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- 2021-04-12 发布
2019-2020学年广东省广州市荔湾区高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题）
1. 函数的定义域为
A. B. C. D.
2. 在下列四组函数中，与表示同一函数的是
A. ，
B. ，
C. ，，，
D. ，
3. 函数的零点所在的区间是
A. B. C. D.
4. 已知向量，且，则x的值是
A. B. 6 C. D.
5. 函数在上是增函数，则a的范围是
A. B. C. D.
6. 已知，，．，则与的夹角是
A. B. C. D.
7. 设，，，则a、b、c的大小关系是
A. B. C. D.
8. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象
A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度
9. 已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是
A. 2 B. C. D.
10. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影是
A. B. C. 5 D.
11. 已知函数在一个周期内的简图如图所示，则方程为常数且在内所有解的和为
A.
B.
C.
D.
12. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则a为
A. B. C. 或3 D. 或
二、填空题（本大题共4小题）
13. 幂函数的图象过点，则______．
14. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量Mkg、火箭除燃料外的质量mkg的函数关系是 当燃料质量是火箭质量的______ 倍时，火箭的最大速度可达到．
15. 已知，，那么的值是______．
16. 在等腰直角中，，，M是斜边BC上的点，满足，若点P满足，则的取值范围为______．
三、解答题（本大题共6小题）
1. 已知，且．
求的值；
求的值．
2. 已知全集，集合，．
若，求和；
若，求实数m的取值范围．
3. 已知．
若，求的单调递减区间；
若时，的最小值为，求a的值．
4. 药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量单位：千克是每平方米种植株数x的函数．当x不超过4时，v的值为2；当时，v是x的一次函数，其中当x为10时，v的值为4；当x为20时，v的值为0．
当时，求函数v关于x的函数表达式；
当每平方米种植株数x为何值时，每平方米药材的年生长总量单位：千克取得最大值？并求出这个最大值．年生长总量年平均生长量种植株数
5. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．
求实数的值；
已知点，，，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
1.
已知函数，其中．
Ⅰ当时，恒成立，求a的取值范围；
Ⅱ设是定义在上的函数，在内任取个数，，，，，设，令，，如果存在一个常数，使得恒成立，则称函数在区间上的具有性质P．
试判断函数在区间上是否具有性质P？若具有性质P，请求出M的最小值；若不具有性质P，请说明理由．
注：
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：要使有意义，则，解得，
的定义域为．
故选：A．
可看出，要使得有意义，则需满足，解出x的范围即可．
本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：A中的2个函数与 的定义域不同，故不是同一个函数．
B中的2个函数与具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数．
C中的2个函数，与，的定义域不同，故不是同一个函数．
D中的2个函数，的定义域、对应关系都不同，故不是同一个函数．
综上，A、C、D中的2个函数不是同一个函数，只有B中的2个函数才是同一个函数，故选B．
根据题意，逐一分析研究各个选项中的2个函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系．
本题考查构成函数的三要素：定义域、值域、对应关系．相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系．
3.【答案】C
【解析】解：因为，
，
所以，
函数是连续函数，
所以函数的零点所在区间是；
故选：C．
利用函数零点存在定理，对区间端点函数值进行符号判断，异号的就是函数零点存在的区间．
本题考查了函数零点的存在区间的判断；根据函数零点的判定定理，只要区间端点的函数值异号，就是函数零点存在区间．
4.【答案】B
【解析】解：因为，且，
所以，解之可得
故选B
由向量平行的条件可得，解之即可．
本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为函数，开口向下，对称轴，
若函数在上是增函数，
则，解得，
故选：B
．
因为函数开口向下，对称轴，若函数在上是增函数，则，即可解出答案．
本题考查二次函数的图象和性质，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设两个向量的夹角为
故选B
设出两个向量的夹角，利用向量的数量积公式列出方程，求出夹角的余弦，利用夹角的范围求出夹角．
求两个向量的夹角，一般先利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦，注意向量夹角的范围，求出向量的夹角．
7.【答案】A
【解析】解：由指数函数和对数函数的图象可以得到：，，，所以
故选A
由指数函数和对数函数的图象可以判断a、b、c和0、1的大小，从而可以判断a、b、c的大小
本题考查利用插值法比较大小，熟练掌握指数函数和对数函数的图象和取值的分布是解决本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：设将函数的图象向右平移a个单位后，得到函数，的图象，
则，
解得，
所以，函数的图象向右平行移动个单位长度，可得到函数，的图象，
故选：D．
