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- 2021-04-12 发布
南师大苏州实验学校高二月考数学
一、选择题（本大题共9小题，共36.0分）
1.命题“,”的否定是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查全称命题的否定,“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述,“全称命题”的否定一定是“特称命题”,写出结果即可．
【解答】
解：“全称命题”的否定一定是“特称命题”,
命题“,”的否定是,,
故选B．
2.已知等差数列中,,,则的值为( )
A. 15 B. 17 C. 36 D. 64
【答案】A
【解析】解：由等差数列的性质可得,解得
等差数列的公差,
故选：A．
由等差数列的性质可得,进而可得数列的公差,而,代入化简可得．
本题考查等差数列的通项公式,涉及等差数列的性质的应用,属基础题．
3.已知中,A：B：：1：4,则a：b：c等于( )
A. 1：1： B. 2：2： C. 1：1：2 D. 1：1：4
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查三角形内角和公式、正弦定理的应用,属于基础题．
利用三角形内角和公式求得三个内角的值,再利用正弦定理求得a：b：c的值．
【解答】
解：中,A：B：：1：4,
设,,,则,解得,
则,,
则a：b：：1：,
故选A．
4.如果,a,b,c,成等比数列,那么( )
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查等比数列的等比中项的应用属于较易题．
由等比数列的等比中项来求解．
【解析】
解：由等比数列的性质可得,
且b与奇数项的符号相同,,故选：B．
5.平面内有定点A,B及动点P,则“PA+PB为定值”是“P点的轨迹为椭圆”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
6.若,, 且,则 的最小值是( )
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用,属于基础题．
先根据求得,进而可把求的最小值转化为求的最小值,然后展开后利用基本不等式求得其最小值．
【解答】
解：
当且仅当时,等号成立,故选D．
7.下列不等式中恒成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：选项A,若x为负值,则,显然错误；
选项B,只有当时才正确,故不是恒成立,错误；
选项C,,但时x无解,故错误；
选项D,恒成立,正确．
故选：D
由基本不等式求最值的规律,逐个选项验证可得．
本题考查基本不等式,涉及基本不等式成立的条件,属基础题．
8.椭圆的四个顶点为、、、，若四边形的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
9.不等式的解集为,则m的取值范围( )
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数恒成立问题,即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号,列出等价条件求出对应的参数的范围,属于基础题．
关于x的不等式的解集为,可转化成不等式恒成立,然后讨论二次项系数和判别式可得结论．
【解答】
解：关于x的不等式的解集为,
不等式恒成立,
当,即时,不等式化为,解得,不是对任意恒成立；
当时,即时,,使,
即且,
化简得：,解得或,
,
综上,实数m的取值范围是．
故选B．
10.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”其意思为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天开始,走的路程少于30里( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列,
由题意和等比数列的求和公式可得,
解得,
,
,
解得,
即从第4天开始,走的路程少于30里,
故选：B．
由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列,由求和公式可得首项,可得答案．
本题考查等比数列的求和公式,求出数列的首项是解决问题的关键,属基础题．
11.已知正数x,y,z满足,则的最小值为
A. 3 B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查基本不等式,涉及不等式的性质和配凑的方法,属中档题．
由题意可得,从而可得,由基本不等式和不等式的性质可得．
【解答】
解：由题意可得,,
,
当且仅当即时取等号,
又,,
当且仅当时取等号,,
,,
,
当且仅当且时取等号,
的最小值为4
故选：C
12.已知椭圆C：,设过点的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且为钝角其中O为坐标原点,则直线l斜率的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系,以及利用向量的数量积解决夹角问题,属一般题．
首先直线与椭圆联立,利用韦达定理得到两根之积,再根据夹角为钝角,利用向量的数量积小于0,求出k的取值范围．
【解答】
解：设直线方程为,
则,联立得,
由题意,
解得,
设,
则,
,
因为为钝角,
所以,
解得,
综上所述直线l斜率的取值范围为．
故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：方程表示焦点在y轴上的椭圆,
该椭圆的标准方程为,满足,解之得
故答案为：
焦点在y轴上的椭圆的标准方程为,其中,由此可得,解之即得实数m的取值范围．
本题已知椭圆是焦点在y轴的椭圆,求参数m的取值范围,着重考查了椭圆的标准方程和简单性质,属于基础题．
14.已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，椭圆的短半轴长为，则三角形的面积为______
【答案】；
15.设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列前100项的和为 .
答案
16.已知正项数列满足，其中，，则____.
三、解答题（本大题共6小题，第17题满分12分，第18题至第22题均为满分14分，共82分）
17.设p:实数x满足x2-4ax+3a2 <0; q:实数x满足 ≤ 0.
（1）若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
（2）若q是p的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
18.在中 ,角A,B,C对应边分别为a,b,c,若．
求角A；
若的取值范围．
【答案】解：,
由正弦定理可得,
,
,
,
,
,；
由题意,,,,
由余弦定理当且仅当时取等号,即,
．
,
．
【解析】利用正弦定理,结合和差的正弦公式,化简可得结论；
利用余弦定理结合基本不等式,可求的取值范围．
本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查基本不等式,考查学生的计算能力,属于中档题．
19.已知点是椭圆C：的一个焦点,点在椭圆C上．
求椭圆C的方程；
若直线l：与椭圆C交于不同的A,B两点,且为坐标原点,求直线l斜率k的取值范围．
【答案】解：由题意可得,解得,,
椭圆方程为；
设,
联立,得,
由题意知,,
,,
,
,,
把代入可得,解得或,
又,解得
故直线l的斜率为取值范围为．
【解析】由题意可得,解得,,即可求得椭圆的标准方程；
设出直线方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,及,建立不等式,即可求得直线l的斜率k的取值范围．
本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题．
20.已知数列是各项均为正数的等比数列，数列为等差数列，且，，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）设为数列的前项和，若对于任意，有，求实数的值．
解：（1）依题意，有：，即，解得：
所以，，
（2），
An＝，
2An＝，
上面两式相减，得：
－An＝＝
＝
所以，An＝
（3）＝
Sn=＝，
由得，，
即
21已知椭圆,斜率为的动直线l与椭圆C交于不同的两点A 、B
设M为弦AB的中点,求动点M的轨迹方程；
设、为椭圆C在左、右焦点,P是椭圆在第一象限上一点,满足,求面积的最大值．
【答案】解：设,,,
则,；
得：,
即,
即．
又由中点在椭圆内部得,
所以M点的轨迹方程为,．
由,
得P点坐标为,
设直线l的方程为,
代入椭圆方程中整理得：,
由得,
则,,
,,
所以．
,
当时,．
【解析】设,,,代入椭圆方程作差,利用点差法求得轨迹方程又由中点在椭圆内部得,从而可得M点的轨迹方程．
由,得P点坐标为,设直线l的方程为,与椭圆方程联立,利用韦达定理结合弦长公式将三角形的面积表示出,再利用基本不等式求面积的最大值．
22.已知数列各项均为正数，是数列的前项的和，对任意的都有
.数列各项都是正整数，，，且数列是等比数列．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求满足的最小正整数．
22、1）当时，，即，
，
由得； …………………………………………………1分
当时，由得，
所以两式相减得，
所以， …………………………3分
由知
所以
所以数列是首项，公差的等差数列. …………………5分
(2)由（1）得，
由
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列
所以， …………………………………………………7分
又，
所以，即.…………………………10分
（3）由，
所以，……………………………………12分
设，
则，
令得，
由得，
所以，………………14分
又因为，
，
，
，
，
所以当时，，
所以满足的最小正整数为5. …………………………16分