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- 2021-04-12 发布
“长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定一中”六校联考
2017－2018学年第二学期半期考
高二数学（理）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.复数=（ ）
A. B. C. D.
2．设是可导函数，当时，则=（ ）
A.2 B. C.-2 D.
3.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数.”上述推理（ ）
A.大前提错 B. 小前提错 C.结论错 D. 正确
4.某天某校的校园卫生清扫轮到高二(5)班，该班劳动委员把班级同学分为5个劳动小组，该校共有A、B、C、D四个区域要清扫，其中A、B、C三个区域各安排一个小组，D区域安排2个小组，则不同的安排方法共有（ ）
A．240种 B.150种 C.120种 D.60种
5.“已知函数，求证：与中至少有一个不小于。”用反证法证明这个命题时，下列假设正确的是( )
A.假设且; B.假设且;
C.假设与中至多有一个不小于 ;
D.假设与中至少有一个不大于.
6. 由抛物线与直线所围成的图形的面积是（ ）．
A. 4 B. C. 5 D.
A
B
图1
7. 已知函数的图象如图1所示，其中是函数的导函数，则函数的大致图象可以是( )
C
D
8.关于函数,有下列说法：
①它的极大值点为-3，极小值点为3；②它的单调递减区间为[-2,2]；
③方程有且仅有3个实根时，的取值范围是（18，54）.
其中正确的说法有（ ）个
A.0 B.1 C.2 D.3
9.已知定义在上的函数，其导函数为，若,，则不等式的解集是（ ）
A.(-∞，-1) B.(-∞，0) C.（0,+ ∞） D.（1,+ ∞）
10.有一个偶数组成的数阵排列如下：
2 4 8 14 22 32 …
6 10 16 24 34 … …
12 18 26 36 … … …
20 28 38 … … … …
30 40 … … … … …
42 … … … … … …
… … … … … … …
则第20行第4列的数为（ ）
A.546 B.540 C.592 D.598
11．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种.
A.105 B.95 C.85 D.75
12.已知是函数与图像上两个不同的交点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13．_______.
14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时， 甲说：我没去过城市；乙 说：我去过的城市比甲多，但没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断甲去过的城市为
15．若三角形的周长为、内切圆半径为、面积为，则有.根据类比思想，若四面体的表面积为、内切球半径为、体积为，则有=________.
16.对于曲线（其中为自然对数的底数）上任意一点处的切线，总存在在曲线上一点处的切线，使得∥，则实数的取值范围是____________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题满分10分）
（Ⅰ）已知复数（）在复平面内所对应的点在第二象限，
求k的取值范围；
（Ⅱ）已知是纯虚数，且，求复数.
18．（本题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数．已知销售价格为7元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若该商品的成本为5元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
19. （本小题满分12分）
已知函数，为的导数.
（1） 若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2） 已知，求函数在区间上的最大值与最小值.
20. （本小题满分12分）
已知函数，设为的导数，.
（1） 求、、、的表达式;
（2） 猜想的表达式，并证明你的结论.
21．（本题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）若的极小值为，求的值；
（Ⅱ）若对任意,都有恒成立，求实数的取值范围；
22．（本题满分12分）函数
（Ⅰ）讨论的单调性;
（Ⅱ）若有三个零点,求的取值范围.
“长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定一中”六校联考
2017－2018学年第二学期半期考高二数学（理）试题答案
1—12 ACDDB BACCA AB 13. 14.A 15. 16.
17.解：（Ⅰ）依题意得…………2分
即…………4分
或.…………5分
（Ⅱ）依题意设，…………6分
则，，…………7分
，
…………8分
，…………9分
…………10分
18．解：（Ⅰ）因为时，，
所以，. …………3分
（Ⅱ）由（1）知，该商品每日的销售量，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
…………6分
………8分
于是，当变化时，，的变化情况如下表：
（5,6）
6
(6,8)
＋
0
－
单调增
极大值
单调减
…………10分
由上表可得，＝6是函数在区间(5,8)内的极大值点，也是最大值点．所以，当＝6时，函数取得最大值，且最大值等于42.
所以，当销售价格为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．…………12分
19. 解：（1），
，.…………2分
曲线在点处的切线方程为，
从而有，解得.…………4分
（2）时，，，
从而得，…………7分
==…………9分
当时，，为增函数；当时，，为减函数. …………10分
所以=极大值==.………11分
又=，=，，
=…………12分
20. 解：（1）=；=,
,
.……4分(注：结果没化简不扣分）
(2)猜想=.………6分(注：猜想结果用连乘式表示不扣分）
证明如下：
当时，由（1）知结论正确；…………7分
假设（）时，结论正确，即.…………8分
则当时，
==，
所以当时，结论也正确. …………11分
由，得，，=均成立. …………12分
21．解：（Ⅰ）…………1分
①当时，恒成立，无极值；…………2分
②当时，由得，并且
当时，；当时，.
所以，当时， 取得极小值；…………3分
依题意，，，
又，；…………4分
综上，.…………5分
（Ⅱ） 令，则,. …………6分
令，则当时，，单调递增，.…………7分
①当时， 在上单调递增，；
所以，当时，对任意恒成立；…………9分
②当时，，，所以，存在，使（此处用“当时，存在，使”证明，扣1分），并且，当时，，在上单调递减，所以，当时，，
所以，当时，对任意不恒成立；…………11分
综上，的取值范围为.…………12分
22．解：（Ⅰ）（1分）
①若，则，当时，，单调递减；当时，，
单调递增.（2分）
②若，则，（仅），单调递增.（3分）
③若，则，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.（4分）
④若，则，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.（5分）
（Ⅱ）法一：①由（Ⅰ）知，当时，至多有两个零点.（6分）
②由（Ⅰ）知，当时，至多有一个零点.（7分）
③若，则要使有三个零点，必须有成立，
由，得，这与矛盾，所以不可能有三个零点.（8分）
④若，则要使有三个零点，必须有成立，
由，得，由及，得，
.（10分）
并且，当时，
，.
（注：此处用极限说明，扣1分）
综上，使有三个零点的的取值范围为.（12分）
法二：由，得，
令，则，（7分）
当或时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，当时，取得极小值，极小值为，
当时，取得极大值，极大值为；（9分）
并且
，.
（注：此处用极限说明，扣1分）
综上可知，当时，直线与曲线恰有三个不同的交点.（11分）
所以，使有三个零点的的取值范围为.（12分）