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- 2021-04-13 发布
高二期末数学试题（理科）
第Ⅰ卷（共12个题：共60分）
一、选择题（包括12个小题，每小题5分，共60分）
1.某校150名教职工中，有老年人20名，中年人50名，青年人80名，从中抽取30名作为样本．
①采用随机抽样法：抽签取出30个样本；
②采用系统抽样法：将教职工编号为00，01，…，149，然后平均分组抽取30个样本；
③采用分层抽样法：从老年人、中年人、青年人中抽取30个样本．
下列说法中正确的是( )
A．无论采用哪种方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等
B．①②两种抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等；③并非如此
C．①③两种抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等；②并非如此
D．采用不同的抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率是各不相同的
2．已知抛物线的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为( )
A．(－1，0) B．(1，0) C．(0，－1) D．(0，1)
3.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )
A．588 B．480 C．450 D．120
4.将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同,甲从袋中摸出一个小球,其号码为a,放回后,乙从此袋中再摸出一个小球,其号码为b,则使不等式a-2b+4<0成立的事件发生的概率为 ( )
A. B. C. D.
5．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于( )
A．5 B．6 C．4 D．8
6.下图给出的是计算＋＋＋…＋的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( )
A．i＞10 B．i＜10 C．i＞11 D．i＜11
7.已知直线y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若＝2，则k＝( )
A. B. C. D.
8.正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
9.执行如图的程序框图，若输入的x，y∈R，则输出的S的最大值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
10.直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A，B，C，D，则的值为( )
A．16 B. C．4 D.
11． 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串
彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的
时刻相差不超过2秒的概率是( )
A. B. C. D.
12.设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，为抛物线的准线与轴的交点，若，则( )
A.8 B.4 C.16 D.2
第Ⅱ卷（共10个题：共90分）
二、填空题（包括4个小题，每小题5分，共20分）
13.用秦九韶算法求多项式当时 .
14.已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是________．
15.将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为________．
16.已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，线段的中垂线仅交轴于点，则使恒成立的实数 .
三、解答题（包括6个小题，共70分）
17.(本题满分10分)
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)
频数
6
26
38
22
8
(1)作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
18.(本题满分12分)
在一次“知识竞赛”活动中，有A1，A2，B，C四道题，其中A1，A2为难度相同的容易题，B为中档题，C为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．
(1)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；
(2)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．
19.(本题满分12分)
如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上．
(1)求异面直线D1E与A1D所成的角；
(2)若二面角D1 EC D的大小为45°，求点B到平面D1EC的距离．
20.(本题满分12分)
为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：
日期
4月1日
4月7日
4月15日
4月21日
4月30日
温差x/℃
10
11
13
12
8
发芽数y/颗
23
25
30
26
16
(1)从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率；
(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
21.(本题满分12分)
如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝2，AA1＝3，D为AC的中点．
(1)求证：AB1∥平面BDC1；
(2)求二面角C1BDC的余弦值；
(3)在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥平面BDC1？并证明你的结论．
22.(本题满分12分)
椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2.若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值．
高二理科期末数学答案
一、 选择题
ABBCAA BBCBCA
二、 填空题
13． 14.
15. 16.
三、解答题
17.（本题满分10分)
解：(1)
(2)质量指标值的样本平均数为
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为
s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．
18.(本题满分12分)
解：由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有CC＝16(个)．
(1)甲、乙两位同学所选的题目难度相同，有CC＋1＋1＝6(个)．所以甲、乙两位同学所选题目难度相同的概率为＝.
(2)用N表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”，则N包含的基本事件有：(B，A1)，(B，A2)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，共5个，所以P(N)＝.
19.(本题满分12分)
解：以D为坐标原点，分别以，，所在方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．
(1)由A1(1，0，1)，得＝(1，0，1)．
设E(1，a，0)，由D1(0，0，1)，得＝(1，a，－1)．
又·＝1＋0－1＝0，所以⊥，即D1E与A1D所成的角为90°.
