2019-2020学年安徽省六安市第一中学高二下学期第一次在线自测数学（文）试题（解析版） 19页

‎2019-2020学年安徽省六安市第一中学高二下学期第一次在线自测数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.‎ 详解：‎ ‎，‎ 则，故选c.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎2．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.‎ ‎【详解】‎ 两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．‎ ‎3．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，可先解出：与：，再由是的充分不必要条件列出不等式即可得出a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由条件，解得或，故：，‎ 由条件得：，‎ ‎∵是的充分不必要条件，‎ ‎∴，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题以不等式为背景考查充分条件必要条件的判断，考查了推理判断能力，准确理解充分条件与必要条件是解题的关键.‎ ‎4．设、、，，，，则、、三数（ ）‎ A．都小于 B．至少有一个不大于 C．都大于 D．至少有一个不小于 ‎【答案】D ‎【解析】利用基本不等式计算出，于此可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 由基本不等式得，‎ 当且仅当时，等号成立，因此，若、、三数都小于，则与矛盾，即、、三数至少有一个不小于，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎5．下列说法:①越小,X与Y有关联的可信度越小;②若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的值越接近于1;③“若,则类比推出,“若,则;④命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是使用了“三段论”,推理形式错误.其中说法正确的有( )个 A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为越大,X与Y有关联的可信度越大，可判断①；两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1，可判断②；虚数不能比较大小可判断③；大前提“有些有理数是无限循环小数”不是全称命题，故可判断④.‎ ‎【详解】‎ ‎①中因为越大,X与Y有关联的可信度越大，所以越小,X与Y有关联的可信度越小,正确；‎ ‎②中因为若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1，故错误；‎ ‎③中因为虚数不能比较大小，可知错误；‎ ‎④中因为大前提的形式：“有些有理数是无限循环小数”，不是全称命题，故推理形式错误判断正确.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了独立性检验，线性回归，类比推理，三段论推理，属于中档题.‎ ‎6．函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数为偶函数排除,当时,利用导数得在上递减,在上递增,根据单调性分析不正确,故只能选.‎ ‎【详解】‎ 令,则,‎ 所以函数为偶函数,其图像关于轴对称,故不正确,‎ 当时,,,‎ 由,得,由,得,‎ 所以在上递减,在上递增,‎ 结合图像分析,不正确.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.‎ ‎7．方程，化简的结果是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由所给方程,可知动点到定点和 距离和是定值,根据椭圆的定义可知其轨迹是椭圆,即可求出椭圆的,进而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据两点间的距离公式可得: 表示点与点的距离,‎ 表示点与点的距离.‎ 所以原等式化简为 因为 所以由椭圆的定义可得:点的轨迹是椭圆: ‎ 根据椭圆中:,得:‎ 所以椭圆的方程为: .‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了由椭圆的几何意义来求椭圆方程,能理解椭圆定义是解本题关键.‎ ‎8．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）‎ A．乙、丁可以知道自己的成绩 B．乙可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．丁可以知道四人的成绩 ‎【答案】A ‎【解析】根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，‎ 又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，‎ 又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，‎ 又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.‎ 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由七块板组成，其简易结构如图所示.某人将七巧板拼成如图中的狐狸形状.若在七巧板中随机取出一个点，则该点来自于图中阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先设正方行边长为，分别求出阴影面积和正方形面积，由几何概型即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设正方行边长为，由题知：‎ 阴影面积为两个斜边为的等腰直角三角形和一个边长为的正方形构成.‎ ‎.‎ 由几何概型知：.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型，求出阴影面积为解题的关键，属于简单题.‎ ‎10．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，类比已知中的求法，可构造方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ 可设，则，解得：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形为可以整体换元的方式.