2018届二轮复习突难点——抽象函数与函数图象课件（江苏专用） 48页

专题 3 　函数与导数 第 8 练　突难点 —— 抽象 函数　　　　　 　 　　 与函数 图象 抽象函数即没有函数关系式，通过对函数性质的描述，对函数相关知识进行考查，此类题目难度较大，也是近几年来高考命题的热点 . 对函数图象问题，以基本函数为主，由基本函数进行简单的图象变换，主要是平行变换和对称变换，这样的题目都离不开函数的单调性与奇偶性 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 4 1.(2015· 北京改编 ) 如图，函数 f ( x ) 的图象为 折线 ACB ， 则 不等式 f ( x ) ≥ log 2 ( x ＋ 1) 的解集是 ________________. 解析　 令 g ( x ) ＝ y ＝ log 2 ( x ＋ 1) ， 作出 函数 g ( x ) 的图象如图 . ∴ 结合图象知不等式 f ( x ) ≥ log 2 ( x ＋ 1) 的解集为 { x | － 1< x ≤ 1}. { x | － 1 ＜ x ≤ 1} 1 2 3 4 解析 答案 1 2 3 4 解析 1 2 3 4 y ＝ f ( x ) － g ( x ) ＝ f ( x ) ＋ f (2 － x ) － b ， 所以 y ＝ f ( x ) － g ( x ) 恰有 4 个零点等价于方程 f ( x ) ＋ f (2 － x ) － b ＝ 0 有 4 个不同的解 ， 即函数 y ＝ b 与函数 y ＝ f ( x ) ＋ f (2 － x ) 的图象有 4 个公共点， 1 2 3 4 解析答案 解析　 ∵ f ( x ) 是偶函数，且在 ( － ∞ ， 0) 上单调递增， 1 2 3 4 解析答案 解析　 f ( f ( － 3)) ＝ f (1) ＝ 0. 当 x ＜ 1 时， f ( x ) ＝ lg( x 2 ＋ 1) ≥ lg 1 ＝ 0 ，当且仅当 x ＝ 0 时，取等号 . 0 　 返回 高考 必会题型 题型一　与函数性质有关的简单的抽象函数问题 例 1 　 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且以 2 为周期，则 “ f ( x ) 为 [0,1] 上的增函数 ” 是 “ f ( x ) 为 [3,4] 上的减函数 ” 的 ________ 条件 .( 填 “ 充分不必要 ”“ 必要不充分 ”“ 充要 ” 或 “ 既不充分也不必要 ” ) 充要 解析 答案 点评 解析 　 ①∵ f ( x ) 在 R 上是偶函数， ∴ f ( x ) 的图象关于 y 轴对称 . ∵ f ( x ) 为 [0,1] 上的增函数 ， ∴ f ( x ) 为 [ － 1,0] 上的减函数 . 又 ∵ f ( x ) 的周期为 2 ， ∴ f ( x ) 为区间 [ － 1 ＋ 4,0 ＋ 4] ＝ [3,4 ] 上的减函数 . ②∵ f ( x ) 为 [ 3,4 ] 上的减函数，且 f ( x ) 的周期为 2 ， ∴ f ( x ) 为 [ － 1,0 ] 上的减函数 . 又 ∵ f ( x ) 在 R 上是偶函数， ∴ f ( x ) 为 [0,1] 上的增函数 . 由 ①② 知 “ f ( x ) 为 [0,1] 上的增函数 ” 是 “ f ( x ) 为 [3,4] 上的减函数 ” 的充要条件 . 点评 点评 抽象函数的条件具有一般性，对待填空题可用特例法、特值法或赋值法 . 也可由函数一般性质进行推理 . 解析答案 (1) 求 f (1) 的值； 解　 令 x 1 ＝ x 2 ＞ 0 ， 得 f (1) ＝ f ( x 1 ) － f ( x 2 ) ＝ 0 ，故 f (1) ＝ 0. 解析答案 (2) 判断 f ( x ) 的单调性； ∵ 当 x ＞ 1 时， f ( x ) ＜ 0 ， 故函数 f ( x ) 在区间 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减 . 解析答案 (3) 若 f (3) ＝－ 1 ，解不等式 f (| x |) ＜－ 2. 而 f (3) ＝－ 1 ， ∴ f (9) ＝－ 2 ， ∴ 原不等式为 f (| x |) ＜ f (9). ∵ 函数 f ( x ) 在区间 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减， ∴ | x | ＞ 9 ， ∴ x ＜－ 9 或 x ＞ 9. ∴ 不等式的解集为 { x | x ＜－ 9 或 x ＞ 9}. 