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- 2021-04-12 发布
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山西大学附属中学2018-2019学年高二下学期3月模块诊断数学（理)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数的求导法则和求导公式分别进行验证后可得正确的结果．
【详解】
选项A中，由于，所以A不正确；
选项B中，由于，所以B不正确；
选项C中，由于，所以C正确；
选项D中，由于，所以D不正确．
故选C．
【点睛】
本题考查导数的运算，解题的关键是熟记求导公式和求导法则，属于简单题．
2．已知函数的导函数的图象如下图所示，那么函数的图象最有可能的是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：根据导函数图象可知，函数在（-∞，0），（2，+∞）上单调增，在（0，2）上单调减，从而可得结论. 解：根据导函数图象可知，函数在（-∞，0），（2，+∞）上单调增，在（0，2）上单调减，由此可知函数f（x）的图象最有可能的是A，故选A
考点：导数的符号与函数单调性关系
点评:本题考查导函数与原函数图象的关系，解题的关键是利用导函数看正负，原函数看增减，属于基础题
3．已知函数，则的增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出导函数，解不等式可得函数的单调增区间．
【详解】
∵，
∴．
由，得，解得．
∴函数的增区间为．
故选B．
【点睛】
用导数求函数单调区间的步骤：①求出函数的定义域；②求出导函数；③由可得函数的单调增区间；由
可得函数的单调减区间．解题时注意导函数的符号和函数单调性间的关系，属于基础题．
4．函数 有（ ）
A．极大值5，无极小值 B．极小值，无极大值
C．极大值5，极小值 D．极大值5，极小值
【答案】A
【解析】
试题分析：，所以增区间为，减区间为，所以当时有极大值，无极小值
考点：函数导数与极值
5．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出，然后利用赋值法得到，进而得到的解析式，于是可求得的值．
【详解】
∵，
∴，
令得，解得．
∴，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查导函数和函数值的求法，解题的关键是正确理解的意义，注意是个数，考查理解和应用能力，属于基础题．
6．若函数存在极值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得，若函数存在极值，则导函数有变号零点，由此可得所求范围．
【详解】
∵，
∴．
∵函数存在极值，
∴有变号零点，
又，
∴，
∴实数的取值范围是．
故选A．
【点睛】
解题时注意导函数的零点和函数极值点的关系，导函数的零点不一定是函数的极值点，在求得导函数的零点后还要进行验证，即判断在零点两侧的导函数的函数值是否改变符号，若符号发生变化则该零点是函数的极值点，否则不是函数的极值点．
7．已知函数，则曲线上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出，然后再求出的值域，即得到切线斜率的取值范围，然后可得倾斜角的范围．
【详解】
∵，
∴，当且仅当，即
时等号成立．
∴，
又，
∴，
即倾斜角的取值范围是．
故选C．
【点睛】
本题考查导数几何意义及其应用，解题的关键是求出导函数的值域，然后根据斜率与倾斜角的关系得到所求，考查综合运用知识解决问题的能力，属于基础题．
8．函数的图象在处的切线方程为，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而得到的值，然后再求出切点坐标，代入切线方程后可求得的值．
【详解】
∵，
∴．
由题意得，解得，
∴．
∴当时，，
故切点坐标为，
将切点坐标代入切线方程得，解得．
故选B．
【点睛】
利用导数的几何意义求切线方程时，一是要注意“曲线在点处的切线”和“曲线过点
的切线”两种说法的区别；二是解题时要注意切点既在曲线上又在切线上这一条件的应用．考查计算能力，属于基础题．
9．定义在上的函数满足：，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
令
而等价于,选A.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
10．若函数在区间内任取有两个不相等的实数，，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将化为，因为恒成立，所以在区间内单调递增，即在区间内恒成立，即在区间内恒成立，而，所以；故选C.
点睛：本题的难点在于如何根据合理构造函数，且判定新函数的单调性，要求在做题中多积累、多总结.
