- 836.50 KB
- 2021-04-13 发布
甘肃省兰州一中2018届高三9月份月考试卷
数学（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，且，那么的值可以是
A． B. C. D.
2．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是
A. B. C. D.
3．当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是
A.x 3＜3x＜log3x B.3x＜x 3＜log3 x C.log3 x＜x 3＜3x D.log3 x＜3x＜x 3
4. 从一个棱长为1的正方体中切去若干部分，得到一个
1
1
1
1
1
1
主视图
俯视图
左视图
第4题
几何体，其三视图如下图，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
5．数列满足，，（），则等于
A．5 B．9 C．10 D．15
6.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的
代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是
A. B. C. D.
7．设，满足约束条件，则目标函数的最小值为
A. B. C. D.
8．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象，则的值是
A.1 B.2 B. D.0
9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形
的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创
立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小
数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是
利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的
值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）
A. 12 B.18 C.24 D. 32
10.已知函数，则的图像大致为
11. 已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为
A. B. C. D.
12．已知函数，若方程有四个不同的解，
且，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知为实数，为虚数单位，若为实数，则________．
14. 已知正项数列的首项，前n项和为，若以为坐标的点在曲线上，则数列的通项公式为________．
15. 在△ABC中，，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则=________．
16. 已知函数有下列4个命题：
①若，则的图象关于直线对称；
②与的图象关于直线对称；
③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；
④若为奇函数，且，则的图象关于直线对称.
其中正确的命题为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题，共60分。
17.（本小题满分12分）
已知中，角所对的边分别是且．
（1）求角的大小；
（2）设向量，边长，求当取最大值时，的面积的值．
18.（本小题满分12分）
兰州一中在世界读书日期间开展了“书香校园”系列读书教育活动。为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查。下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”。
非读书迷
读书迷
合计
男
15
女
45
（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？
（2）利用分层抽样从这100名学生的“读书迷”中抽取8名进行集训，从中选派2名参加兰州市读书知识比赛，求至少有一名男生参加比赛的概率。
附：
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
题（19）图
19.（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥，底面为菱形，，
,平面，分别是的中点。
（1）证明：；
（2）若为的中点时，与平面所成的角最大，
且所成角的正切值为，求点A到平面的距离。
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的一个焦点为，其左顶点在圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为 （点与点不重合），证明：直线过x轴上的一定点，并求出定点坐标．
21.(本小题满分12分)
已知函数．
（1）当a =5时，求的单调区间；
（2）若有两个极值点,且，求取值范围．（其中e为自然对数的底数）．
（二）选考题，共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,安所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分,多答按所答第一题评分。
22.（本小题满分10分）
在直角坐标系中，直线的倾斜角为且经过点．以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线的极坐标方程为．
（1）若直线与曲线有公共点，求的取值范围；
（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围．
23.（本小题满分10分）
设函数
（1）若的解集为，求实数a的值；
（2）当a=2时，若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围.
甘肃省兰州一中2018届高三9月份月考
数学参考答案（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.D 2.A 3.C 4.C 5.D 6. B 7.B 8.D 9.C 10. A 11.A 12.D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.-2 14. 15. 16. ①②③④
三、解答题：本题共6小题，共70分。
17.（本小题满分12分）
（1）由题意，所以 ……………5分
（2）因为
所以当时， 取最大值，此时， …………………………9分
由正弦定理得，
所以， ……………………………………12分
18.（本小题满分12分）
（1）2×2列联表如下：
非读书迷
读书迷”
合计
男
40
15
55
女
20
25
45
合计
60
40
100
…
………………………2分
易知的观测值 ………… ……………4分
因为，所以有99%的把握认为“读书迷”与性别有关. ……………6分
（2）利用分层抽样抽取的8名“读书迷”中有男生3名，女生5名，分别设男生和女生为、， ……………………8分
设从8名“读书迷”中选派2名，至少选派一名男生参加比赛的事件为 则基本事件共有28种，
其中至少选派一名男生参加比赛的事件有18种， ……………………10分
所以， 所以，至少有一名男生参加比赛的概率为 ………………12分
19.（本小题满分12分）
（1）证明：由四边形为菱形，，可得，为正三角形. 因为M为的中点，所以. ………2分
又，因此. 因为平面，平面，所以.
而，所以平面. ………………5分
（2）连接、.由（Ⅰ）可知：平面.则为与平面所成的角.
在中，，所以当最短时，最大， ……………7分
H H
即当时，最大，此时，
因此.又，所以，于是. …10分
设点A到平面的距离为d，
则由，得，
所以，点A到平面的距离为 …………12分
20.(本小题满分12分)
（1）∵椭圆的左顶点在圆上，∴
又∵椭圆的一个焦点为，∴ ∴
∴椭圆的方程为 ………………4分
（2）设，则直线与椭圆方程联立
化简并整理得，
∴， ………………8分
由题设知 ∴直线的方程为
令得 ∴直线过定点. ………………12分
21.（本小题满分12分）
（1）的定义域为，
， ………………3分
源:]
的单调递增区间为和，单调递减区间为. ……………5分
（2）因为，令
若有两个极值点，则方程g(x)=0有两个不等的正根，所以＞０,
即 (舍)或时，且，． ………………7分
又，于是，
． ………………………………9分
，则恒成立，在单调递减，，即，故的取值范围为． ……………………………12分
22.（本小题满分10分）
（1）将C的极坐标方程化为直角坐标为,
直线的参数方程为. ………………...................2分
将直线的参数方程代入曲线C的方程整理得， .......………3分
直线与曲线有公共点，，得.
的取值范围为. .............……………………5分
（2）曲线C的方程，
其参数方程为， ................………………………7分
为曲线C上任意一点，
， ......... ......... ......... ................9分
的取值范围是. ...........................……………………10分
23.（本小题满分10分）
【解析】（Ⅰ）显然， ………………………………………………………1分
当时，解集为， ，； …………3分
当时，解集为，令，无解，
综上所述，. .……………………………………………………5分]
（Ⅱ）当时，
令 ……………7分
由此可知，在单调减，在和单调增，
则当时，取到最小值，
………………………………8分
由题意知，，则实数的取值范围是. ……………10分