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- 2021-04-12 发布
高考大题
•
满分规范
(
五
)
解析几何类解答题
【典型例题
】
(12
分
)(2019
·
全国卷
Ⅱ)
已知
F
1
,F
2
是椭圆
C:
=1(a>b>0)
的两个焦点
,P
为
C
上一点
,O
为坐标原点
.
(1)
若
△
POF
2
为等边三角形
,
求
C
的离心率
.
(2)
如果存在点
P,
使得
PF
1
⊥PF
2
,
且
△
F
1
PF
2
的面积等于
16,
求
b
的值和
a
的取值范围
.
【题目拆解
】
本题可拆解成以下几个小问题
:
(1)①
求证
:|PF
1
|= c;
②
根据椭圆的定义求离心率
.
(2)①
通过
PF
1
⊥PF
2
, =16
及点
P
在椭圆上
,
联立方程
组求
b;
②
利用椭圆的性质建立不等式求
a
的范围
.
【
标准答案
】
【解析
】
(1)
连接
PF
1
,
由
△
POF
2
为等边三角形可知
:
在
△
F
1
PF
2
中
,∠F
1
PF
2
=90°,|PF
2
|=c,|PF
1
|= c,
……
①
于是
2a=|PF
1
|+|PF
2
|= c+c
,
……
②
故椭圆
C
的离心率是
e= -1.
……
③
(2)
由题意可知
,
满足条件的点
P(x,y
)
存在
,
当且仅当
|y|
·
2c=16,
=-1,
即
c|y
|=16,(i)
x
2
+y
2
=c
2
,(ii)
=1,(iii)
由
(ii)(iii
)
以及
a
2
=b
2
+c
2
得
y
2
= ,
又由
(i)
知
y
2
= ,
故
b=4.
…………
④
由
(ii)(iii
)
得
x
2
= (c
2
-b
2
),
所以
c
2
≥b
2
,
从而
a
2
=b
2
+c
2
≥2b
2
=32,
故
a≥4 .
…………
⑤
当
b=4,a≥4
时
,
存在满足条件的点
P.
故
b=4,a
的取值范围为
[4 ,+∞).
…………
⑥
【阅卷现场
】
第
(1)
问
第
(2)
问
得
分
点
①
②
③
④
⑤
⑥
2
2
2
3
2
1
6
分
6
分
第
(1)
问踩点得分说明
①
求出
|PF
1
|
的大小得
2
分
;
②
通过椭圆的定义找
a,c
的关系得
2
分
;
③
利用离心率公式求出结果得
2
分
;
第
(2)
问踩点得分说明
④
根据已知条件求出
b
值得
3
分
;
⑤
根据椭圆的性质求出
a
的范围得
2
分
;
⑥
写出最终结论得
1
分
.
【高考状元
·
满分心得
】
1.
解决解析几何类问题的关注点
掌握圆锥曲线的定义及其几何性质是关键
,
利用根与系数的关系
,
运用整体思想求解直线与圆锥曲线的位置关系是难点
.
2.
求椭圆离心率的值
(1)
通过已知条件列方程组
,
解出
a,c
的值
.
(2)
变用公式
,
整体求出
e,e
=
(3)
由已知条件得出关于
a,c
的二元齐次方程
,
然后转化
为关于
e
的一元方程求解
.
(4)
通过特殊值或特殊位置求离心率
.
3.
取值范围或最值问题
利用判别式构造不等式
;
利用椭圆的有界性及变量间的相关关系挖掘题目中存在的隐含条件
,
计算中应注意应用函数的思想
,
更要注重参变量取值范围对最值问题产生的影响
.
【跟踪演练
·
感悟体验
】
1.(2017
·
天津高考
)
设椭圆
=1(a>b>0)
的左焦
点为
F,
右顶点为
A,
离心率为
.
已知
A
是抛物线
y
2
=2px(p>0)
的焦点
,F
到抛物线的准线
l
的距离为
.
(1)
求椭圆的方程和抛物线的方程
.
(2)
设
l
上两点
P,Q
关于
x
轴对称
,
直线
AP
与椭圆相交于点
B(B
异于点
A),
直线
BQ
与
x
轴相交于点
D.
若
△APD
的面积
为
,
求直线
AP
的方程
.
【解析
】
(1)
设
F
的坐标为
(-c,0).
依题意
, , =a,
a-c= ,
解得
a=1,c= ,p=2,
于是
b
2
=a
2
-c
2
= .
所以
,
椭圆的方程为
x
2
+ =1,
抛物线的方程为
y
2
=4x.
(2)
设直线
AP
的方程为
x=my+1(m≠0),
与直线
l
的方程
x=-1
联立
,
可得点
P ,
故
Q .
将
x=my+1
与
x
2
+ =1
联立
,
消去
x,
整理得
(3m
2
+4)y
2
+6my=0,
解得
y=0,
或
y= .
由点
B
异于点
A,
可得点
B .
由
Q ,
可得直线
BQ
的方程为
(x+1)- =0,
令
y=0,
解得
x= ,
故
D ,
所以
|AD|=1-
又因为
△APD
的面积为
,
故
,
整理
得
3m
2
-2 |m|+2=0,
解得
|m|= ,
所以
m=± .
所以
,
直线
AP
的方程为
3x+ y-3=0,
或
3x- y-3=0.
2.(2019
·
宜春模拟
)
已知椭圆
C: =1(a>b>0)
的离心率
为
,
以原点为圆心
,
椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线
x-y
+ =0
相切
,
过点
P(4,0)
的直线
l
与椭圆
C
相交于
A,B
两点
.
(1)
求椭圆
C
的方程
.
(2)
若原点
O
在以线段
AB
为直径的圆内
,
求直线
l
的斜率
k
的取值
范围
.
【解析
】
(1)
由
e=
可得
a
2
= b
2
,
又
b= ,
所以
a
2
=4,b
2
=3.
故椭圆的方程为
=1.
(2)
由题意知直线
l
方程为
y=k(x-4).
联立 得
(4k
2
+3)x
2
-32k
2
x+64k
2
-12=0.
由
Δ=(-32k
2
)
2
-4(4k
2
+3)(64k
2
-12)>0,
得
k
2
< .①
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则
x
1
+x
2
= ,x
1
x
2
= .
所以
y
1
y
2
=k(x
1
-4)
·
k(x
2
-4)=k
2
x
1
x
2
-4k
2
(x
1
+x
2
)+16k
2
.
因为原点
O
在以线段
AB
为直径的圆内
,
所以
=x
1
x
2
+y
1
y
2
=(1+k
2
)x
1
x
2
-4k
2
(x
1
+x
2
)+16k
2
=(1+k
2
) -4k
2
·
+16k
2
=25- <0,②
由
①②,
解得
所以当原点
O
在以线段
AB
为直径的圆内时
,
直线
l
的斜率
k∈