直线的斜率为，所求直线方程为：
，即： ，选B.
7．【解析】执行程序框图：
输入，是
，是， ;
，是， ;
，是， ;
，否，输出.故选D.
8．【解析】恢复原几何体为一个圆柱与一个半圆锥组成的组合体，圆柱的底面半径为1，高为2，半圆锥的底面半径为1，高位1，所以体积为，选D.
9．【解析】根据频率分布直方图得，该校学生优秀等级的频率是
0.015×(100−90)=0.15；
∴该校学生优秀等级的人数是
1000×0.15=150.
本题选择B选项.
10．【解析】由约束条件画出可行域,如下图,目标函数为(0,0)与可行域上点(x,y)斜率的范围，由图可知，所以，选B.
11． 【解析】 结合已知得结合已知得，又 ，所以是等边三角形,故选C.
12．【解析】问题转化为求直线与圆有公共点时， 的取值范围，数形结合易得. 故选C.
13．【解析】由题得： .
14．【解析】直线方程为y=x，由弦长公式可得 .
15．【解析】设分别为或靠近点的四等分点，则当在线段 上时， 的长度大于， 所能取到点的长度为， 正方形的周长为， 的长度大于的概率等于.
16．【解析】由，知，四点共圆，方程为，两圆方程相减得的方程：.
17．【解析】（1）∵，∴ ∵，∴
∴ …………………………………………5分
（2）若B=90º，则， ；
若C=90º，则， ……………………………10分
18．【解析】（1）因为为等差数列， 由，得：．……………6分
（2）∵
∴………………………12分
19．【解析】（1）∵在中， 、分别是、的中点，
∴是的中位线，∴，
∵平面， 面,
∴面.………………………………………………………………4分
（2）∵平面， 平面，∴，
∵底面是菱形，∴，
∵面， 面， ，
∴平面，∵平面，
∴平面 平面.………………………………………8分
（3）因为底面是菱形， 是的中点，
所以，从而.
又， ，所以，
∵四棱锥的高为，
∴，得，
∵面， 平面, ∴.
在中， .…………………………12分
20．【解析】（1）由所给数据计算得：
， ,
＝， ＝－ =5
所求回归直线方程是
由100=14+5得=6.79.
预测答题正确率是100﹪的强化训练次数为7次；……………………7分
（2）经计算知，这四组数据的“强化均值”分别为5，6，8，9
平均数是7，“强化均值”的标准差是
这个班的强化训练有效。 ……………………………………………………12分
21． 【解析】（1）设该厂这个月共生产轿车辆，由题意得，
.………………………………4分
（2）设所抽样中有辆舒适轿车，由题意，得，因此抽取的容量为的样本中，有辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.用表示2辆舒适型轿车，用表示3辆标准轿车，用表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆，舒适轿车”，通过列举可知所求概率为.……8分
（3）样本的平均数为9，设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对不超过 ”，则基本事件空间中有个基本事件，事件D包括的基本事件有：，共个，即所求概率为…………………………………………………………………………………..12分
22．【解析】（1）设圆心，，则半径，
则圆心到的距离为，
，，或（舍）
所以圆的方程为.…………………………………………………..6分
（2）假设存在点，设，
联立方程组得：
则
由，即
对取任意实数时都成立，所以即
故存在定点，使得始终被轴平分. ……………………………………………..12分