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- 2021-04-13 发布
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万载中学2022届期中考试
一、单选题60分
1.已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={}，由N⊆M，得或=1．由此能求出实数a的取值集合．
【详解】∵集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N⊆M，
∴当a=0时，N=∅，成立；
当a≠0时，N={}，
∵N⊆M，∴或=1．
解得a=﹣1或a=1，
综上，实数a的取值集合为{1，﹣1，0}．
故选：D．
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2.已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出的值，然后根据的范围代入对应解析式求值．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查已知分段函数求函数值，基础题．
3.下列命题中，正确的是（ ）
①在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆柱、圆锥、圆台定义和特点来分析.
【详解】①：若上下底面各取的点的连线能平行于轴，则是母线，反之则不是，错误；
②：母线的定义，显然正确；
③：圆台可看做是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，根据圆锥母线的定义可知错误；
④圆柱母线都平行于轴，故也相互平行，正确；
只有②④两个命题是正确.
故选C.
【点睛】本题考查圆锥、圆锥、圆台的认识，难度较易.处理空间几何体的定义判断问题，有时可以通过画图形的方式进行判断或者验证.
4.已知函数，则 的大致图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用特殊值、、，排除错误选项.
【详解】当时，，排除A，
当时，，排除D，
当时，，排除C，
故选B.
【点睛】从函数解析式结合选项，发现零点、单调性、奇偶性、过特殊点等性质，是求解函数图象问题的常见方法.
5.已知，且，则（ ）
A. 18 B. 26 C. 36 D. 42
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据指数对数互化关系，利用表示出，将两边同除以，根据换底公式变形,将对数的底数都变为即可求解.
【详解】由题意得，.又由，得，所以，即，解得.
【点睛】指数式与对数式互化：.
6.若函数，且的图象恒过点，则
A. 3 B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意利用指数函数的单调性和特殊点可得，且，求得m和n的值，可得的值．
【详解】由题意，函数，且的图象恒过点，
所以，且，
解得，，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
7.设x、y、z均为正数，且，（）y=，（）z=log2z，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数与方程的关系，作出对应的函数，利用数形结合进行判断即可。
【详解】在同一个坐标系中画出函数 的图象如下图所示
由图可知，
所以选A
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质，通过图像比较函数值的大小，属于中档题。
8.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为4，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为4的正方形，则三棱柱的左视图面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，得出该几何体左视图的高和宽的长度，求出它的面积，即可求解.
【详解】根据题意，该几何体左视图的高是正视图的高，所以左视图的高为，
又由左视图的宽是俯视图三角形的底边上的高，所以左视图的宽为，
所以该几何体的左视图的面积为，
故选A.
【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
9.设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】B
【解析】
A中，也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，也可能相交；D中，也可能在平面内.
【考点定位】点线面的位置关系
10.李冶(1192-1279)，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注： 平方步为亩，圆周率按近似计算）
A. 步、步 B. 步、步 C. 步、步 D. 步、步
【答案】B
【解析】
【分析】
根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池半径为r，方田边长为40步+2r．从而建立关系求解即可
【详解】设圆池的半径为步，则方田的边长为步，由题意，得＝，解得或（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B.
【点睛】本题考查了对题意的理解和关系式的建立．读懂题意是关键,在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型； 根据函数模型，结合题意，获得函数模型的解.
11.已知函数，若存在，，使得成立，则的取值范围
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先分别求得与的值域，再根据交集即可求得m的取值范围。
【详解】与的值域为
的值域为
因为存在，，使得成立
则的取值范围
所以选A
【点睛】本题考查了函数值域的求解，存在性成立问题，属于中档题。
12.，若，则的范围（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设，判断为奇函数，为增函数，代入利用函数性质解得答案.
【详解】设，则
，为奇函数
易知：，，为增函数，故为增函数
即
即
故解得
故答案选C
【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性，其中构造函数是解题的关键，忽略掉定义域是容易发生的错误.
二、填空题20分
13.设，，若，则______.
【答案】7
【解析】
【分析】
根据，，求出，再根据对应关系求值即可
【详解】，，.，，，.
【点睛】本题考查集合的补集运算，正确书写集合的补集是解题的关键，一般情况下，原集合端点处取到等号，则补集取不到等号
14.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则不等式的解集为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，得出在上的单调性以及，结合函数的单调性，将不等式，转化为 或，化简即可求解.
【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数
所以在上是减函数，因为，所以
所以不等式等价 或
解得 或
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性以及抽象不等式的解法，属于中等题.
15.如图所示为一个正方体的展开图．对于原正方体，给出下列结论：
①AB与EF所在直线平行； ②AB与CD所在直线异面；
③MN与BF所在直线成角；④MN与CD所在直线互相垂直．
其中正确结论的序号是________．
【答案】②④
【解析】
【分析】
先将展开图还原为正方体，再由图观察即可得解.