题型二　与抽象函数有关的综合性问题 例 2 　 对于函数 f ( x ) ，若在定义域内存在实数 x ，满足 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，则称 f ( x ) 为 “ 局部奇函数 ”. (1) 已知二次函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 2 x － 4 a ( a ∈ R ) ，试判断 f ( x ) 是否为 “ 局部奇函数 ” ？并说明理由； 解析答案 解　 f ( x ) 为 “ 局部奇函数 ” 等价于关于 x 的方程 f ( x ) ＋ f ( － x ) ＝ 0 有解 . 当 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 2 x － 4 a ( a ∈ R ) 时， 方程 f ( x ) ＋ f ( － x ) ＝ 0 即 2 a ( x 2 － 4) ＝ 0. 因为方程有解 x ＝ ±2 ， 所以 f ( x ) 为 “ 局部奇函数 ”. 点评 (2) 若 f ( x ) ＝ 2 x ＋ m 是定义在区间 [ － 1,1] 上的 “ 局部奇函数 ” ，求实数 m 的取值范围 . 解析答案 点评 解　 当 f ( x ) ＝ 2 x ＋ m 时， f ( x ) ＋ f ( － x ) ＝ 0 可化为 2 x ＋ 2 － x ＋ 2 m ＝ 0 ， 因为 f ( x ) 的定义域为 [ － 1,1] ， 所以 方程 2 x ＋ 2 － x ＋ 2 m ＝ 0 在 [ － 1,1] 上有解 . 解析答案 点评 当 t ∈ (1,2) 时， g ′ ( t ) ＞ 0 ，故 g ( t ) 在 (1,2) 上为增函数 . (1) 让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关，把握好函数的性质 . (2) 解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等代替函数来解答问题，而导致出错 . 要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数，而不是具体的某一个函数 . 因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法 . 点评 变式训练 2 　已知定义在 [0,1] 上的函数 f ( x ) 满足： ① f (0) ＝ f (1) ＝ 0 ； 若对所有 x ， y ∈ [0,1] ， | f ( x ) － f ( y )|< k 恒成立，则 k 的最小值为 ________. 解析 答案 题型三　函数图象的应用与判断 点评 例 3 　 已知函数 且 f ( a － 1) ＝ 0 ，则不等式 f ( x )> a 的 解集为 ________. 解析 答案 点评 解析　 方法一　由 f ( a － 1) ＝ 0 得 解得 a ＝ 2 ， 方法二　画出函数 f ( x ) 的图象 ， 由图可得 a － 1 ＝ 1 ，即 a ＝ 2. (1) 求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊值首先考虑坐标轴上的点 . (2) 运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质 . (3) 在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法 . 点评 返回 变式训练 3 　形如 y ＝ ( a ＞ 0 ， b ＞ 0) 的函数因其图象类似于汉字中的 “ 囧 ” 字，故生动地称为 “ 囧函数 ”. 若当 a ＝ 1 ， b ＝ 1 时的 “ 囧函数 ” 与函数 y ＝ lg| x | 的交点个数为 n ，则 n ＝ ________. 解析答案 解析　 由题意知，当 a ＝ 1 ， b ＝ 1 时， 在同一坐标系中画出 “ 囧 函数 ” 与函数 y ＝ lg| x | 的图象如图所示 ， 易 知它们有 4 个交点 . 4 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1. 定义域为 R 的函数 f ( x ) 对任意 x 都有 f (2 ＋ x ) ＝ f (2 － x ) ，且其导函数 f ′ ( x ) 满足 ＞ 0 ，则当 2 ＜ a ＜ 4 时， f (2) ， f (2 a ) ， f (log 2 a ) 的大小关系 为 __________________. 解析　 由函数 f ( x ) 对任意 x 都有 f (2 ＋ x ) ＝ f (2 － x ) ， 得 函数 f ( x ) 的图象的对称轴为直线 x ＝ 2. 所以函数 f ( x ) 在 (2 ，＋ ∞ ) 上单调递减， ( － ∞ ， 2) 上单调递增 . 