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- 2021-04-12 发布
2016-2017学年河南省安阳三十六中高二（上）第二次月考数学试卷
一、选择题
1.等差数列的第5项a5=8，且a1+a2+a3=6，则d=（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
2．下列命题为真命题的是（ ）
A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞b
C．若，则a＜b D．若，则a＜b
3．△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，三边之比a：b：c为（ ）
A．3：2：1 B．：2：1 C．：：1 D．2：：1
4．等比数列{an}中，S6=120，a1+a3+a5=30，则q=（ ）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
5．已知实数x、y满足，则z=2x﹣y的最小值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．2
6．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若A=，c=1，△ABC的面积为，则a的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．已知实数x、y满足，若z=2x+y的最大值为9，则实数a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若角A、B、C依次成等差数列，且﹣x2+5x﹣4＞0的解集为{x|a＜x＜c}，则S△ABC=（ ）
A． B．2 C．3 D．4
9．若，则y=x的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
10．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（ ）
A．13项 B．12项 C．11项 D．10项
11．已知，n=4﹣x2，则（ ）
A．m＞n B．m＜n C．m=n D．m≥n
12．数列{an}满足an﹣an+1=anan+1（n∈N*），数列{bn}满足bn=，且b1+b2+…+b9=90，则b4•b6（ ）
A．最大值为99 B．为定值99 C．最大值为100 D．最大值为200
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．若规定=ad﹣bc，则＜3的解集是 ．
14．Sn为等比数列{an}的前n项和，且S3=2，S6=6，则a4+a5+…+a12= ．
15．若x，y满足约束条件．则的最大值为 ．
16．关于x的不等式ax2+ax+a﹣1＜0对一切实数恒成立，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）解不等式
（1）（x﹣2）（a﹣x）＞0
（2）．
18．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b﹣c=0．
（1）求角A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
19．（12分）已知数列{an}：， +， ++， +++，…，那么数列bn=前n项和为 ．
20．（12分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
21．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=n2，数列{bn}满足b1=a1，bn+1（an+1﹣an）=bn．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn．
22．（12分）设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数为an（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=+（﹣1）nan，求数列{bn}的前2n项和．
2016-2017学年河南省安阳三十六中高二（上）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1.等差数列的第5项a5=8，且a1+a2+a3=6，则d=（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出公差．
【解答】解：∵等差数列的第5项a5=8，且a1+a2+a3=6，
∴，
解得a1=0，d=2．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
2．下列命题为真命题的是（ ）
A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞b
C．若，则a＜b D．若，则a＜b
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】分别举例说明选项A，B，C错误；利用基本不等式的性质说明D正确．
【解答】解：由ac＞bc，当c＜0时，有a＜b，选项A错误；
若a2＞b2，不一定有a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，选项B错误；
若，不一定有a＜b，如，当2＞﹣3，选项C错误；
若，则，即a＜
b，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了不等式的性质，是基础题．
3．△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，三边之比a：b：c为（ ）
A．3：2：1 B．：2：1 C．：：1 D．2：：1
【考点】正弦定理．
【分析】根据题意，利用A+B+C=π求出C、A、B的值，再由正弦定理可得三边之比为a：b：c=sinA：sinB：sinC．
【解答】解：△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，
∴B=2C，A=3C，
由A+B+C=π，得C=，
A=、B=；
由正弦定理可得三边之比为
a：b：c=sinA：sinB：sinC=1：： =2：：1．
故选D．
【点评】本题主要考查了正弦定理与三角形内角和定理的应用问题，是基础题．
4．等比数列{an}中，S6=120，a1+a3+a5=30，则q=（ ）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的通项公式和前n项和公式的定义得到（a1+a3+a5）•q=a2+a4+a6．S6=a1+a3+a5+a2+a4+a6，易求q的值．
【解答】解：设等比数列{an}的公比是q，则（a1+a3+a5）•q=a2+a4+a6．
∵S6=120，a1+a3+a5=30，
∴a2+a4+a6=90，
∴30q=90，
故q=3．
故选：B．
【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的公比的应用，属中档题．
5．已知实数x、y满足，则z=2x﹣y的最小值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．2
【考点】简单线性规划．
【分析】由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．
