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- 2021-04-12 发布
第五节 直接证明与间接证明
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点．
(对应学生用书第88页)
[基础知识填充]
1．直接证明
内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件
思维
过程
由因导果
执果索因
框图
表示
→
→…→
→→…→
书写
格式
因为…，所以…或由…，得…
要证…，只需证…，即证…
2. 间接证明
反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．( )
(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )
(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．( )
(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0 ，只要证明( )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C．－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
D [a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.]
3．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
A [“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选A．]
4．已知a，b，x均为正数，且a>b，则与的大小关系是__________．
> [∵－＝>0，∴>.]
5．(教材改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________三角形． 【导学号：79170218】
等边 [由题意2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，
∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，
∴A＝C，∴A＝B＝C＝，
∴△ABC为等边三角形．]
(对应学生用书第89页)
综合法
对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：
①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；
②f(1)＝1；
③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．
(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；
(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是否是理想函数．
【导学号：79170219】
[解] (1)证明：取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1，∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0. 2分
又对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0，∴f(0)≥0.于是f(0)＝0. 5分
(2)对于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件②，∴f(x)＝2x(x∈[0,1])不是理想函数. 7分
对于f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1.对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，
f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x－x＝2x1x2≥0，即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)．
∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数. 9分
对于f(x)＝，x∈[0,1]，显然满足条件①②.对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x
2≤1，
有[f(x1＋x2)]2－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2＋x2)＝－2≤0，即[f(x1＋x2)]2≤[f(x1)＋f(x2)]2，
∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③.
∴f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函数. 11分
综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数，f(x)＝2x(x∈[0,1])与f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函数. 12分
[规律方法] 综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用．
[变式训练1] 已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤g(x)．
[解] (1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2， 2分
由题意得
解得a＝0，b＝1. 5分
(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)
＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x>－1)．
h′(x)＝－x2＋x－1＝. 8分
所以h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．
h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x). 12分
分析法
已知a>0，求证：－≥a＋－2.
[证明] 要证－≥a＋－2，
只需要证＋2≥a＋＋. 2分
因为a>0，故只需要证2≥2，
即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2， 8分
从而只需要证2≥，
只需要证4≥2，
即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立． 12分
[规律方法] 1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．
2．分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．
[变式训练2] 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，C．
求证：＋＝. 【导学号：79170220】
[证明] 要证＋＝，
即证＋＝3，也就是＋＝1， 3分
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2， 5分
又△ABC三内角A，B，C成等差数列，
故B＝60°，
由余弦定理，得
b2＝c2＋a2－2accos 60°， 10分
即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立. 12分
反证法
设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
[解] (1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn， ②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝ 5分
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1. 8分
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列. 12分
[规律方法] 用反证法证明问题的步骤：
(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立；(否定结论)
(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)
(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)
[变式训练3] 已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋
a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根．
[证明] 假设三个方程都没有实数根，则
⇒ 6分
∴－