2018届二轮复习三角恒等变换名卷考点汇文学案（全国通用） 8页

考点1.3 三角恒等变换 精讲考点汇总表 ‎ 题号 考点 难度星级 命题可能 ‎5‎ 不等式 ‎★★★‎ ‎○○○○○‎ ‎10‎ 函数零点 ‎★★★★‎ ‎○○○○‎ ‎11‎ 三角恒等变换 ‎★★★★‎ ‎○○○○○‎ ‎16‎ 解三角形 ‎★★★★‎ ‎○○○○○‎ ‎20‎ 数列综合 ‎★★★★‎ ‎○○○○‎ ‎22‎ 导数应用 ‎★★★★★‎ ‎○○○○○‎ ‎【原题再现】11.已知，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 点睛：三角函数求值的三种类型 ‎(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.‎ ‎(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.‎ ‎①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；‎ ‎②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.‎ ‎(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.‎ 三角恒等变换,求值 ‎★★★‎ ‎○○○○‎ 一.利用诱导公式恒等变换 诱导公式一：，，其中 诱导公式二： ； ‎ 诱导公式三： ； ‎ 诱导公式四：； ‎ 诱导公式五：； ‎ 公式六：，.‎ 公式七：，‎ 公式八：，.‎ 公式九：，‎ 诱导公式口诀：纵变横不变，符号看象限 用诱导公式化简，一般先把角化成的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是纵轴（即轴）上的角，就是 “纵”，是横轴（即轴）上的角，就是“横”；符号看象限是，把看作是锐角，判断角在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）.‎ 用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间的角，再变到区间的角，再变到区间的角计算.‎ 二.利用同角三角函数关系式恒等变换 同角三角函数的基本关系式：‎ ‎（1），（2） ．‎ 三.利用和、差、倍、半、和积互化公式恒等变换 ‎1．两角和与差的三角函数 ‎；；‎ ‎.‎ ‎2．二倍角公式 ‎；；‎ ‎.‎ ‎3．降幂公式 ‎；，.‎ ‎4.辅助角公式 ‎，.‎ ‎5.有关公式的逆用、变形等 ‎；，‎ ‎,,,‎ ‎,,‎ ‎1.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求 ‎(1)原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少.‎ ‎(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.‎ ‎2. 利用诱导公式证明三角恒等式的主要思路 ‎(1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.‎ ‎(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子.‎ ‎(3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明.‎ 提醒：由终边相同的角的关系可知，在计算含有的整数倍的三角函数式中可直接将的整数倍去掉后再进行运算，如.‎ ‎3. 正、余弦三兄妹“、”的应用 与通过平方关系联系到一起，即，‎ 因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.‎ ‎4.如何利用“切弦互化”技巧 ‎（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得表达式，进行求值. ‎ 常见的结构有:‎ ‎① 的二次齐次式（如）的问题常采用“”代换法求解；‎ ‎②的齐次分式（如）的问题常采用分式的基本性质进行变形． ‎ ‎（2）切化弦：利用公式，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.‎ ‎5.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路 基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:‎ ‎（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.‎ ‎ 如，，，，等.‎ ‎(2)三角函数名互化：切化弦，弦的齐次结构化成切.‎ ‎(3)公式变形使用：如 ‎(4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式.‎ ‎(5)式子结构的转化.‎ ‎(6)常值变换主要指“‎1”‎的变换：等.‎ ‎（7）辅助角公式：(其中角所在的象限由的符号确定，‎ 的值由确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角为特殊角的情况即可.‎ 如等.‎ 两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：‎ ‎（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；‎ ‎（2）善于拆角、拼角，如，等；‎ ‎（3）注意倍角的相对性 ‎（4）要时时注意角的范围 ‎（5）化简要求：熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等.‎ ‎6．证明三角等式的思路和方法.‎ ‎（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式.‎ ‎（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等.‎ ‎7．解答三角高考题的策略.‎ ‎（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”.‎ ‎（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系.‎ ‎（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化.‎ ‎8．加强三角函数应用意识的训练 由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法.‎ ‎9．变为主线、抓好训练 变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律.‎ 针对高考中题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.‎ ‎[易错提示]　三角函数求值中要特别注意角的范围，如根据求的值时，中的符号是根据角的范围确定的，即当的范围使得时，取正号，反之取负号．注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题．‎ ‎1.若，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎ 2.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由 可得 ， ，故选D.‎ ‎1.已知，为锐角，且，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎2.已知满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，选A.‎ ‎3.已知为正整数，，且，则当函数取得最大值时，___________．‎ ‎【答案】‎ ‎________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