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- 2021-04-12 发布
四川省泸县第二中学2019-2020学年高二下学期第一次在线月考
文科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角是
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是
A． B．
C． D．
3．“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知命题“设、、，若，则”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段的中点的横坐标为4，则
A．6 B．8 C．12 D．16
6． 若圆的半径为，则实数
A． B．-1 C．1 D．
7．已知圆，圆，则圆和圆的位置关系为
A．相切 B．内含 C．外离 D．相交
8．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则锐角的取值范围是
A． B． C． D．
9．已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是
A． B．
C． D．
10．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积
A． B． C． D．
11．若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝
A．30° B．60° C．120° D．150°
12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为左顶点，过点且斜率为的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，则该双曲线的离心率是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．不等式的解集用区间表示为______.
14．抛物线的焦点坐标是___________．
15．双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于9，那么点到另一个焦点的距离等于_____.
16．已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）给定如下两个命题：命题“曲线是焦点在轴上的椭圆，其中为常数”；命题“曲线是焦点在轴上的双曲线，其中为常数”．已知命题“”为假命题，命题“”为真命题，求实数的取值范围.
18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照,分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（I）求直方图中的值；
（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.
19．（12分）已知动点到定点的距离比到定直线的距离小，其轨迹为.
（I）求的方程
（II）过点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围.
20．（12分）足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：
年份x
2014
2015
2016
2017
2018
足球特色学校y（百个）
0.30
0.60
1.00
1.40
1.70
（I）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱.
（已知：，则认为y与x线性相关性很强；，则认为y与x线性相关性一般；，则认为y与x线性相关性较）：
（II）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）.
参考公式和数据：，
，.
21．（12分）如图，在平行四边形中，，，，分别是和的中点，将沿着向上翻折到的位置，连接，.
（I）求证：平面；
（II）若翻折后，四棱锥的体积，求的面积.
22．（12分）已知椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若直线l绕点F任意转动，总有，求a的取值范围．
2020年春四川省泸县第二中学高二第一学月考试
文科数学试题参考答案
1．C 2．C 3．A 4．B 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．D 11．C 12．B
13． 14． 15．3或15 16．
17．若命题为真命题，则，若命题为真命题，则，
由题知与一真一假，若真假，则，此时无解.
若假真，则，得，
综上：实数的取值范围是．
18：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，
同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30．
（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．
由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
300 000×0.12="36" 000．
（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，
而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，
所以2.5≤x<3．
由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，解得x=2.9．
所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．
19．解：（1）由题意知，动点到与定直线的距离与到定点的距离相等，由抛物线的定义可知，曲线的方程为：.
（2）由题意知直线存在斜率，设直线的方程为，，，中点，
则由得，
所以，，
则线段的中垂线的方程为，则，
又，即，
所以的取值范围是.
20．（1）由题得
所以，
y与x线性相关性很强.
（2）
，
，
关于的线性回归方程是.
当时，，即该地区2020年足球特色学校有244个.
（1）取的中点，连接，∵是的中点，∴
又∵是的中点，∴
∴，∴四边形是平行四边形，∴，
又∵平面，平面，
∴平面；
（2）取的中点，连接，过作的垂线于点，连接则
∵四棱锥的体积，而四边形的面积为，
设四棱锥的高为，则解得，∴，∴平面，
又∵平面，∴，又∵，∴平面，
又平面，∴，∴是的高，而在中，，
∴的面积.
22．（1）设为短轴的两个三等分点，为正三角形，
所以，，解得．，所以椭圆方程为．
（2）设
（ⅰ）当直线与轴重合时，
．
（ⅱ）当直线不与轴重合时，设直线的方程为：
整理得
因恒有，所以恒为钝角，
即恒成立．
又，所以对恒成立，
即对恒成立，
当时，最小值为0，所以，，
因为，即，解得或（舍去），
即，综合（i）（ii），的取值范围为．