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- 2021-04-12 发布
2019-2020学年江西省宜春市高安中学高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题）
1. 设a，b，且，则下列选项中正确的是
A. B. C. D.
2. 已知A、B、C三个社区的居民人数分别为600、1200、1500，现从中抽取一个容量为n的样本，若从C社区抽取了15人，则
A. 33 B. 18 C. 27 D. 21
3. 一个样本数据从小到大的顺序排列为12，15，20，x，23，28，30，50，其中，中位数为22，则
A. 21 B. 15 C. 22 D. 35
4. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是
A. 收入最高值与收入最低值的比是3：1
B. 结余最高的月份是7月份
C. 1月份与2月份的收入的变化量与4月份至5月份的收入的变化量相同
D. 前6个月的平均收入为40万元
5. 在长度为12cm的线段AB上任取一点M，使得线段AM长度满足的概率为
A. B. C. D.
6. 已知变量x，y之间具有较强的线性相关性，测得它们的四组数据如表所示：
x
1
2
3
4
y
现已求得变量x，y之间的回归方程为，请根据给出的条件，预测时，y的值约为
A. B. C. D.
7. 已知实数x，y满足，若直线经过该可行域，则实数k的最大值是
A. 1 B. C. 2 D. 3
8. 运行如图所示的程序框图，如果输入的n的值为7，那么输出的n的值为
A. 34
B. 1
C. 22
D. 17
1. 下列说法正确的个数为
命题“若，则”的逆命题为真命题；
命题“若或，则”的否命题为真命题；
存在，使得；
若正数a、b满足，则恒成立．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 不等式的解集是
A. B. C. D.
3. 若x，y满足，且，且的最大值为
A. B. 1 C. 3 D. 7
4. 设a，，函数若函数恰有3个零点，则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、填空题（本大题共4小题）
5. 命题“”的否定是 _______________
6. 在平面直角坐标系xOy中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是____________．
7. “沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故．“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事．她们分别是中国古代的四大美女．某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为______．
8. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是______ 写出所有正确命题的编号．
；
；
；
；
．
三、解答题（本大题共6小题）
9. 已知函数：
当时，解关于x的不等式
当时，解关于x的不等式
1. 习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．山东某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元．
每台充电桩第几年开始获利？
每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．
2. 设命题p：实数x满足，其中，命题q：实数x满足．
若且为真，求实数x的取值范围；
若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
3. 某手机厂商在销售200万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动．活动规则如下：用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为x元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕．该手机厂商将在这200万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取1000名，奖励每名用户1000元的红包．为了合理确定保费x的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表其中y表示保费为x元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例：
x
10
20
30
40
50
y
根据上面的数据求出y关于x的回归直线方程；
通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为已知更换一次该型号手机屏幕的费用为2000元，若该手机厂商要求在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于70万元，能否把保费x定为5元？
参考公式：，，．
参考数据：．
1. 某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．
组号
分组
频数
频率
第1组
5
第2组
n
第3组
30
p
第4组
20
第5组
10
合计
100
求频率分布表中n，p的值，完善频率分布直方图并估计该组数据的中位数保留l位小数；
为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，学校决定从这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有1名学生被甲考官面试的概率．
2.
已知函数．
若的解集为，求实数k的值；
若，都，使成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：对于A，当时不成立，
对于B，当，时，不成立，
对于C，成立，
对于D，当，时不成立，
故选：C．
根据不等式的性质分别进行判断即可．
本题主要考查不等式性质的应用，要求熟练掌握不等式的性质．
2.【答案】A
【解析】解：A、B、C三个社区的居民人数分别为600、1200、1500，
从中抽取一个容量为n的样本，从C社区抽取了15人，
则，
解得．
故选：A．
利用分层抽样的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：一个样本数据从小到大的顺序排列为12，15，20，x，23，28，30，50，
其中，中位数为22，
，
解得．
故选：A．
利用中位数定义直接求解．
本题考查实数值的求法，考查中位数定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图，知：
在A中，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，