因为 2 ＜ a ＜ 4 ，所以 1 ＜ log 2 a ＜ 2 ＜ 4 ＜ 2 a . 又函数 f ( x ) 的图象的对称轴为直线 x ＝ 2 ，所以 f (2) ＞ f (log 2 a ) ＞ f (2 a ). f (2 a ) ＜ f (log 2 a ) ＜ f (2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 2. 两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为 “ 同根函数 ” ，给出四个函数： f 1 ( x ) ＝ 2log 2 ( x ＋ 1) ， f 2 ( x ) ＝ log 2 ( x ＋ 2) ， f 3 ( x ) ＝ log 2 x 2 ， f 4 ( x ) ＝ log 2 (2 x ) ，则 “ 同根函数 ” 是 ______ _ ___. 解析 　 f 4 ( x ) ＝ log 2 (2 x ) ＝ 1 ＋ log 2 x ， f 2 ( x ) ＝ log 2 ( x ＋ 2) ， 将 f 2 ( x ) 的图象沿着 x 轴先向右平移 2 个单位得到 y ＝ log 2 x 的图象 ， 然后 再沿着 y 轴向上平移 1 个单位可得到 f 4 ( x ) 的图象 ， 故 f 2 ( x ) 与 f 4 ( x ) 为 “ 同根函数 ”. f 2 ( x ) 与 f 4 ( x ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 ( － ∞ ， 3] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 由题意分析可知条件等价于 f ( x ) 在 [3 ，＋ ∞ ) 上单调递增 ， 又 ∵ f ( x ) ＝ x | x － a | ， ∴ 当 a ≤ 0 时，结论显然成立； ∴ 0 ＜ a ≤ 3 . 综 上，实数 a 的取值范围是 ( － ∞ ， 3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 在平面直角坐标系中，若两点 P ， Q 满足条件： (1) P ， Q 都在函数 y ＝ f ( x ) 的图象上； (2) P ， Q 两点关于直线 y ＝ x 对称， 则称点对 { P ， Q } 是函数 y ＝ f ( x ) 的一对 “ 和谐点对 ”. ( 注：点对 { P ， Q } 与 { Q ， P } 看作同一对 “ 和谐点对 ” ) 解析 答案 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 作出函数 f ( x ) 的图象，然后作出 f ( x ) ＝ log 2 x ( x ＞ 0) 关于直线 y ＝ x 对称的函数的图象 ， 与 函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 3 x ＋ 2( x ≤ 0) 的图象有 2 个不同交点 ， 所以 函数的 “ 和谐点对 ” 有 2 对 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 对定义在 [0,1] 上，并且同时满足以下两个条件的函数 f ( x ) 称为 M 函数： (1) 对任意的 x ∈ [0,1] ，恒有 f ( x ) ≥ 0 ； (2) 当 x 1 ≥ 0 ， x 2 ≥ 0 ， x 1 ＋ x 2 ≤ 1 时，总有 f ( x 1 ＋ x 2 ) ≥ f ( x 1 ) ＋ f ( x 2 ) 成立 . 则下列 3 个函数中不是 M 函数的个数是 ________. ① f ( x ) ＝ x 2 ； ② f ( x ) ＝ x 2 ＋ 1 ； ③ f ( x ) ＝ 2 x － 1. 解析 答案 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 在 [0,1] 上， 3 个函数都满足 f ( x ) ≥ 0. 当 x 1 ≥ 0 ， x 2 ≥ 0 ， x 1 ＋ x 2 ≤ 1 时： 对于 ① ， f ( x 1 ＋ x 2 ) － [ f ( x 1 ) ＋ f ( x 2 ) ] 对于 ③ ， f ( x 1 ＋ x 2 ) － [ f ( x 1 ) ＋ f ( x 2 )] 综 上， 3 个函数中不是 M 函数的个数是 1 . ，满足 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 作函数 y ＝ | x |( x ＋ 2) 的图象，如图所示 . (1 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 设函数 y ＝ f ( x ＋ 1) 是定义在 ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) 上的偶函数，在区间 ( － ∞ ， 0) 是减函数，且图象过点 (1,0) ，则不等式 ( x － 1) f ( x ) ≤ 0 的解集为 ______________ _ _. 