‎ ‎11．若，且，则下列不等式一定成立的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设函数，函数为偶函数，求导得到函数的单调区间，变换得到，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设函数，函数为偶函数，则在上恒成立.‎ 即函数在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎，即，根据单调性知.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数是解题的关键.‎ ‎12．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，‎ l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】联立方程解得M(3，)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.‎ ‎【详解】‎ 依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.‎ 由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4‎ 又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形 点M到直线NF的距离为 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ 二、填空题 ‎13．若复数满足，其中i是虚数单位，则的虚部为________.‎ ‎【答案】－1‎ ‎【解析】利用复数的运算法则求出，根据虚部的概念即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎∴的虚部为，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎14．已知样本、、、、的平均数是，方差是，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用平均数公式和方差公式能求出和 的值，然后利用完全平方公式能计算出的值.‎ ‎【详解】‎ 由平均数公式得，即，‎ ‎，即，‎ 即，可得，‎ ‎，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用平均数和方差公式求参数值，考方程思想的应用，属于基础题.‎ ‎15．已知双曲线的左、右焦点为、，过点的直线与双曲线的左支交于、两点，的面积是面积的三倍，，则双曲线的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由的面积是面积的三倍，，可得，可设，，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，化简可得m=a，再由勾股定理和离心率公式，可得所求值．‎ ‎【详解】‎ 由的面积是面积的三倍，，可得，‎ 设，，则，，‎ 由，解得，‎ 则，，‎ 再由得．‎ 所以双曲线的离心率，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的性质应用，求解离心率问题，通过题目找出a、b、c三者之间的等量关系即可，此类问题通常结合焦点三角形的性质，常常利用的关系有直角三角形三边关系、三角形相似、向量关系、斜率关系等，计算量大，属于中等难度题.‎ ‎16．设,则的最小值是_________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】由得，注意，分类和分别求最小值，然后比较．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，又，‎ 当时，‎ ‎，当且仅当，即时等号成立．‎ 当时，，‎ 记，，‎ ‎∵，∴，当时，，递增，当时，，，递减，时，取得唯一的极小值也是最小值，‎ 综上，的最小值是5.‎ 故答案为：5．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求最值，考查用基本不等式求最值，考查用导数求函数的最值．对于含绝对值的代数式，常用方法是分类讨论，按的正负分类，其中时用基本不等式求最小值，时用导数求最小值．只是最后要比较取其中最小的一个为答案．‎ 三、解答题 ‎17．某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校300名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）.‎ 平均每天锻炼的时间/分钟 总人数 ‎34‎ ‎51‎ ‎59‎ ‎66‎ ‎65‎ ‎25‎ 将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.‎ ‎（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；‎ 锻炼不达标 锻炼达标 合计 男 女 ‎40‎ ‎160‎ 合计 ‎（2）通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？‎ 参考公式：，其中.‎ 临界值表 ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）能，计算见解析 ‎【解析】（1）根据题中所给的数据，即可列出列联表；‎ ‎（2）将（1）中列出列联表数据，代入公式计算得出，与临界值比较即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 锻炼不达标 锻炼达标 合计 男 ‎90‎ ‎50‎ ‎140‎ 女 ‎120‎ ‎40‎ ‎160‎ 合计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ ‎（2），‎ 所以，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“锻炼达标”与性别有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验的运用，属于基础题．‎ ‎18．为了纪念“一带一路”倡议提出五周年,某城市举办了一场知识竞赛,为了了解市民对“一带一路”知识的掌握情况,从回收的有效答卷中按青年组和老年组各随机抽取了40份答卷,发现成绩都在内,现将成绩按区间,,,，进行分组,绘制成如下的频率分布直方图．