11．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可化为，故得．令，，则表示直线上的点与曲线上的点的最小距离的平方．利用导数的几何意义求出切点，再利用点到直线的距离公式即可得出所求结论．
【详解】
由题意，可化为，故得．
令，则表示直线上的点与曲线上的点的最小距离的平方．
设直线与曲线相切于点，不妨取．
∵，
∴，解得．
∴切点为，
∴，解得，
∴切点到直线的距离，
∴的最小值为．
故选B．
【点睛】
解答本题的关键在于读懂题意，将所求转化为点到直线的距离的平方的最小值求解，即转化为两条平行线间的距离求解，体现了转化和数形结合在解题中的应用，具有一定的难度和综合性，考查对导数几何意义的理解和应用．
12．已知直线为函数图象的切线，若与函数的图象相切于点，则实数必定满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求得两个函数的导函数，然后分别求出切线的斜率、切线的方程，由直线与两曲线都相切可得，消去消去整理得，且．所以方程
有负数解，然后构造函数并结合单调性和零点存在定理可得到所求范围．
【详解】
由得，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
切线的方程为，即．
设切线与相切的切点为，
由得，
故得切线在切点处的切线的斜率为，
切线的方程为，即．
又直线与两函数的图象都相切，
所以，消去整理得，且．
即方程有小于零的解．
设，则，故单调递增，
又，
可得．
故选D．
【点睛】
解答本题的关键是根据两曲线的公切线建立起变量的方程，且结合题意得到，进而得到方程有负数解的结论，然后利用导数和零点存在性定理求解．考查转化和计算能力，综合性较强，难度较大．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．函数的单调减区间是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出，然后通过解不等式可得单调减区间．
【详解】
由题意得函数的定义域为R．
∵，
∴，
由，解得．
∴函数的单调减区间是．
故答案为：．
【点睛】
本题属于基础题，考查函数单调区间的求法，解题的关键是正确求出导函数和解不等式．
14．设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用y=ex在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．
【详解】
∵f'（x）=ex，
∴f'（0）=e0=1．
∵y=ex在（0，1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直
∴点P处的切线斜率为﹣1．
又y'=﹣，设点P（x0，y0）
∴﹣=﹣1，
∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1
∴y0=1
∴点P（1，1）
故答案为：（1，1）
【点睛】
本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中．
15．若函数 的定义域为，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的解析式可得分母不为0，然后列出不等式，又不等式等价于函数 和的图象没有交点，结合图象和切线方程可求出的取值范围．
【详解】
∵函数 的定义域为，
∴，即．
令，则两函数的图象没有公共点．
在同一坐标系中画出两个函数的图象，如下图所示．
由得，
∴与直线平行且与函数的图象相切的直线的斜率为，
∴，此时，
∴切点坐标为(0,1)，故在点(0,1)处的切线方程为．
结合图象可得，要使两个函数图象没有公共点，则需满足，解得．
∴实数的取值范围是．
故答案为：
【点睛】
解答本题的关键是将函数解析式中分母不为零的问题转化为两函数的图象没有公共点的问题求解，然后借助曲线的切线这一临界位置求解，考查转化思想和数形结合思想在解题中的应用，属于基础题．
16．设函数对任意不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
对任意，不等式恒成立，则等价为恒成立，，当且仅当，即时取等号，即的最小值是，由，则，由得，此时函数为增函数，由得，此时函数为减函数，即当时，取得极大值同时也是最大值，则的最大值为，则由，得，即，则，故答案为.
评卷人
得分
三、解答题
17．已知，若直线过点且与图像相切，求直线的方程．
【答案】或
【解析】
【分析】
设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的切线方程，再根据切线过已知点求出切点的坐标，进而得到所求直线的方程．
【详解】
由，得．
设曲线与过点的切线相切于点，
则切线的斜率．
∴切线方程为，即．
∵点在切线上，
∴，即，
∴，解得或，
∴切线方程为或，
即或．
【点睛】
曲线“在点处的切线”与“过点的切线”的区别与联系
①曲线在点处的切线是指为切点，切线斜率为的切线，是唯一的一条切线．
②曲线过点的切线，是指切线经过点．点可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
18．已知函数
(1)求函数在上的最大值和最小值．
(2)求证：在区间上函数的图象恒在函数的图象的下方.
【答案】（1）最小，最大 （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最值；
（2）由题意，设，求得，利用导数求得函数的单调性和最小值，即作出证明．
【详解】
解：(1)由f(x)＝x2＋ln x有f′(x)＝x＋，
当x∈[1，e]时，f′(x)>0，
所以f(x)max＝f(e)＝e2＋1.
f(x)min＝f(1)＝.
(2)设F(x)＝x2＋ln x－x3，
则F′(x)＝x＋－2x2＝，
当x∈[1，＋∞)时，F′(x)<0，
且F(1)＝－<0故x∈[1，＋∞)时F(x)<0，
所以x2＋ln x