解析 答案 ( － ∞ ， 0] ∪ (1,2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 y ＝ f ( x ＋ 1) 的图象向右平移 1 个单位得到 y ＝ f ( x ) 的图象 ， 由 已知可得 f ( x ) 的图象的对称轴为 x ＝ 1 ，过定点 (2,0) ， 定义域 为 ( － ∞ ， 1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) ，且函数在 ( － ∞ ， 1) 上单调递减 ， 在 (1 ，＋ ∞ ) 上单调递增，则 f ( x ) 的大致图象如图所示 . 由图可知符合条件的解集为 ( － ∞ ， 0] ∪ (1,2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x ∈ R 恒有 f ( x ＋ 1) ＝ f ( x － 1) ，已知当 x ∈ [0,1] 时， f ( x ) ＝ 2 x ，则有 ① 2 是函数 f ( x ) 的周期； ② 函数 f ( x ) 在 (1,2) 上是减函数，在 (2,3) 上是增函数； ③ 函数 f ( x ) 的最大值是 1 ，最小值是 0. 其中所有正确命题的序号是 ________. 解析 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 在 f ( x ＋ 1) ＝ f ( x － 1) 中，令 x － 1 ＝ t ， 则有 f ( t ＋ 2) ＝ f ( t ) ， 因此 2 是函数 f ( x ) 的周期，故 ① 正确； 当 x ∈ [0,1] 时， f ( x ) ＝ 2 x 是增函数， 根据函数的奇偶性知， f ( x ) 在 [ － 1,0] 上是减函数，根据函数的周期性知，函数 f ( x ) 在 (1,2) 上是减函数，在 (2,3) 上是增函数，故 ② 正确； 由 ② 知 f ( x ) 在 [0,2] 上的最大值 f ( x ) max ＝ f (1) ＝ 2 ， f ( x ) 的最小值 f ( x ) min ＝ f (0) ＝ f (2) ＝ 2 0 ＝ 1 ，且 f ( x ) 是周期为 2 的周期函数， ∴ f ( x ) 的最大值是 2 ，最小值是 1 ，故 ③ 错误 . 综上，所有正确命题的符号是 ①② . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 已知函数 y ＝ f ( x )( x ∈ R ) 为奇函数，且对定义域内的任意 x 都有 f (1 ＋ x ) ＝－ f (1 － x ). 当 x ∈ (2,3) 时， f ( x ) ＝ log 2 ( x － 1) ，给出以下 4 个结论： ① 函数 y ＝ f ( x ) 的图象关于点 ( k, 0)( k ∈ Z ) 成中心对称； ② 函数 y ＝ f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数； ③ 当 x ∈ ( － 1,0) 时， f ( x ) ＝－ log 2 (1 － x ) ； ④ 函数 y ＝ f (| x |) 在 ( k ， k ＋ 1)( k ∈ Z ) 上单调递增， 则正确结论的序号是 __________. 解析 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 因为 f (1 ＋ x ) ＝－ f (1 － x ) ， y ＝ f ( x )( x ∈ R ) 为奇函数， 所以 f (1 ＋ x ) ＝ f ( x － 1) ，则 f (2 ＋ x ) ＝ f ( x ) ， 所以 y ＝ f ( x )( x ∈ R ) 是以 2 为周期的周期函数， ② 正确； 所以 f (2 k ＋ x ) ＝ f ( x ) ， f ( x － k ) ＝ f ( x ＋ k ) ＝－ f ( k － x ) ， 所以 f ( x ＋ k ) ＝－ f ( k － x ) ，即函数 y ＝ f ( x ) 的图象关于点 ( k, 0)( k ∈ Z ) 成中心对称， ① 正确； 由 ① 知，函数 f ( x ) 的图象关于点 (2,0) 成中心对称 ， 即 f ( x ＋ 2) ＝－ f (2 － x ). 