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- 2021-04-13 发布
天津南开中学2018届高三第四次月考
数 学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，则
A. (0, +¥) B. {-2, -1, 1, 2}
C. {-2, -1} D. {1, 2}
2. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是
A. 14 B. 15
C. 16 D. 17
3. 已知p，q是简单命题，那么“p Ù q是真命题”是“Ø p是真命题”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2 = (a - b)2 + 6，，则△ABC的面积为
A. 3 B.
C. D.
5. 设变量x，y满足不等式 则x2 + y2的最小值是
A. B. C. D.
6. 设实数a, b, c分别满足2a3 + a = 2，blog2 b = 1，clog5 c = 1，则a, b, c的大小关系为
A. a > b > c B. b > a > c
C. c > b > a D. a > c > b
7. 已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：（b > a > 0）上有一点P（m > 0），点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点.过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的标准方程是
A. B. C. D.
8. 定义在(-1, 1]上的函数f (x)满足，当xÎ[0, 1]时，f (x) = x.若函数在(-1, 1]内恰有3个零点，则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 设复数，则z的虚部为__________.
10. 的展开式中，常数项为__________.
11. 已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ =sin (θ +)，则圆上的点到直线l的最大距离为__________.
12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________.
13. 已知圆C：(x - m)2 + (y - n)2 = 9的圆心在第一象限，直线l：x + 2y + 2 = 0与圆C相交的弦长为4，则的最小值为__________.
14. 在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB = 2CD = 2，.动点E和F分别在线段CD和BC上，且的最大值为，则的取值范围为__________.
三. 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （本小题满分13分）
中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛．种子选手M与B1，B2，B3三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．
（Ⅰ）若M至少获胜两场的概率大于，则M入选征战里约奥运会的最终大名单，否则不予入选，问M是否会入选最终的大名单？
（Ⅱ）求M获胜场数X的分布列和数学期望．
16. （本小题满分13分）
已知函数.
（Ⅰ）求f (x)在区间[0, π]内的单调区间；
（Ⅱ）若，，求sin x0的值.
17. （本小题满分13分）
如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，，，P为DF的中点.
（Ⅰ）求证：PE∥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D - EF - A的余弦值；
（Ⅲ）设G为线段AD上一点，， 若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，求AG的长.
18. （本小题满分13分）
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2 = 4，an+12 = 6Sn + 9n + 1，nÎN*.各项均为正数的等比数列{an}满足b1 = a1，b3 = a2.
（Ⅰ）求数列{an}，{an}的通项公式；
（Ⅱ）若cn = (3n - 2)·bn，数列{cn}的前n项和为Tn.
①求Tn；②若对任意n≥2，nÎN*，均有(Tn- 5)m≥6n2 - 31n + 35恒成立，求实数m的取值范围.
19. （本小题满分14分）
已知椭圆C：（a > b > 0）的离心率为，直线y = 1与椭圆C的两交点间距离为8.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，设R(x0, y0)是椭圆C上的一动点，由原点O向圆(x - x0)2 + (y - y0)2 = 4引两条切线，分别交椭圆C于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率均存在，并分别记为k1，k2，求证：k1·k2为定值.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问ïOPï2 + ïOQï2是否为定值?若是，求出该值，若不是，请说明理由.
20. （本小题满分14分）
已知函数f (x) = - x3 + x2 + b，g(x) = aln x.
（Ⅰ）若f (x)在上的最大值为，求实数b的值；
（Ⅱ）若对任意xÎ[1, e]，都有g(x)≥- x2 + (a + 2)x恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设对任意给定的正实数a，曲线y = F(x)上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（O为坐标原点），且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由.
天津南开中学2018届高三第四次月考
数学（理工类）参考答案
一. 选择题：每小题5分，满分40分.
1. C 2. C 3. D 4. C
5. B 6. C 7. A 8. C
二. 填空题：每小题5分，满分30分.
9. 10. -40 11.
12. 13. 14.
7. 设其中一条直线为，与联立，得，故，点P到直线的距离.
所以，又因为，所以联立解得ab = 2，又因为，所以a = 1，b = 2.
8. 当xÎ(-1, 0)时，x + 1Î(0, 1)，又xÎ[0, 1]时，f (x) = x，所以，所以，所以
令，xÎ(-1, 1]，作出h(x)的图象.
，y = mx + m - 1恒过点P(-1, -1)，，，设C(x0, y0)，则时，，
所以，，
所以，解得，故.
所以，即为所求.
13. 由题意，得，又因为m > 0，n > 0，所以m + 2n = 3，
所以（当且仅当时等号成立）.
14. 因为，所以.又因为AÎ[0, π]，所以，又因为的最大值为，BA = 2，所以在上的射影最大为.
过D作DM⊥AB于M点，则，
所以，.
过C作CN⊥AB于N点，过B作BQ⊥AC于Q点.
则，
所以，，
所以的最小值为，
最大值为.
三. 解答题
15. （本小题满分13分）
解 （Ⅰ）记M与B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，则，，，，由于事件A，B，C相互独立，所以
由于，所以M会入选最终的大名单.
（Ⅱ）M获胜场数X的可能取值为0，1，2，3，则
X
0
1
2
3
P
数学期望.
16. （本小题满分13分）
解 （Ⅰ）
.
因为xÎ[0, π]，所以.
令，因为y = sin t在上单调递增，在上单调递减，
所以f (x)的单调递增区间是，单调递减区间是.