‎ 青年组 中老年组 ‎(1)利用直方图估计青年组的中位数和老年组的平均数；‎ ‎(2)从青年组,的分数段中,按分层抽样的方法随机抽取5份答卷,再从中选出3份答卷对应的市民参加政府组织的座谈会,求选出的3位市民中有2位来自分数段的概率．‎ ‎【答案】(1)中位数为80，平均数为(2)‎ ‎【解析】(1)根据中位数使得左右两边的面积相等,可以确定中位数,再根据在频率分布直方图计算平均数的方法计算即可求出平均数；‎ ‎(2) 求邮青年组,的分数段中答卷的份数,再求出抽取比例,最后确定两段中分别抽取的答卷份数, 记中的3位市民为,,,中的2位市民为,,列出可能出现的情况,最后求出选出的3位市民中有2位来自分数段的概率．‎ ‎【详解】‎ 解：(1)由青年组的频率分布直方图可知,前3个小矩形的面积和为,后2个小矩形的面积和为,所以中位数为80．‎ 中老年组成绩的平均数为．‎ ‎(2)青年组,的分数段中答卷分别为12份,8份,‎ 抽取比例为,所以两段中分别抽取的答卷分别为3份,2份．‎ 记中的3位市民为,,,中的2位市民为,,‎ 则从中选出3位市民，共有不同选法种数10种：‎ ‎,,,,‎ ‎,,,,,．‎ 其中,有2位来自的有3种：,,．‎ 所以所求概率．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了在频率分布直方图确定中位数和平均数的方法,考查了分层抽样的方法,考查了古典概型概率的求法.‎ ‎19．某地区不同身高的未成年男孩的体重平均值如下表：‎ 身高 ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ 体重 ‎6.13‎ ‎7.90‎ ‎9.99‎ ‎12.15‎ ‎15.02‎ 已知与之间存在很强的线性相关性，‎ ‎（1）据此建立与之间的回归方程；‎ ‎（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高体重为的在校男生的体重是否正常？‎ 参考数据：，，‎ 附：对于一组数据，，…，，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.‎ ‎【答案】(1) . (2) 正常的.‎ ‎【解析】（1）先求得及,即可求得.代入线性回归方程中即可求得.再由即可求得,进而得回归方程.‎ ‎（2）根据回归方程及参考数据,即可求得该男生的体重,进而判断该体重是否位于平均值的1.2倍与0.8倍之间.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知可得 ‎,‎ ‎∴‎ 又,‎ ‎∴‎ 所以 ‎∴回归方程为：‎ ‎（2）当时,,‎ 而,‎ ‎,‎ ‎∴这一在校男生的体重是正常的.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了非线性回归方程在实际问题中的应用,计算量较为复杂,需要耐心计算,属于中档题.‎ ‎20．已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．‎ ‎（1）若为等边三角形，求C的离心率；‎ ‎（2)如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；（2），a的取值范围为.‎ ‎【解析】（1）先连结，由为等边三角形，得到，，；再由椭圆定义，即可求出结果；‎ ‎（2）先由题意得到，满足条件的点存在，当且仅当，‎ ‎，，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连结，由为等边三角形可知：在中，，，，‎ 于是，‎ 故椭圆C的离心率为；‎ ‎（2）由题意可知，满足条件的点存在，当且仅当，，，‎ 即 ①‎ ‎ ②‎ ‎ ③‎ 由②③以及得，又由①知，故；‎ 由②③得，所以，从而，故；‎ 当，时，存在满足条件的点.‎ 故，a的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）证明：当时，．‎ ‎【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析 ‎【解析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．‎ ‎（2）当时，,令，只需证明即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），．‎ 因此曲线在点处的切线方程是．‎ ‎（2）当时，．‎ 令，则，‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增；‎ 所以 ．因此．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问构造很关键，本题有难度．‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求C和l的直角坐标方程；‎ ‎（2）求C上的点到l距离的最小值．‎ ‎【答案】（1）；；（2）‎ ‎【解析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得：，又 整理可得的直角坐标方程为：‎ 又，‎ 的直角坐标方程为：‎ ‎（2）设上点的坐标为：‎ 则上的点到直线的距离 当时，取最小值 则 ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.‎ ‎23．已知函数的最大值为.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若、、均为正数，且满足，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出该不等式的解集；‎ ‎（2）由（1）可得出函数的最大值的值，从而得出，然后再利用基本不等式可证明出不等式成立.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 令，即，解得，此时；‎ 当时，，‎ 令，即，解得，此时；‎ 当时，，‎ 令，即，解得，此时.‎ 综上所述，不等式的解集为；‎ ‎（2）由（1）知，当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 综上所述，函数的最大值为，.‎ 由基本不等式得，‎ 当且仅当时，等号成立，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及含绝对值函数最值的求解，考查分类讨论思想与推理能力，属于中等题.‎