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- 2021-04-12 发布
第二节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
[考纲传真] (教师用书独具)1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
(对应学生用书第80页)
[基础知识填充]
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2. 线性规划中的相关概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
[知识拓展]
确定二元一次不等式表示的平面区域的位置
把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示为y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方，若y＜kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )
(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．( )
(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )
(4)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改编)不等式组表示的平面区域是( )
C [x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方的平面区域，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C．]
3．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为
( )
A．0 B．1
C．2 D．3
D [根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x＋y
得y＝－x＋z.
作出直线y＝－x，并平移该直线，
当直线y＝－x＋z过点A时，目标函数取得最大值．
由图知A(3,0)，
故zmax＝3＋0＝3.
故选D．]
4．(2016·保定调研)在平面直角坐标系xOy中，若点P(m,1)到直线4x－3y－1＝0的距离为4，且点P(m,1)在不等式2x＋y≥3表示的平面区域内，则m＝__________. 【导学号：79170190】
6 [由题意得＝4及2m＋1≥3，
解得m＝6.]
5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是__________．
1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，
由x＝1，x＋y＝0得A(1，－1)，
由x＝1，x－y－4＝0得B(1，－3)，
由x＋y＝0，x－y－4＝0得C(2，－2)，
∴|AB|＝2，∴S△ABC＝×2×1＝1.]
(对应学生用书第81页)
二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)(2016·浙江高考)若平面区域
夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A． B．
C． D．
(2)(2016·衡水中学调研)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A．a<5 B．a≥7
C．5≤a<7 D．a<5或a≥7
(1)B (2)C [(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组求得A(1,2)，联立方程组求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为＝，故选B．
(2)如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故选C．]
[规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．
2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．
[变式训练1] (1)不等式组表示的平面区域的面积为__________. 【导学号：79170191】
(2)(2018·潍坊模拟)已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为________．
(1)4 (2) [(1)不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
由得
∴A(0,2)，B(2,0)，C(8，－2)．
直线x＋2y－4＝0与x轴的交点D的坐标为(4,0)．
因此S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝×2×2＋×2×2＝4.
(2)直线kx－y＋2＝0恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图所示，
则A(2,2k＋2)，B(2,0)，C(0,2)，由题意知
×2×(2k＋2)＝3，解得k＝.]
简单的线性规划问题
角度1 求线性目标函数的最值
(1)(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是( )
A．－15 B．－9
C．1 D．9
(2)(2017·福州质检)已知实数x，y满足且数列4x，z,2y为等差数列，则实数z的最大值是__________. 【导学号：79170192】
(1)A (2)3 [(1)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x并平移，当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，z取最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15.
故选A．
(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以，，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z＝2x＋y，所以当目标函数z＝2x＋y经过平面区域内的点(1,1)时，z＝2x＋y取得最大值zmax＝2×1＋1＝3.]
角度2 求非线性目标函数的最值
(1)(2016·山东高考)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是
( ) 【导学号：79170193】
A．4 B．9
C．10 D．12
(2)(2017·湖北七市4月联考)若变量x，y满足约束条件则z＝的取值范围是__________．
(1)C (2) [
(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故选C．
(2)作出不等式组所表示的区域，如图中△ABC所表示的区域(含边界)，
其中点A(1,1)，B(－1，－1)，C.z＝表示△ABC区域内的点与点M(2,0)的连线的斜率，显然kMA≤z≤kMB，即≤z≤，化简得－1≤z≤.]
角度3 线性规划中的参数问题
(2016·河北石家庄质检)已知x，y满足约束条件若目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1，则m的值是( )
A．－ B．1
C．2 D．5
B [作出可行域，如图所示的阴影部分．
∵m>0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由解得即A(1,2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故选B．]
[规律方法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有：
(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值时常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝.
易错警示：注意转化的等价性及几何意义．
线性规划的实际应用
(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
[解] (1)由已知，x，y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分． 5分
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图象是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大． 7分
解方程组得点M的坐标为(20,24)，
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润
为112万元.12分
[规律方法] 1.解线性规划应用题的步骤
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；
(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．
2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．
[变式训练2] (2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
216 000 [设生产产品A为x件，产品B为y件，则
目标函数z＝2 100x＋900y.
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．
当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]