【数学】2019届文科一轮复习人教A版2-6对数函数教案 9页

第六节　对数函数 ‎ [考纲传真]　(教师用书独具)1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．‎ ‎(对应学生用书第18页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．对数的概念 ‎ 如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．‎ ‎2．对数的性质、换底公式与运算性质 ‎ (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．‎ ‎ (2)换底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．‎ ‎ (3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：‎ ‎ ①loga(M·N)＝logaM＋logaN；‎ ‎ ②loga＝logaM－logaN，③logaMn＝nlogaM(n∈R)．‎ ‎3．对数函数的定义、图象与性质 定义 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1‎ ‎0＜a＜1‎ 性质 定义域：(0，＋∞)‎ 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)‎ 当0＜x＜1时，y＜0；‎ 当x＞1时，y＞0‎ 当0＜x＜1时，y＞0；‎ 当x＞1时，y＜0‎ 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 ‎4. 反函数 ‎ 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．换底公式的两个重要结论 ‎ (1)logab＝；‎ ‎ (2)logambn＝logaB．‎ ‎ 其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R.‎ ‎2．对数函数的图象与底数大小的比较 ‎ 如图261，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜B．由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．‎ 图261‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)log2x2＝2log2x.(　　)‎ ‎ (2)当x＞1时，logax＞0.(　　)‎ ‎ (3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．(　　)‎ ‎ (4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象不在第二、三象限．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则(　　)‎ ‎ A．a＞b＞c　　　　　　　　　　 B．a＞c＞b ‎ C．c＞b＞a　　　 D．c＞a＞b ‎ D　[∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＞log＝1，∴c＞a＞B．]‎ ‎3．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图262，则下列结论成立的是(　　)‎ 图262‎ ‎ A．a＞1，c＞1‎ ‎ B．a＞1,0＜c＜1‎ ‎ C．0＜a＜1，c＞1‎ ‎ D．0＜a＜1,0＜c＜1‎ ‎ D　[由图象可知y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位得到的，其中0＜c＜1.再根据单调性可知0＜a＜1.]‎ ‎4．(教材改编)若loga＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)‎ ‎ A． B．(1，＋∞)‎ ‎ C．∪(1，＋∞) D． ‎ C　[当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；‎ ‎ 当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.‎ ‎ 即实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．]‎ ‎5．(2018·苏州模拟)计算：2log510＋log5＝________，2log43＝________. ‎ ‎【导学号：79170033】‎ ‎ 2　　[2log510＋log5＝log5＝2，因为log43＝log23＝log2，所以2log43＝2log2＝.]‎ ‎(对应学生用书第19页)‎ 对数的运算 ‎　(1)设‎2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)‎ ‎ A．　　　　　　　　 B．10‎ ‎ C．20 D．100‎ ‎ (2)(2018·太原模拟)已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x等于(　　)‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ (1)A　(2)D　[(1)∵‎2a＝5b＝m，∴a＝log‎2m，b＝log‎5m，‎ ‎ ∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，‎ ‎ ∴m＝.‎ ‎ (2)由log7[log3(log2x)]＝0得log3(log2x)＝1，‎ ‎ 即log2x＝3，所以x＝8，‎ ‎ 所以x＝.]‎ ‎ [规律方法]　　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．‎ ‎ 2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．‎ ‎ 3．ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2017·东城区综合练习(二))已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为(　　)‎ ‎ A．24　　　　 B．16 ‎ ‎ C．12　　　　 D．8‎ ‎ (2)(2015·浙江高考)计算：log2＝________，2log23＋log43＝________.‎ ‎ (1)A　(2)－　3　[(1)∵3＜2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝‎ ‎ 23＋log23＝8×3＝24，故选A．‎ ‎ (2)log2＝log2－log22＝－1＝－；2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2＝3.]