2014年高考真题——理科数学（天津卷） 原卷版 11页

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。 第Ⅰ卷 一、选择题 （本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位，复数 7 34 i i   A.1 i B. 1 i C. 17 31 25 25i D. 17 25 77i 2.设变量 x 、 y 满足约束条件 20 20 1 xy xy y          ，则目标函数 2z x y 的最小值为 A. 2 B.3 C. 4 D.5 3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为 A.15 B.105 C.245 D.945 4.函数 2 1 2 ( ) log ( 4)f x x的单调递增区间为 A. (0 ， ) B. ( ， 0) C.(2 ， ) D.( ， 2) 5.已知双曲线 22 221( 0xy aab   ， 0)b  的一条渐近线平行于直线l ： 2 10yx，双曲 线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 A. 22 15 20 xy B. 22 120 5 xy C. 2233125 100 xy D. 22331100 25 xy 6.如图， ABC 是圆的内接三角形， BAC 的平分线交圆于点 D ，交 BC 于 点 E ，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F ，在上述条件下，给出下 列四个结论：① BD 平分 CBF ；② FAFDFB 2 ；③ DEBECEAE  ； ④ BFABBDAF  .则所有正确结论的序号是 A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④ 7.设 a 、bR ，则“ ab ”是“ | | | |a a b b ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知菱形 ABCD的边长为 2 ， 120BAD   ，点 E 、 F 分别在边 BC 、 DC 上， BE BC ， DF DC .若 1 AFAE ， CFCE 3 2 ，则 A. 1 2 B. 2 3 C. 5 6 D. 7 12 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该 校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查. 已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比 为 4: 5: 5: 6，则应从一年级本科生中抽取 名学生. 10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体 的体积为 3m . 11.设{}na 是首项为 1a ，公差为 1 的等差数列， nS 为其前 n 项 和，若 1S 、 2S 、 4S 成等比数列，则 1a 的值为 . 12.在 ABC 中，内角 A 、B 、C 所对的边分别是 a 、b 、c . 已知 1 4b c a ，2sin 3sinBC ，则 cos A 的值为 . 13.在以O 为极点的极坐标系中，圆 4sin 和直线 sin a 相交于 A 、B 两点.若 AOB 是等边三角形，则 a 的值为 . 14.已知函数 2( ) | 3 |f x x x ， xR .若方程 ( ) | 1| 0f x a x   恰有 4 个互异的实数根， 则实数 a 的取值范围为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 13 分） 已知函数 2 3( ) cos sin( ) 3 cos34f x x x x    ， xR . ⑴求 ()fx的最小正周期； ⑵求 ()fx在闭区间[ 4  ， ]4  上的最大值和最小值. 16.（本小题满分 13 分） 某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学.在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院， 其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. ⑴求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率； ⑵设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望. 17.（本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD， AD AB ， //AB DC ， 2AD DC AP   ， 1AB  ，点 E 为棱 PC 的中点. ⑴证明： BE DC ； ⑵求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值； ⑶若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF AC ，求二面角 F AB P的余弦值. 18.（本小题满分 13 分） 设椭圆 22 221( 0)xy abab    的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，右顶点为 A ，上顶点为 B .已 知 12 3| | | |2AB F F . ⑴求椭圆的离心率； ⑵设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点 1F ，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率. 19.（本小题满分14分） 已知 q 和 n 均为给定的大于1的自然数，设集合 {0M  ，1， 2 ，...， 1}q  ，集合 12{|A x x x x q    ... 1n nxq ， ixM ， 1i  ， 2 ，...， }n . ⑴当 2q  ， 3n  时，用列举法表示集合 A ； ⑵设 s 、tA ， 12s a a q   ... 1n naq ， 12t b b q   ... 1n nbq ，其中 ia 、 ibM ， 1i  ， 2 ，...， n .证明：若 nnab ，则 ts  . 20.（本小题满分 14 分） 设 ( ) ( )xf x x ae a R   ， xR .已知函数 ()y f x 有两个零点 1x ， 2x ，且 12xx . ⑴求 a 的取值范围； ⑵证明 2 1 x x 随着 a 的减小而增大； ⑶证明 12xx 随着 a 的减小而增大.