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- 2021-04-13 发布
2019-2020学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题）
1.命题“，”的否定为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题解答.
【详解】解：根据全称命题的否定为特称命题，
故命题“，”的否定为，．
故选：C．
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题．
2.“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
直线与双曲线相切，则直线与双曲线只有一个公共点，反之当直线与双曲线只有一个公共点时除了直线与双曲线相切，还有就是直线和双曲线的渐近线平行的时候；故是充分不必要条件．
故答案为A．
3.椭圆的焦点坐标为
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用椭圆的方程求出a，b，得到c即可求解结果．
【详解】解：椭圆，焦点在轴上，可得，，所以，
所以椭圆的焦点坐标．
故选：D．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
4.抛物线的焦点坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据抛物线的标准方程为画出图像可得准线方程为：故焦点坐标为.
故答案为B．
5.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A. 2 B. 6 C. 4 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为长轴长即可得解.
【详解】设另一焦点为，由题在BC边上，
所以的周长
故选：C
【点睛】此题考查椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，求解中要多观察图形的几何特征，将所求问题进行转化，简化计算.
6.已知双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，由双曲线的方程分析可得其渐近线方程，分析可得有，即，求出椭圆的半焦距，分析可得，解可得、的值，将、的值代入双曲线的方程，即可得答案．
【详解】解：根据题意，双曲线C：的焦点在x轴上，其渐近线方程为，
若其一条渐近线的倾斜角为，则该渐近线的方程为，
则有，即，
椭圆中，，
若双曲线与椭圆有相等的焦距，则有，
解可得，，
则双曲线的方程为；
故选：C．
【点睛】本题考查双曲线、椭圆的几何性质，注意分析双曲线的焦点位置，属于基础题．
7.已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题知，，所以==，解得，故选A.
考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.
【此处有视频，请去附件查看】
8.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为.若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先由题意确定点P的坐标，然后列方程确定a,b的值即可确定渐近线方程.
【详解】∵抛物线的焦点坐标F(1,0)，p=2，
抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c，即c=1，
设P(m,n)，由抛物线定义知：
.
∴P点的坐标为.
，解得：.
则渐近线方程为.
故选C.
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求解，抛物线的几何性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题（本大题共6小题）
9.命题：“”的否定为____．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【详解】写命题否定时，除结论要否定外，存在量词与全称量词要互换，因此命题“”的否定是“”.
故答案为∀x∈R，x2﹣ax+1≥0
【点睛】本题考查命题的否定及特称命题与全称命题的关系，属于基本知识的考查．
10.对于常数、，“”是方程“的曲线是椭圆”的__________．
【答案】必要不充分条件
【解析】
因为时，表示圆，所以“方程“曲线是椭圆””推不出方程“方程“的曲线是椭圆”，当方程“
的曲线是椭圆”时，能推出，所以应该填必要不充分条件.
11.已知椭圆G的中心在坐标原点，焦距为4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小距离为6，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用已知条件列出方程组，求解a、c，得到椭圆的离心率．
【详解】解：椭圆G的中心在坐标原点，焦距为4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小距离为6，
，解得，，
所以椭圆的离心率为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
12.已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义把问题转化为求|PM|+|PD|的最小值，同时可推断出当D，P，M三点共线时|PM|+|PD|最小，答案可得．
【详解】设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义可知|PF|＝|PD|
∴要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，
只有当D，P，M三点共线时|PM|+|PD|最小，此时P纵坐标为2，则横坐标为2
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，涉及与抛物线有关的最值问题，属中档题．
13.已知倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点交抛物线于A、B两点，并且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
考虑角为锐角，设A、B两点在准线上的射影分别为C、过B作于则有，．设，则，，同理由为钝角得出，综上可得出答案.
【详解】解：若角锐角，如图，
设A、B两点在准线上的射影分别为C、D．
过B作于则有，
设，则．
则．
若角为钝角，由对称性可知.
因此，.