【解答】解：画出实数x、y满足可行域，z=2x﹣y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，
直线x﹣y+2=0与直线x+y=0的交点A（﹣1，1）处，
目标函数z=2x﹣y的最小值为﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题．在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．
6．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若A=，c=1，△ABC的面积为，则a的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【考点】正弦定理．
【分析】利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出．
【解答】解：由题意可得： =×sin，解得b=4．
∴a2==13，
解得a=．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．已知实数x、y满足，若z=2x+y的最大值为9，则实数a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先确定z=2x+y的最大值是9时，对应的最优解，进行求解即可．
【解答】解：由z=2x+y得y=﹣2x+z，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z，过点A时，
直线y=﹣2z+z的截距最大，此时z最大，2x+y=9，
由，
解得，即A（3，3），
同时A也在直线y=a上，
∴a=3，
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．
8．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若角A、B、C依次成等差数列，且﹣x2+5x﹣4＞0的解集为{x|a＜x＜c}，则S△ABC=（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由角A、B、C依次成等差数列，得B=60°，由﹣x2+5x﹣4＞0的解集为{x|a＜x＜c}，得a=1，c=4，由此能求出S△ABC．
【解答】解：∵在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，角A、B、C依次成等差数列，
∴，解得B=60°，
∵﹣x2+5x﹣4＞0的解集为{x|a＜x＜c}，
∴，解得a=1，c=4，
∴S△ABC==．
故选：A．
【点评】本题考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审，注意等差数列、一元二次不等式、正弦定理的合理运用．
9．若，则y=x的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【考点】基本不等式．
【分析】直角利用基本不等式，即可求出y=x的最大值．
【解答】解：∵，
∴y=x≤=，
∴y=x的最大值是，
故选B．
【点评】本题考查y=x的最大值，考查基本不等式的运用，比较基础．
10．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（ ）
A．13项 B．12项 C．11项 D．10项
【考点】等比数列的性质．
【分析】先设数列的通项公式为a1qn﹣1，则前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得即a12qn﹣1=2，又根据所有项的积为64，进而求出n．
【解答】解析：设数列的通项公式为a1qn﹣1则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn﹣3，a1qn﹣2，a1qn﹣1．
∴前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4
两式相乘得：a16q3（n﹣1）=8，即a12qn﹣1=2
又a1•a1q•a1q2…a1qn﹣1=64，
∴=64，即（a12qn﹣1）n=642，
∴2n=642，∴n=12
故选B
【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．
11．已知，n=4﹣x2，则（ ）
A．m＞n B．m＜n C．m=n D．m≥n
【考点】基本不等式．
【分析】由题意m=a﹣2++2≥4，n=4﹣x2≤4，即可得出结论．
【解答】解：由题意m=a﹣2++2≥4，n=4﹣x2≤4，∴m≥n，
故选D．
【点评】本题考查基本不等式的运用，考查二次函数的性质，比较基础．
12．数列{an}满足an﹣an+1=anan+1（n∈N*），数列{bn}满足bn=，且b1+b2+…+b9=90，则b4•b6（ ）
A．最大值为99 B．为定值99 C．最大值为100 D．最大值为200
【考点】数列的求和．
【分析】数列{an}满足an﹣an+1=anan+1（n∈N*），变形为=1，可知：数列是等差数列，公差为1．而数列{bn}满足bn=，因此数列{bn}是等差数列．由b1+b2+…+b9=90，利用等差数列的性质可得：b5=，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵数列{an}满足an﹣an+1=anan+1（n∈N*），∴=1，
∴数列是等差数列，公差为1．
∵数列{bn}满足bn=，∴数列{bn}是等差数列．
且b1+b2+…+b9=90，
∴4×2b5+b5=90，
解得b5=10=，
∴b4+b6=20．
则b4•b6≤=100，当且仅当b4=b6=10时取等号．
∴b4•b6的最大值为100．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．若规定=ad﹣bc，则＜3的解集是 {x|﹣1＜x＜3} ．
【考点】二阶行列式的定义．
【分析】由已知得x2﹣2x＜3，由此能求出＜3的解集．
【解答】解：∵规定=ad﹣bc，则＜3，
∴x2﹣2x＜3，
解得﹣1＜x＜3．
∴＜3的解集是{x|﹣1＜x＜3}．
故答案为：{x|﹣1＜x＜3}．
【点评】本题考查不等的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二除行列式的性质的合理运用．
14．Sn为等比数列{an}的前n项和，且S3=2，S6=6，则a4+a5+…+a12= 28 ．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由等比数列的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9，仍然为等比数列．解出即可得出．
【解答】解：由等比数列的性质可得：S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9，仍然为等比数列．
∴=S3•（S9﹣S6），（S6﹣S3）（S12﹣S9）=，
又S3=2，S6=6，
解得S9=14，S12=30．
则a4+a5+…+a12=S12﹣S3=28．
故答案为：28．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．若x，y满足约束条件．则的最大值为 3 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象知OA的斜率最大，
由，解得，即A（1，3），
则kOA==3，
即的最大值为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