(2)由题意可知m＝(0，0，1)为平面DEC的一个法向量，设n＝(x，y，z)为平面CED1的法向量．
由|cos〈m，n〉|＝＝cos 45°＝，
得到z2＝x2＋y2.①
由C(0，2，0)，得＝(0，2，－1)，根据n⊥，即n·＝0，
得到2y－z＝0.②
联立①②，令y＝1，可得n＝(，1，2)，
故点B(1，2，0)到平面D1EC的距离d＝＝＝.
20.（本题满分12分)
解：(1)(枚举法)所有的基本事件为(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10个．
设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25，30)，(25，26)，(30，26)，共3个，
故由古典概型概率公式得P(A)＝.
(2)由数据得，另3天的平均数＝12，＝27，3 ＝972，3 2＝432，xiyi＝977，x＝434，
所以＝＝，
＝27－×12＝－3，
所以y关于x的线性回归方程为
＝x－3.
(3)依题意得，
当x＝10时，＝22，|22－23|＜2；
当x＝8时，＝17，|17－16|＜2，
所以(2)中所得到的线性回归方程是可靠的．
21.本题满分12分)
解：(1)证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD.
∵BCC1B1是矩形，
∴O是B1C的中点．又D是AC的中点，∴OD∥AB1.
∵AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，∴AB1∥平面BDC1.
(2)如图，建立空间直角坐标系，则C1(0，0，0)，B(0，3，2)，C(0，3，0)，A(2，3，0)，D(1，3，0)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面BDC1的一个法向量，
则即
令x1＝1，则n＝.
易知＝(0，3，0)是平面ABC的一个法向量．
∴cos〈n，〉＝＝＝－.
由题意知二面角C1BDC为锐角，
∴二面角C1BDC的余弦值为.
(3)假设侧棱AA1上存在一点P(2，y，0)(0≤y≤3)，使得CP⊥平面BDC1.
则即
∴∴方程组无解．∴假设不成立．
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.
22.（本题满分12分)
解：(1)由于c2＝a2－b2，
将x＝－c代入椭圆方程＋＝1，得y＝±.
由题意知＝1，即a＝2b2.又e＝＝，
所以a＝2，b＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)方法一：设P(x0，y0)(y0≠0)，
又F1(－，0)，F2(，0)，
所以直线PF1，PF2的方程分别为
lPF1：y0x－(x0＋)y＋y0＝0，
lPF2：y0x－(x0－)y－y0＝0.
由题意知
＝.
由于点P在椭圆上，所以＋y＝1.
所以＝.
因为－＜m＜，－2＜x0＜2，
可得＝，
所以m＝x0.因此，－＜m＜.
方法二：设P(x0，y0)，当0≤x0＜2时，
①当x0＝时，直线PF2的斜率不存在，易知P或P.
若P，则直线PF1的方程为
x－4y＋＝0.由题意得＝－m，
因为－＜m＜，所以m＝.
若P，同理得m＝.
②当x0≠时，设直线PF1，PF2的方程分别为y＝k1(x＋)，y＝k2(x－)．
由题意知＝，
所以＝.因为＋y＝1，
并且k1＝，k2＝，
所以＝
＝＝，
即＝.
因为－＜m＜，0≤x0＜2且x0≠，
所以＝，整理得m＝，
故0≤m＜且m≠.
综合①②可得0≤m＜.
当－2＜x0＜0时，同理可得－＜m＜0.
综上所述，m的取值范围是.
(3)设P(x0，y0)(y0≠0)，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．
联立
整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(y－2kx0y0＋k2x－1)＝0.由题意Δ＝0，
即(4－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0.
又＋y＝1，
所以16yk2＋8x0y0k＋x＝0，
故k＝－.
由(2)知＋＝＋＝，
所以＋＝＝·＝－8，
因此＋为定值，这个定值为－8.