由已知中把函数的图象平移后，得到函数，的图象，我们可以设出平移量为a，然后根据平移法则“左加右减，上加下减”构造关于平移量的方程，解方程求出平移量，即可得到答案．
本题考查的知识点是函数的图象变换，其中设出平移量为a，然后根据平移法则“左加右减，上加下减”构造关于平移量的方程，是解答本题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题给出扇形的圆心角和弦长，求扇形的弧长，属于基础题．
作出辅助线，利用解直角三角形求出扇形的半径，是解决问题的关键．设扇形OAB中，过O点作于点C，延长OC交弧AB于D点．在利用三角函数的定义求出半径AO长，再代入弧长公式加以计算，可得所求弧长的值．
【解答】
解：如图所示，设扇形OAB
中，圆心角，
过O点作于点C，延长OC，交弧AB于D点，
则，，
中，，得半径，
弧AB长．
故选B．
10.【答案】D
【解析】解：向量，，，；
则向量在向量方向上的投影是：．
故选：D．
向量在向量方向上的投影，计算即可得出结论．
本题考查向量的数量积，投影，属于基础题．
11.【答案】B
【解析】解：根据函数在一个周期内的简图，可得，
再把点代入可得，求得，．
再根据五点法作图可得，，故函数，
显然它的一个顶点坐标为，
故由图象可得方程为常数且在内所有的解共有2个，且这2个解的和等于，
故选：B．
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式；再利用图象以及正弦函数的图象的对称性，得出结论．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．
12.【答案】D
【解析】解：令，则，所以，则；
令，则，所以，则，
即，
令，则，，
故选：D．
利用时奇函数以及在上的解析式可求得解析式，再令，根据x范围可求出a的值
本题考查分段函数解析式的求法，涉及函数奇偶性的应用，求出解析式是关键，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设幂函数，
幂函数的图象过点，
，
解得，
，
，
故答案为：．
利用幂函数的定义即可求出．
熟练掌握幂函数的定义是解题的关键
14.【答案】63
【解析】解：．
火箭的最大速度可达，即
可得，
即，
即，
故答案为：63．
火箭的最大速度可达，即，将代入题中函数关系式，利用对数的基本运算法则进行求解即可得到结论．
本题主要考查对数的基本运算，考查了用函数知识解决实际问题的应用、对数的互化等知识点，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故答案为：．
直接利用两角和的正切函数公式求解即可．
本题考查两角和与差的三角函数，基本知识的考查．
16.【答案】
【解析】解：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标，
由可得，点P
在圆上，设，易知，，由可得，，
则，则，
由正弦函数的有界性可知，．
故答案为：．
依题意，建立平面直角坐标，求出各点的坐标，可得，进而得解．
本题考查平面向量的运用，通过坐标化解决问题是关键，属于基础题．
17.【答案】解：因为．，
所以，
故．
．
【解析】由．，利用同角三角函数关系式先求出，由此能求出的值．
利用同角三角函数关系式和诱导公式能求出的值．
本题考查三角函数值的求法，考查同角三角函数关系式和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：全集，集合，
．
当时，，
或，．
集合，
，
，
，
解得，
实数m的取值范围是．
【解析】本题考查补集、并集、实数的取值范围的求法，考查补集、并集、子集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
求出全集，集合A，B，由此能求出，．
求出集合，，由，列出不等式组，能求出实数m的取值范围．
19.【答案】解：因为
，
由，得，
所以的单调递减区间为；
因为，所以，
所以，
所以当，即时，函数取最小值，
即的最小值为，
所以．
【解析】对化简，利用整体思想，求出单调性即可；
因为，所以，即时，函数取最小值，代入求出a．
考查三角函数化简，单调性，最值的判断，中档题．
20.
【答案】解：由题意得，当时，；
当时，设，
由已知得，解得，所以，
故函数．
设药材每平方米的年生长总量为千克，
依题意及可得，
当时，为增函数，故；
当时，，此时．
综上所述，可知
当每平方米种植10株时，药材的年生长总量取得最大值40千克．
【解析】本题第题当时，设，然后代入两组数值，解二元一次方程组可得参数a、b的值，即可得到函数v关于x的函数表达式；第题设药材每平方米的年生长总量为千克，然后列出表达式，再分段求出的最大值，综合两段的最大值可得最终结果．
本题主要考查应用函数解决实际问题的能力，考查了理解能力，以及实际问题转化为数学问题的能力．本题属中档题．
21.【答案】解：，
因为A，E，C三点共线，
所以存在实数，使得，
即，
得，
因为，是平面内两个不共线的非零向量，
所以，解得，；
因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以，
设，则，
因为，
所以，解得，
所以点A的坐标为．
【解析】利用A，E，C三点共线，设存在实数，使得，联立解方程组求出即可；
为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以，由，联立解方程组，求出A的坐标即可．
考查向量共线定理的应用，向量的运算，平面向量的基本定理，中档题．
22.【答案】解：Ⅰ当时，恒成立，即时，恒成立，
因为，所以恒成立，即在区间上恒成立，
所以，即，
所以即a的取值范围是．
Ⅱ由已知，可知在上单调递增，在上单调递减，
对于内的任意一个取数方法，
当存在某一个整数2，3，，，使得时，
．
当对于任意的1，2，3，，，时，则存在一个实数k使得，
此时
，
当时，式，
当时，式，
当时，式．
综上，对于内的任意一个取数方法，均有．
所以存在常数，使恒成立，
所以函数在区间上具有性质P．
此时M的最小值为3．
【解析】Ⅰ当时，恒成立，可转化为恒成立，进而转化为函数最值问题解决；
Ⅱ先研究函数在区间上的单调性，然后对内的任意一个取数方法，根据性质P的定义分两种情况讨论即可：存在某一个整数2，3，，，使得时，当对于任意的1，2，3
，，，时；
本题考查函数恒成立问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决新问题的能力，本题综合性强、难度大，对知识能力要求较高．