湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（5） 6页

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（五）‎ 姓名： 班级 ： 分数 ： ‎ 一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） ‎ ‎1．数列满足：，且．记前项的和为，则 ．‎ ‎2．在△中，已知的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，，则△的面积为 ． ‎ ‎3．设，则使得的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数为 ．‎ ‎4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 ．‎ ‎5．若均为正实数，且，则的最小值为 ．‎ ‎6．设椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的一点，，△的内心为I，则 ．‎ ‎7．对于一切，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．‎ ‎8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 ．‎ 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）‎ ‎9．已知数列中，，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求证：对一切，有．‎ ‎10．设，求使为完全平方数的整数的值．‎ ‎11．已知直线与椭圆C：交于两点，过椭圆C的右焦点、倾斜角为的直线交弦于点，交椭圆于点．‎ ‎（1）用表示四边形的面积；‎ ‎（2）求四边形的面积取到最大值时直线的方程．‎ 湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（五）‎ 详细解答 一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） ‎ ‎1．数列满足：，且．记前项的和为，则 89 ．‎ ‎2．在△中，已知的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，，则△的面积为． ‎ ‎3．设，则使得的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数为 98 ．‎ ‎4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 327 ．‎ ‎5．若均为正实数，且，则的最小值为 ．‎ ‎6．设椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的一点，，△的内心为I，则．‎ ‎7．对于一切，不等式恒成立，则实数的取值范围为．‎ ‎8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 26 ．‎ 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）‎ ‎9．已知数列中，，且 ‎．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求证：对一切，有．‎ 解 （1）由已知，对有 ，‎ 两边同除以n，得 ，‎ 即 ， ……………………4分 于是，， ‎ 即 ，‎ 所以 ，．‎ 又时也成立，故． ……………………8分 ‎（2）当，有 ‎，………………12分 所以时，有 又时，‎ 故对一切，有． ……………………16分 ‎10．设，求使为完全平方数的整数的值．‎ 解 ．‎ 所以，当时，是完全平方数． ……………………5分 下证没有其它整数满足要求．‎ ‎（1）当时，有，‎ 又，所以，‎ 从而．‎ 又，所以此时不是完全平方数． ……………………10分 ‎（2）当时，有．令，‎ 则，即，‎ 所以 ，‎ 即 ．‎ 解此不等式，得的整数值为，但它们对应的均不是完全平方数．‎ 综上所述，使为完全平方数的整数的值为10. ……………………20分 ‎11．已知直线与椭圆C：交于两点，过椭圆C的右焦点、倾斜角为的直线交弦于点，交椭圆于点．‎ ‎（1）用表示四边形的面积；‎ ‎（2）求四边形的面积取到最大值时直线的方程．‎ 解 （1）直线的倾斜角为，记，则，‎ ‎．‎ 而与所成的角为，则四边形面积 ‎．…………5分 而，A点坐标为，且，‎ 从而，，‎ 其中或．……………10分 ‎ （2）记，而只可能在时才可能取到最大值．对求导数得到：‎ ‎．‎ 令，则有 ‎． ……………………15分 化简得到 ．‎ 所以 ．‎ 而 无实根，则．‎ 经检验，符合．‎ 故所求直线的方程为：． ……………………20分 ‎ ‎