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- 2021-04-13 发布
泗县二中2016～2017学年第二学期期中测试
高二数学试题
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．
1．已知结论“圆上一点处切线方程为”．
类比圆的这个结论得到关于椭圆在点的切线方程
为 ▲ ．
2．已知函数的零点在区间内，则 ▲ ．
3．观察下列式子：据其中规律，可以猜想出： ▲ ．
4．已知数列满足，则 ▲ ．
5．计算 ▲ ．
6． 二次函数（）的两个零点分别分布在区间和内，则实数的取值范围为 ▲ ．
7．已知函数是上的偶函数，满足，且当时，，令函数，若在区间上有个零点，分别记为，则 ▲ ．
8．已知集合，，则 ▲ ．
9．幂函数过点，则 ▲ ．
10．已知复数，则= ▲ ．
11．函数的定义域为 ▲ ．
12．计算= ▲ ．
13．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是 ▲ （填序号）．
①假设三个角都不大于； ②假设三个角都大于；
③假设三个角至多有一个大于； ④假设三个角至多有两个大于．
14．已知，当有四个解时，实数的取值范围
是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
已知集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
16．（本题满分14分）
已知复数．
（1）若复数所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数的值；
（2）若复数为纯虚数，求实数的值．
17．（本题满分14分）
沭阳县某水果店销售某种水果，经市场调查，该水果每日的销售量（单位：千克）与销售价格近似满足关系式，其中为常数，已知销售价格定为元千克时，每日可销售出该水果千克．
（1）求实数的值；
（2）若该水果的成本价格为元千克，要使得该水果店每日销售该水果获得最大利润，请你确定销售价格的值，并求出最大利润．
18．（本题满分16分）
（1）已知椭圆方程为，点．
i．若关于原点对称的两点记直线的斜率分别为
，试计算的值；
ii．若关于原点对称的两点记直线的斜率分别为，试计算的值；
（2）根据上题结论探究：若是椭圆上关于原点对称的两点，点是椭圆上任意一点，且直线的斜率都存在，并分别记为，试猜想的值，并加以证明．
19．（本题满分16分）
已知函数为其定义域内的奇函数．
（1）求实数的值；
（2）求不等式的解集；
（3）证明：为无理数．
20．（本题满分16分）
已知，函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若在恒成立，求的取值范围；
（3）若关于的方程在区间内的解恰有一个，求的取值范围．
高二数学试题参考答案
一、填空题：
1、 2、 3、 4、 5、 6、② 7、
8、2 9、 10、 11、2 12、 13、 14、
二、解答题：
15、解（1）当时，，………………………………3分
……7分
（2），
………………………………………………..………12分
解得 ．…………………………………….…...……14分
16、解（1）复数所对应的点在一、三象限的角平分线上，
，…………………………….….4分
解得 ………………………………………………..…….6分
（2）复数为纯虚数，
……………………………………….….…10分
…………………………………………..…….12分
解得 ……………………………………………………...….14分
17、解 （1）由题意知当时，，
所以得
……………………………………...….4分
解得 ………………………………………………….…...6分
（2）由知销售量为 ，
设利润为，则
得 .………………....10分
即
所以当时，利润最大，最大值为．………………....12分
答：当销售价格定为元/千克时，日获得利润最大为42元．…………...14分
18、解（1）i. 因为,
所以…………………….3分
ii. 因为，
所以……………………………..6分
（2）猜想………………………………………..…8分
证明: 设点,则点,从而,设点,
由,……………………………....10分
得（*）
由，，………………..……12分
代入（*）式得
所以…………………………………………16分
19、解（1）因为为其定义域内奇函数，
所以 ，
即 ….….………..….2分
即 ……………………………..….4分
所以 ………………………………….… 5分
当时，对数无意义，故舍去，
所以………………………………………………………....……6.分
（2）的定义域为…………………………......…7分
由, 得
………………………………...…….….9分
又因为的定义域为
所以得解集为………………………………………10分
（3）（）…………………………………..….11分
假设为有理数，则其可以写成最简分数形式，而且唯一的，
设（其中为两个互质的正整数）…………….…13分
得 ，即 （*），
因为为两个互质的正整数，
所以为奇数，为偶数，显然奇数不等于偶数，
所以（*）式不成立……………………………………………...….... 15分
所以假设不成立，
所以为无理数………………………………………....16分
20、解（1）当时，，
由得，………………………………...…..1分
所以 ………………………..….…3分
（2）因为在恒成立，
即在恒成立，
即在恒成立，即 在恒成立…..5分
令，由在恒成立，
所以在区间单调递增，……………………………...…7分
所以的最小值为，
所以， 即 ……………………..…………….…....9分
（3）由题意得
所以
即，即….11分
①当时，，满足题意；………………….12分
②当时，
i．，即，满足题意；……………...…13分
ii．或解或..15分
从而 ………………………….……………..16分