‎ 对数函数的图象及应用 ‎　(1)(2016·河南焦作一模)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)‎ ‎ ‎ A　　 　　　　B C　 　　　　　D ‎ (2)(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．‎ ‎ (1)B　(2)(1，＋∞)　[(1)若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y＝loga|x|的大致图象如图所示．故选B．‎ ‎ (2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a 表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．]‎ ‎ [规律方法]　　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．‎ ‎ 2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．‎ ‎[变式训练2]　(1)(2018·邵阳模拟)若函数f(x)＝ax－k·a－x(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝loga(x＋k)的大致图象是(　　)‎ ‎ (2)(2018·合肥模拟)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　) ‎ ‎【导学号：79170034】‎ ‎ A． B． ‎ C．(1，) D．(，2)‎ ‎ (1)B　(2)B　[(1)由题意函数f(x)＝ax－k·a－x(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，∴有f(0)＝0，即0＝1－k，‎ ‎ ∴k＝1，根据增＋增＝增，∴y＝ax是增函数，∴a＞1.‎ ‎ 那么函数g(x)＝loga(x＋1)(a＞1)的图象单调递增，恒过(0,0)，故选B．‎ ‎ (2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在上的图象，可知f＜g，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为.‎ ‎]‎ 对数函数的性质及应用 角度1　比较对数值的大小 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅰ)若a＞b＞0,0＜c＜1，则(　　)‎ ‎ A．logac＜logbc B．logca＜logcb ‎ C．ac＜bc D．ca＞cb ‎ (2)(2018·榆林模拟)设a＝60.4，b＝log‎0.40.5‎，c＝log80.4，则a、b、c的大小关系是(　　)‎ ‎ A．a＜b＜c B．c＜b＜a ‎ C．c＜a＜b D．b＜c＜a ‎ (1)B　(2)B　[(1)∵0＜c＜1，∴当a＞b＞1时，logac＞logbc，A项错误；‎ ‎ ∵0＜c＜1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又a＞b＞0，‎ ‎ ∴logca＜logcb，B项正确；‎ ‎ ∵0＜c＜1，∴函数y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，‎ ‎ 又∵a＞b＞0，∴ac＞bc，C项错误；‎ ‎ ∵0＜c＜1，∴y＝cx在(0，＋∞)上单调递减，‎ ‎ 又∵a＞b＞0，∴ca＜cb，D项错误．‎ ‎ (2)因为a＝60.4＞1，b＝log‎0.40.5‎∈(0,1)，c＝log80.4＜0，所a＞b＞C．]‎ 角度2　解简单的对数不等式 ‎　(1)(2018·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝，则不等式f(x)≤5的解集为(　　)‎ ‎ A．[－1,1] B．(－∞，－2]∪(0,4)‎ ‎ C．[－2,4] D．(－∞，－2]∪[0,4]‎ ‎ (2)(2016·浙江高考)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则(　　)‎ ‎ A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0‎ ‎ C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0‎ ‎ (1)C　(2)D　[(1)由于f(x)＝，‎ ‎ 当x＞0时，3＋log2x≤5，即log2x≤2＝log24，解得0＜x≤4，当x≤0时，x2－x－1≤5，即(x－3)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤0，‎ ‎ ∴不等式f(x)≤5的解集为[－2,4]，故选C．‎ ‎ (2)法一：logab＞1＝logaa，‎ ‎ 当a＞1时，b＞a＞1；‎ ‎ 当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1.只有D正确．‎ ‎ 法二：取a＝2，b＝3，排除A，B，C，故选D．]‎ 角度3　探究对数型函数的性质 ‎　已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．‎ ‎ (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；‎ ‎ (2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：79170035】‎ ‎ [解]　(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，‎ ‎ 因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．‎ ‎ 由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，‎ ‎ 函数f(x)的定义域为(－1,3)．‎ ‎ 令g(x)＝－x2＋2x＋3，‎ ‎ 则g(x)在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减．‎ ‎ 又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，‎ ‎ 所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，‎ ‎ 单调递减区间是(1,3)．‎ ‎ (2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，‎ ‎ 则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，‎ ‎ 即解得a＝.‎ ‎ 故存在实数a＝使f(x)的最小值为0.‎ ‎ [规律方法]　　利用对数函数的性质研究对数型函数的性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．‎