（Ⅱ），
因为，所以，
所以
17. （本小题满分13分）
方法一：
解 （Ⅰ）取AD的中点Q，连接PQ，BQ，
则PQ∥AF∥BE，且
所以四边形BEPQ为平行四边形，
所以PE∥BQ.
又BQÌ平面ABCD，PEË平面ABCD，
所以PE∥平面ABCD.
（Ⅱ）取AB中点O，连接CO，
则CO⊥AB，
因为平面ABCD⊥平面ABEF，交线为AB，所以CO⊥平面ABEF，
作OM∥AF，分别以OB，OM，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，F(-1, 4, 0)，E(1, 2, 0)，于是，，
设平面DEF的法向量
则，令x = 1，则y = 1，
平面AEF的法向量，所以，
又因为二面角D - EF - A为锐角，所以其余弦值为.
（Ⅲ）A(-1, 0, 0)，，，
则，，平面ABEF的法向量为，
设直线FG与平面ABEF所成角为θ，于是，
于是，.
方法二：
解 （Ⅰ）作AD中点Q
∵且PQ∥BE ∴四边形BEPQ是平行四边形
∴PE∥BQ ∵BQÌ平面ABCD ∴PE∥平面ABCD
（Ⅱ）过D作DH⊥AB，垂足记为H，过H作HK⊥EF，连接DK
则cosÐDKH即为所求
易得，，
故即为所求.
（Ⅲ）记G在平面ABEF的射影为M，则∠GFM即直线FG与平面ABEF所成角
设AG＝m，则，，，
令，解得即为所求.
18. （本小题满分13分）
解 （Ⅰ）因为an+12 = 6Sn + 9n + 1，
所以，an2 = 6Sn-1 + 9(n - 1) + 1
所以an+12 - an2 = 6an + 9（n≥2）
所以an+12 = (an + 3)2，又各项为正数
所以an+1 = an + 3（n≥2）
所以数列{an}从第2项开始成等差数列，
又a2 = 4，42 = 6a2 + 9 + 1，
所以a1 = 1，
所以a2 - a1 = 3，
所以{an}是公差为3的等差数列.
所以an = 3n - 2（nÎN+）.
因为b1 = 1，b3 = 4，
所以bn = 2n-1（nÎN+）.
（Ⅱ）①因为cn = (3n - 2)·2n - 1.
Tn = 1·20 + 4·21 + ¼ + (3n - 2)·2n - 1
2Tn = 1·21 + 4·22 + ¼ + (3n - 2)·2n
两式相减，得Tn = (3n - 5)·2n + 5
②(3n - 5)·2n·m≥6n2 - 31n + 35恒成立
所以，即恒成立.
设，，，
当n≤4时，f (n + 1) > f (n)；当n≥5时，f (n + 1) < f (n)，
所以，所以.
19. （本小题满分14分）
解 （Ⅰ）由题意得椭圆C过点(4, 1)，即
而c2 = a2 - b2，，
所以 解得
所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）设直线OP：y = k1x，OQ：y = k2x，
因为直线OP为圆R的切线，所以，
整理得到，
同理可得，.
所以k1，k2是关于k的方程的两个不等实根.
所以x02 - 4 ¹ 0，∆ > 0，，
因为点R(x0, y0)在椭圆C上，
所以，即.
所以，即k1·k2为定值.
（Ⅲ）ïOPï2 + ïOQï2是定值.
设P(x1, y1)，将直线y = k1x与椭圆C联立得，
所以. 设Q(x2, y2)，同理可得.
由（Ⅱ）可知，即，
则
所以，ïOPï2 + ïOQï2 = 25.
20. （本小题满分14分）
解 （Ⅰ）由f (x) = - x3 + x2 + b，得f ′(x) = -3x2 + 2x = -x(3x - 2)
令f ′(x) = 0，得x = 0或
列表如下：
x
0
f ′(x)
-
0
+
0
-
f (x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
由，，所以，
即最大值为，所以b = 0.
（Ⅱ）由g(x)≥- x2 + (a + 2)x，得(x - ln x)a≤x2 - 2x.
因为xÎ[1, e]，所以ln x≤1≤x，且等号不等同时取得，
所以ln x < x，即x - ln x > 0，
所以恒成立，即
令（xÎ[1, e]），则，
当xÎ[1, e]时，x - 1≥0，ln x≤1，x + 2 - 2ln x > 0，
从而t′(x)≥0，所以t(x)在[1, e]上为增函数，
所以tmin(x) = t(1) = -1，所以a≤-1.
（Ⅲ）存在.
由条件， 假设曲线y = F(x)上存在两点P，Q满足题意，
则P，Q只能在y轴两侧，
不妨设P(t, F(t))（t > 0），则P(-t, t3 + t2)，且t ¹ 1
因为△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形
所以，所以-t2 + F(t)(t3 + t2) = 0…………………(※)
是否存在P，Q等价于方程(※)在t > 0且t ¹ 1时是否有解.
①若0 < t < 1时，方程(※)为-t2 + (-t3 + t2)(t3 + t2) = 0，
化简得t4 - t2 + 1 = 0，此方程无解.
②若t > 1时，方程(※)为-t2 + aln t·(t3 + t2) = 0，
即，设h(t) = (t + 1)ln t（t > 1），则，
显然，当t > 1时，h′(t) > 0，即h(t)在(1, +¥)上为增函数
所以h(t)的值域为(h(1), +¥)，即(0, +¥)，
所以当a > 0时，方程(※)总有解.
所以对任意给定的正实数a，曲线y = F(x)上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上.