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了转化思想，属于中档题．
14.已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴的交点为H，点在C上，且，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设，，则，由，可得，解得即可求解．
【详解】解：由抛物线C：，得焦点，准线方程为过P作PM垂直准线于M，
设，，则，
．
由，可得，
解得．
则的面积为，
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题）
15.（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求该椭圆的标准方程；
（2）已知抛物线顶点在原点，对称轴是y轴，并且焦点到准线的距离为5，求该抛物线方程．
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】
（1）设出椭圆的方程为，由题意可得a，c，求得b，可得所求方程；
（2）设抛物线的方程为，，由焦点到准线的距离解得t，可得所求方程．
【详解】解：（1）设椭圆的方程为，
由题意可得，即，，即，
，
则椭圆的标准方程为；
（2）设抛物线的方程为，，
焦点到准线的距离为5，可得，即，
则抛物线的标准方程为或．
【点睛】本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16.已知椭圆C：的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线l的方程．
【答案】（1）（2）直线l的方程为
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的几何性质求得，；
（2）联立直线与椭圆，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率k
，从而求得直线l方程．
【详解】解：（1）椭圆C的离心率为，，
，即
椭圆C的两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为，
，，从而得，
椭圆C的方程为；
（2）显然，直线l的斜率存在，设该斜率k，
直线l的方程为，即，
直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得：
且该方程显然有二不等根，
记A，B两点的坐标依次为，，
，即，
，解得，
所求直线l的方程为．
【点睛】本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题．
17.已知抛物线C：经过点，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）若，求面积的最小值．
【答案】（1）抛物线C的方程为．焦点坐标为，准线方程为（2）面积的最小值为4
【解析】
【分析】
（1）根据题意，将P的坐标代入抛物线的方程，可得p的值，即可得抛物线的标准方程，分析即可得答案；
（2）直线AB的方程为，与抛物线的方程联立，可得，设，，结合，结合根与系数的关系分析可得，进而可得面积的表达式，分析可得答案．
【详解】解：（1）由抛物线C：经过点知，解得．
则抛物线C的方程为．
抛物线C的焦点坐标为，准线方程为；
（2）由题知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：，
由消去x，得．
设，，则，．
因为，所以，即，
解得（舍去）或．
所以解得．
所以直线AB：．
所以直线AB过定点．．
当且仅当，或，时，等号成立．
所以面积的最小值为4．
【点睛】本题考查抛物线的与直线的位置关系，关键是求出抛物线的标准方程，属于中档题．
18.已知椭圆经过点，一个焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．
【答案】（1）椭圆的方程是；（2）的取值范围为．
【解析】
【详解】试题分析：（1）求椭圆的方程，已知椭圆经过点，一个焦点为，故可用待定系数法，利用焦点为可得，利用过点，可得，再由，即可解出，从而得椭圆的方程；（2）求的取值范围，由弦长公式可求得线段的长，因此可设，由得，，则是方程的两根，有根与系数关系，得，，由弦长公式求得线段的长，求的长，需求出的坐标，直线与轴交于点，可得，线段的垂直平分线与轴交于点，故先求出线段的中点坐标，写出线段的垂直平分线方程，令，既得点的坐标，从而得的长，这样就得的取值范围．
试题解析：（1）由题意得解得，．
所以椭圆的方程是．
（2）由得．
设，则有，，
．所以线段的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为．
于是，线段的垂直平分线与轴的交点，又点，
所以．
又．
于是，．
因为，所以．所以的取值范围为．
考点：求椭圆的方程，直线与椭圆位置关系，二次曲线范围问题．
19.已知椭圆的离心率为，其短轴的端点分别为，且直线分别与椭圆交于两点，其中点，满足，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若面积是面积的5倍，求的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意得到关于a,b,c方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；
（Ⅱ）由题意得到直线AM,BM的方程，联立直线方程与椭圆方程，求得点E,F的坐标结合题意即可得到关于m的方程，解方程即可确定m的值.
【详解】（Ⅰ）由题意可得：，解得：，
椭圆的方程为 .
（Ⅱ）且，
∴直线的斜率为，直线的斜率为，
∴直线的方程为，直线的方程为，由得，
∴，
∴.
由得，
∴，
∴.
∵，，
，
∴，
∴
∴
∵，且
∴整理方程得，
∴为所求.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．