16．关于x的不等式ax2+ax+a﹣1＜0对一切实数恒成立，则实数a的取值范围是 （﹣∞，0] ．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】先验证a=0是否成立，再根据二次函数的性质列出不等式得出a的范围．
【解答】解：当a=0时，不等式为﹣1＜0恒成立，符合题意；
当a≠0时，∵关于x的不等式ax2+ax+a﹣1＜0对一切实数恒成立，
∴，解得a＜0，
综上，a≤0．
故答案为：（﹣∞，0]．
【点评】本题考查了二次函数的性质，函数恒成立问题，属于基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2016秋•殷都区校级月考）解不等式
（1）（x﹣2）（a﹣x）＞0
（2）．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】（1）对a分类讨论，求出其解集即可，
（2）不等式等价于或，解得即可．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）（a﹣x）＞0，可化为（x﹣2）（x﹣a）＜0．
①当a＞2时，上述不等式的解集为{x|2＜x＜a}；
②当a=2时，上述不等式可化为（x﹣2）2＜0，∴解集为∅，
③当a＜2时，上述不等式的解集为{x|a＜x＜2}．
（2）等价于或，
解得≤x＜3，
故不等式的解集为{x|≤x＜3}．
【点评】本题考查了一元二次不等式和分式不等式的解法，正确分类是关键，属于基础题
18．（12分）（2017•郴州二模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b﹣c=0．
（1）求角A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）根据条件，由正弦定理可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC，化简可得sin（A﹣30°）=，由此求得A的值．
（2）若a=2，由△ABC的面积，求得bc=4 ①；再利用余弦定理可得 b+c=4 ②，结合①②求得b和c的值．
【解答】解：（1）△ABC中，∵acosC+asinC﹣b﹣c=0，
利用正弦定理可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC，
化简可得sinA﹣cosA=1，∴sin（A﹣30°）=，
∴A﹣30°=30°，∴A=60°．
（2）若a=2，△ABC的面积为bc•sinA=bc=，∴bc=4 ①．
再利用余弦定理可得a2=4=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3•4，
∴b+c=4 ②．
结合①②求得b=c=2．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
19．（12分）（2015•南宁一模）已知数列{an}：， +， ++， +++，…，那么数列bn=前n项和为 ．
【考点】数列的求和；数列的函数特性．
【分析】依题意可知an=，利用裂项法可求得bn=4（﹣），求和即可．
【解答】解：依题意得：an=++…+
==，
∴=，
∴bn==•=4（﹣），
∴b1+b2+…+bn=4（1﹣+﹣+…+﹣）
=4（1﹣）
=．
故答案为：
【点评】本题考查数列的求和，着重考查等差数列的求和与裂项法求和，考查分析转化与运算能力，属于中档题．
20．（12分）（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 216000 元．
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；
【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．
由题意，得，z=2100x+900y．
不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），
目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．
故答案为：216000．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．
21．（12分）（2016秋•殷都区校级月考）已知数列{an}的前n项和Sn=n2，数列{bn}满足b1=a1，bn+1（an+1﹣an）=bn．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】（1）由数列{an}的前n项和Sn=n2，利用，能求出an=2n﹣1．由数列{bn}满足b1=a1，bn+1（an+1﹣an）=bn，推导出{bn}是首项为1，公比为的等比数列，由此能求出．
（2）由==（2n﹣1）•2n﹣1，利用错位相减法能求出数列的前n项和．
【解答】解：（1）∵数列{an}的前n项和Sn=n2，
∴a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，
当n=1时，上式成立，
∴an=2n﹣1．
∵数列{bn}满足b1=a1，bn+1（an+1﹣an）=bn．
∴b1=1，bn+1（2n+1﹣2n+1）=bn，即，
∴{bn}是首项为1，公比为的等比数列，
∴．
（2）==（2n﹣1）•2n﹣1，
∴数列的前n项和：
Tn=1•20+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，①
2Tn=1•2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n，②
①﹣②，得：﹣Tn=1+2•2+2•22+2•23+…+2•2n﹣1﹣（2n﹣1）•2n
=1+22+23+24+…+2n﹣（2n﹣1）•2n
=1+﹣（2n﹣1）•2n
=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）•2n，
∴Tn=（2n﹣1）•2n+3﹣2n+1．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质、错位相减法的合理运用．
22．（12分）（2016秋•殷都区校级月考）设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数为an（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=+（﹣1）nan，求数列{bn}的前2n项和．
【考点】数列与不等式的综合．
【分析】（1）由x＞0，y＞0，2n﹣nx＞0，可求得x=1，则Dn内的整点在直线x=1上，联立可求得整点纵坐标，进而可得整点个数；
（2）求得bn=+（﹣1）nan=2n+（﹣1）nn，运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．
【解答】解：（1）由x＞0，y＞0，2n﹣nx＞0，得0＜x＜2，x为整数，∴x=1，
∴Dn内的整点在直线x=1上，记直线y=﹣nx+2n为l，
l与直线x=1的交点的纵坐标分别为y1，
则y1=﹣n+2n=n，
∴an=n（n∈N*）；
（2）bn=+（﹣1）nan=2n+（﹣1）nn，
则数列{bn}的前2n项和T2n=（2+22+…+22n）+[﹣1+2﹣3+4﹣…﹣（2n﹣1）+2n]
=+n=22n+1﹣2+n．
【点评】本题考查数列与不等式的综合，考查线性规划的基本知识，等比数列的求和公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．