【详解】
由展开图可知，各点在正方体中的位置如图：
由图可知，，①不正确；,异面，②正确；
,③不正确；，④正确，
故答案为：②④.
【点睛】本题考查了两直线平行、垂直的判定，属中档题.
16.已知，若存在，当时，有，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先作出函数的图像，由题意令，则与有两不同交点，求出的范围，再由，求出，将化为，即可求出结果.
【详解】作出函数图像如下：
因为存在，当时，有，
令，则与有两不同交点，
由图像可得，
由得，解得；
所以，
因为，所以当时，取最小值，
即的最小值为
【点睛】本题主要考查函数零点问题，以及二次函数最值问题，通过数形结合与转化的思想，将问题转化为求二次函数最值的问题，即可求解，属于常考题型.
三、解答题70分
17.已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）当时，易得显然成立；当时，化简，根据，列出不等式组，求解，即可得出结果；
（2）由（1），再根据，列出不等式组，求解，即可得出结果.
【详解】（1）因为集合，，
当时，显然满足，故满足题意；
当时，，
若，只需，解得或；
综上可得，；
（2）因为，由（1）可得，
且有，解得或.
故实数的取值范围是或.
【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数的问题，熟记集合的基本关系即可，属于常考题型.
18.计算下列各式的值
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用分数指数幂、零指数幂的运算法则，对式子求值即可；
（2）利用式子中的对数式都化成以6为底的对数，再利用对数运算法则求值即可.
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查有理指数幂运算与对数运算法则，考查基本运算求解能力.
19.已知函数、的定义域都是，是奇函数，是偶函数，且.
（1）求，的解析式；
（2）若，求的值域和单调区间.
【答案】（1）（2）的值域是；单调递增，单调递减
【解析】
【分析】
（1）已知是奇函数，是偶函数则可将换成代入得，利用奇偶性即可列出关于和的另一个关系式，联立，的两个等式求解即可。
（2）由（1）代入和可得表达式，即可求出值域与单调区间。
【详解】（1），又，得
（2）由已知，得，故的值域是；单调递增，单调递减
【点睛】已知奇偶函数之和的方程，可将代换成得出新的等式，利用奇偶性化简即可得关于两个奇偶函数的方程组，联立求解即可。
20.如图，在四棱锥中，，，，，，，分别为棱，的中点.
（1）证明：平面.
（2）证明：平面平面.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理得，已知，故得证；（2）由题，E为AB中点，，故ABCD为平行四边形，，由F为PB中点，EF为三角形APB中位线，故，AP和AD相交于A，EF和CE相交于E，故得证。
【详解】证明：（1）因为，，，所以，由
所以.
因为，，所以平面.
（2）因为为棱的中点，所以，
因为，所以.
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，所以平面.
因为，分别为棱，的中点，所以，所以平面.
因为，平面，平面，所以平面平面.
【点睛】本题考查直线和平面垂直的判定，平面和平面平行的判断，比较基础。
21.已知函数，．
（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）方程可化为，易知已是该方程的根，从而要使原方程只有一解，即要求方程有且仅有一个等于1的解或无解，结合图象可得a的范围；
（2）不等式对恒成立，即对恒成立，分，两种情况进行讨论，分离出参数a后转化为求函数的最值即可；
【详解】（1）方程，即，变形得，
显然，已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程有且仅有一个等于1的解或无解，
.即的取值范围是.
（2）当时，不等式恒成立，即对恒成立.
①当时，式显然成立，此时.
②当时，式可变形为
令
当时，，当时，，，故此时.
综合①②，得所求实数的取值范围是.
【点睛】本题考查方程根的问题，考查分离参数法的运用，考查恒成立问题，正确变形是解题的关键.
22.已知函数是奇函数，其中a＞1．
（1）求实数m的值；
（2）讨论函数f（x）的增减性；
（3）当时，f（x）的值域是（1，＋∞），求n与a的值．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.
【解析】
【分析】
(1)根据求出m的值得解.(2)利用函数单调性的定义判断函数的增减性.(3)对n分两种情况讨论，n与a的值.
【详解】（1）因为是奇函数，所以，
所以，
所以，
即对定义域内任意都成立，
所以，．由于，
所以.
（2）的定义域为．
当时，，任取，，，
则；
因为，，，
所以，
所以，即，
所以在上单调递减．
又因为是奇函数，所以在上也单调递减．
（3）因为，定义域为，
①当时，则，即，
因为在上为减函数，值域为，
所以，即，
所以，或（不合题意，舍去），且；
②当时，，
所以，即，且在上为减函数，值域是；所以，即，
解得（不合题意，舍去），或（与矛盾，舍去）．
综上，，．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用和单调性的判断，考查函数的图像和性质的综合运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.