又因为当 x ∈ ( － 1,0) 时， 2 － x ∈ (2,3) ， 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以 f ( x ) ＝ f ( x ＋ 2) ＝－ f (2 － x ) ＝－ log 2 (2 － x － 1) ＝－ log 2 (1 － x ) ， ③ 正确； 函数 y ＝ f (| x |) 是偶函数，在关于原点对称的区间上的单调性相反，所以 ④ 不正确 . 综上，正确结论的序号是 ①②③ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 已知 g ( x ) ＝－ x 2 － 4 ， f ( x ) 为二次函数，满足 f ( x ) ＋ g ( x ) ＋ f ( － x ) ＋ g ( － x ) ＝ 0 ，且 f ( x ) 在 [ － 1,2] 上的最大值为 7 ，则 f ( x ) 的解析式为 ___________________________ __ ___. 解析答案 解析　 设 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ， 则 由题意可得 f ( x ) ＋ g ( x ) ＋ f ( － x ) ＋ g ( － x ) ＝ 2 ax 2 ＋ 2 c － 2 x 2 － 8 ＝ 0 ， 得 a ＝ 1 ， c ＝ 4 . 显然 二次函数 f ( x ) 在区间 [ － 1,2] 上的最大值只能在 x ＝－ 1 时或 x ＝ 2 时取得 . 当 x ＝－ 1 函数取得最大值 7 时，解得 b ＝－ 2 ；当 x ＝ 2 函数取得最大值 7 时 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 11. 已知函数 f ( x ) ＝ | x 2 － 4 x ＋ 3|. (1) 求函数 f ( x ) 的单调区间，并指出其增减性； 作出函数图象如图 . (1) 函数的增区间为 (1,2) ， (3 ，＋ ∞ ) ； 函数 的减区间为 ( － ∞ ， 1) ， (2,3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (2) 求集合 M ＝ { m | 使方程 f ( x ) ＝ m 有四个不相等的实根 }. 解　 在同一坐标系中作出 y ＝ f ( x ) 和 y ＝ m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点 ( 如图 ). 由图知 0 ＜ m ＜ 1 ， ∴ M ＝ { m |0 ＜ m ＜ 1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 12. 函数 f ( x ) 的定义域为 D ＝ { x | x ≠ 0} ，且满足对于任意 x 1 ， x 2 ∈ D ，有 f ( x 1 · x 2 ) ＝ f ( x 1 ) ＋ f ( x 2 ). (1) 求 f (1) 的值； 解　 ∵ 对于任意 x 1 ， x 2 ∈ D ， 有 f ( x 1 · x 2 ) ＝ f ( x 1 ) ＋ f ( x 2 ) ， ∴ 令 x 1 ＝ x 2 ＝ 1 ，得 f (1) ＝ 2 f (1) ， ∴ f (1) ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (2) 判断 f ( x ) 的奇偶性并证明你的结论； 解　 f ( x ) 为偶函数 . 证明：令 x 1 ＝ x 2 ＝－ 1 ，有 f (1) ＝ f ( － 1) ＋ f ( － 1) ， 令 x 1 ＝－ 1 ， x 2 ＝ x ，有 f ( － x ) ＝ f ( － 1) ＋ f ( x ) ， ∴ f ( － x ) ＝ f ( x ) ， ∴ f ( x ) 在 D 上为偶函数 . 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3) 如果 f (4) ＝ 1 ， f ( x － 1) ＜ 2 ，且 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是增函数，求 x 的取值范围 . 解　 依题设有 f (4 × 4) ＝ f (4) ＋ f (4) ＝ 2 ， 由 (2) 知， f ( x ) 是偶函数， ∴ f ( x － 1) ＜ 2 ⇔ f (| x － 1|) ＜ f (16). 又 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是增函数， ∴ 0 ＜ | x － 1| ＜ 16 ，解得－ 15 ＜ x ＜ 17 且 x ≠ 1. ∴ x 的取值范围是 { x | － 15 ＜ x ＜ 17 且 x ≠ 1}.