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- 2021-04-12 发布
专题11 排列组合、二项式定理
【2012高考真题精选】
1.【2012高考全国文7】位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有
（A）种 （B）种 （C）种 （D）种
2.【2012高考重庆文4】 的展开式中的系数为
（A）-270 （B）-90 （C）90 （D）270
3.【2012高考四川文2】的展开式中的系数是（ ）
A、21 B、28 C、35 D、42
4.【2012高考全国文13】的展开式中的系数为____________.
【答案】7
【解析】二项展开式的通项为，令，解得，所以，所以的系数为7.
5.【2012高考上海文8】在的二项式展开式中，常数项等于
【答案】－20.
【解析】=，令=0，得r=3。故常数项为=－20.
【2011高考真题精选】
（2011·全国卷） 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )
A．12种 B．24种
C．30种 D．36种
【答案】 B 【解析】 从4位同学中选出2人有C种方法，另外2位同学每人有2种选法，故不同的选法共有C×2×2＝24种，故选B.
（2011·全国卷） (1－x)10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为________．
【答案】0
【解析】 展开式的第r＋1项为C(－x)r＝C(－1)rxr，x的系数为－C，x9的系数为－C，则x的系数与x9的系数之差为0.
（2011·湖北卷） 18的展开式中含x15的项的系数为________．(结果用数值表示)
【答案】17
【解析】 二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx18－rr＝rrC·x18－r.令18－r＝15，解得r＝2.所以展开式中含x15的项的系数为22C＝17.
（2011·四川卷） (x＋1)9的展开式中x3的系数是________．(用数字作答)
（2011·重庆卷）(1＋2x)6的展开式中x4的系数是______．
【答案】240
【解析】 ∵(1＋2x)6的展开式中含x4的项为C(2x)4＝240x4，∴展开式中x4的系数是240.
(2011年高考广东卷文科7)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）
A．20 B．15 C．12 D．10
样处理的过程中刚好每一条对角线重复了一次，所以最后还要乘以所以这个正五棱柱对角线的条数共有,所以选择A.
（2011年高考湖南卷文科16)给定，设函数满足：对于任意大于的正整数，
（1）设，则其中一个函数在处的函数值为 ；
（2）设，且当时，，则不同的函数的个数为 。
【2010高考真题精选】[来源:Z+xx+k.Com]
（2010全国卷2文数）（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种
（2010重庆文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有[来源:
（A）30种 （B）36种 （C）42种 （D）48种
甲、乙同组，则只能排在15日，有=6种排法
甲、乙不同组，有=36种排法，故共有42种方法
（2010全国卷1文数）(5)的展开式 的系数是
(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3
【答案】A.
【解析】
的系数是 -12+6=-6
（2010四川文数）（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是
（A）36 （B）32 （C）28 （D）24
（2010上海文数）12.在行列矩阵中，
记位于第行第列的数为。当时， 。
答案：45
解析：1+3+5+7+9+2+4+6+8=45
（2010上海文数）5.将一个总数为、 、三层，其个体数之比为5:3:2。若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从中抽取 20 个个体。
答案：20
解析：考查分层抽样应从中抽取
（2010全国卷2文数）(14)(x+1/x)9的展开式中，x3的系数是_________
【答案】84
【解析】本题考查了二项展开式定理的基础知识
∵ ，∴ ，∴
（2010全国卷1文数）(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)
（2010四川文数）(13)(x－)4的展开式中的常数项为______________(用数字作答)
（2010湖北文数）11.在的展开中， 的系数为______。
【2009高考真题精选】
1.（2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）
A．8 B．24 C．48 D．120
于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有（个）.故选C.[来源:学*科*网]
2.（2009全国卷Ⅱ文）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有
（A）6种 （B）12种 （C）24种 （D）30种
答案：C
解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数=36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为=6，故只恰好有1门相同的选法有24种 。
3.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A. 60 B. 48 C. 42 D. 36
4.（2009湖北卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有
A.120种 B.96种 C.60种 D.48种
【答案】C
【解析】5人中选4人则有种，周五一人有种，周六两人则有，周日则有种，故共有××=60种,故选C
5.（2009湖南卷文）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为
A．14 B．16 C．20 D．48
【答案】B
【解析】由间接法得，故选B.
6.（2009全国卷Ⅰ文）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
（A）150种 （B）180种 （C）300种 （D）345种
【答案】D
【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。
解：由题共有，故选择D。[来源:学科网ZXXK]
7（2009陕西卷文）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为
(A)432 (B)288 (C) 216 (D)108
答案：C.
解析：首先个位数字必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有种，再丛剩余3个奇数中选择一个，从2，4，6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排。则共有故选C.
8.（2009湖北卷文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有
A.120种 B.96种 C.60种 D.48种
【答案】C
【解析】5人中选4人则有种，周五一人有种，周六两人则有，周日则有种，故共有××=60种,故选C
【最新模拟】
1．从10名大学毕业生中选3人，担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85 B．56
C．49 D．28
2．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )
A．504种 B．960种
C．1008种 D．1108种
3．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中含有1门相同的选法有( )
A．6种 B．12种
C．16种 D．24种
4． (1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )
A．80 B．40
C．20 D．10
【答案】B
【解析】(1＋2x)5展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr，令r＝2得T3＝40x2，∴x2
的系数为40，故选B.
5． (4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是( )
A．－20 B．－15
C．15 D．20
【答案】C
【解析】Tr＋1＝C(4x)6－r·(－2－x)r[来源:学科网]
＝C(－1)r2(12－3r)x
令12－3r＝0，∴r＝4，∴T5＝C＝15.
6．若(x2－)9(a∈R)的展开式中x9的系数是－，则sinxdx等于( )
A．1－cos2 B．2－cos1
C．cos2－1 D．1＋cos2
【答案】A
【解析】由题意得Tr＋1＝C(x2)9－r(－1)r()r
＝(－1)rCx18－3r，令18－3r＝9得r＝3，
所以－C＝－，解得a＝2，
所以sinxdx＝(－cosx)|＝－cos2＋cos0＝1－cos2.
7．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )
A．12种 B．24种
C．30种 D．36种
【答案】B
【解析】从4人中任选2个选修甲课程共有C＝6种选法．
其余2人各自从乙、丙课程中任选1门有C·C＝4种选法，根据分步计数原理共有6×4＝24种选法．
8． (x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )
A．－40 B．－20
C．20 D．40
【答案】D
【解析】依题意：(1＋a)(2－1)5＝2，得a＝1.[来源:Z*xx*k.Com]
9．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.
10．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
【答案】14
【解析】依题意：①一个2三个3的四位数有4个；②两个2两个3的四位数有C＝6个；③三个2一个3的四位数有4个，合计14个．
11．从集合{O，P，Q，R，S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是________(用数字作答)．
12．若(x－)6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
【答案】4
【解析】依题意，通项Tr＋1＝Cx6－r·(－)r
＝(－1)r·Cx6－3r·a.
当r＝2时，为常数项，此时有：C·a＝60，∴a＝4.
13．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种选法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？
14．在二项式(＋)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项．
15．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数．
(1)可组成多少个不同的四位数？
(2)可组成多少个不同的四位偶数？
(3)可组成多少个能被3整除的四位数？