高考数学复习练习第1部分 专题七 第二讲 预测演练提能 2页

‎1．(2013·湖北高考改编)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a＞b＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆 O相切，求椭圆C的离心率．‎ 解：由题意知，椭圆C的普通方程为＋＝1(a>b>0)，直线l的直角坐标方程为x＋y＝m，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝b2，设椭圆C的半焦距为c，则根据题意可知，|m|＝c，＝b，所以有c＝b，所以椭圆C的离心率e＝＝＝.‎ ‎2．(2013·重庆高考改编)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，求AB的长．‎ 解：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x＝4， ①‎ 化为普通方程为y2＝x3(x≥0)， ②‎ 联立①②得A(4,8)，B(4，－8)，故|AB|＝16.‎ ‎3．极坐标系中，A为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求AB的最小值．‎ 解：将互化公式分别代入曲线和直线的极坐标方程，可得圆方程为(x＋1)2＋y2＝4，圆心(－1,0)，半径为2，直线方程为x＋y－7＝0，‎ 圆心到直线的距离d＝＝4.‎ 所以|AB|的最小值为4－2.‎ ‎4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知动点P，Q在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．‎ ‎(1)求M的轨迹的参数方程；‎ ‎(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ 解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α), 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．‎ M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．‎ ‎(2)M点到坐标原点的距离 d＝＝(0＜α＜2π)．‎ 当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．‎ ‎5．(2012·江苏高考)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ 解：在ρsin＝－中令θ＝0，‎ 得ρ＝1，‎ 所以圆C的圆心坐标为(1,0)．‎ 因为圆C经过点P，‎ 所以圆C的半径PC＝ ＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎6．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的单位长度，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)求圆C在直角坐标系中的方程；‎ ‎(2)若圆C与直线l相切，求实数a的值．‎ 解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，‎ 化为直角坐标方程得x2＋y2＝4x，‎ 即圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)将直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程得x－y－a＝0.‎ 由圆C与直线l相切，得＝2，‎ 解得a＝－2或6.‎