收入最高值与收入最低值的比是3：1，故A正确；
在B中，7月份结余：万元，是结余最高的月份，故B正确；
在C中，1月份与2月份的收入的变化量是：万元，
4月份至5月份的收入的变化量是：万元，
月份与2月份的收入的变化量与4月份至5月份的收入的变化量相同，故C正确；
在D中，前6个月的平均收入为：万元，故D错误．
故选：D．
仔细观察某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图，结合图形进行判断．
本题考查命题真假的判断，考查收入、支出情况的统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据几何概型，满足的概率为长度之比
，
故选：C．
构建长度的几何概型，求出即可．
考查几何概型求概率，基础题．
6.【答案】B
【解析】解：，，
，则线性回归方程为，
取，得．
故选：B．
由已知求得，，代入求得a值，则线性回归方程可求，取求得y值即可．
本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：直线过定点，
作可行域如图所示，
，
由，得．
当定点和B点连接时，斜率最大，此时，
则k的最大值为：
故选：B．
先根据约束条件画出可行域，再利用直线过定点，再利用k的几何意义，只需求出直线过点时，k值即可．
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：模拟程序的运行，可得
，
满足条件n是奇数，，
满足条件，不满足条件n是奇数，，
满足条件，满足条件n是奇数，，
此时，不满足条件，退出循环，输出n的值为34．
故选：A．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n
的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
9.【答案】B
【解析】解：命题“若，则”的逆命题为“若，则”显然逆命题是假命题；所以不正确
命题“若或，则”的否命题为“若且，则”是真命题；所以正确；
存在，使得；不满足绝对值的几何意义，所以不正确；
若正数a、b满足，，当且仅当，时成立，则恒成立．所以是真命题．
故选：B．
直接写出原命题的逆命题判断；利用否命题的真假判断；绝对值的几何意义判断；基本不等式求解最值判断．
本题考查命题的真假判断与应用，考查原命题、逆命题、否命题的真假，基本不等式的应用，是基础题．
10.【答案】C
【解析】解：由可得，
解可得，且，
即不等式的解集为且，
故选：C．
由可得，解二次不等式即可求解．
本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用．
11.【答案】C
【解析】解：，即，，，
交点为，，
故，，的最大值为3，
故选：C．
利用线性规划解决问题．
考查线性规划求最值，基础题．
12.【答案】C
【解析】解：当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，函数递增，令得，函数递减；函数最多有2
个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在上有2个零点，
如右图：
且，
解得，，．
，
故选：C．
当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．
13.【答案】，．
【解析】【分析】
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
【解答】
解：因为全称命题的否定是特称命题，大于变小于等于，
所以命题“，”的否定是：，．
故答案为：，．
14.【答案】4
【解析】解：由，得，
设斜率为的直线与曲线切于，
由，解得．
曲线上，点到直线的距离最小，
最小值为．
故答案为：4．
利用导数求平行于的直线与曲线的切点，再由点到直线的距离公式求点P到直线的距离的最小值．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：依题意，所有的情况为甲西施，丙昭君，丁貂蝉，甲西施，丙貂蝉，丁昭君，甲昭君，丙西施，丁貂蝉，甲昭君，丙貂蝉，丁西施，甲貂蝉，丙昭君，丁西施，甲貂蝉，丙西施，丁昭君，共6种，
其中满足条件的就1种，
故所求事件的概率为．
故答案为：．
根据题意，列出甲，乙，丙扮演的所有的基本事件共6种，而甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君值包含1个基本事件，代入古典概型的概率公式即可．
本题考查了古典概型的概率，考查分析解决问题的能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查基本不等式的求解问题，对于此类判断命题真假的题目，包含知识点较多需要一个一个分析，容易出错，属于中档题目．
首先对于此类填空题需要一个一个判断，用排除法求解，对于命题直接用特殊值法代入排除，其他命题用基本不等式代入求解即可判断．
【解答】
解：对于命题：由，命题正确；
对于命题：令，时候不成立，所以命题错误；
对于命题：，命题正确；
对于命题：令，时候不成立，所以命题错误；
对于命题：，命题正确．
所以答案为．
17.【答案】解：当时，，
即，
解可得，或，
不等式的解集为或；
当时，由可得，，
即，
当即时，解可得，；
当即时，解可得，或；
当即时，解可得或；
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或．
【解析】当时，代入，结合二次不等式的求解即可；
当时，由可得，，然后讨论与1的大小，结合二次不等式的求解即可．
本题主要考查了一元二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用．
18.【答案】解：设第n年的维修费用为，则是以1000为首项，以400为公差的等差数列，
设的前n项和为，则，
设一台充电桩前n年的累计利润为，
则，
令，可得，
解得：，即，
每台充电桩从第3年起开始获利．
每台充电桩的平均年利润为，
，当且仅当即时取等号，
，当且仅当时取等号．
每台充电桩在第8年时，年平均利润最大．
【解析】设第n年的维修费用为，求出的前n项和，得出前n年的总利润，令得出n的范围即可；
根据基本不等式求出的最大值即可．
本题考查了等差数列的前n项和，基本不等式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：当时，由得，即p：，
由得得，即q：，
又为真，所以p真且q真，由得．
所以实数x的取值范围为．
因为是的必要不充分条件，所以p是q
的充分不必要条件，
由得，
则，解得．
经检验，实数a的取值范围为．
【解析】若，求出p，q的等价条件，结合为真，得到p，q同时为真，建立不等式组即可求实数x的取值范围；
若是的必要不充分条件，转化为p是q的充分不必要条件，建立不等式组关系进行求解即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义转化为不等式关系是解决本题的关键．
20.【答案】解：，，
，，
，．
关于x的回归直线方程为；
能把保费x定为5元．
理由如下：若保费x为5元，则估计，
估计该手机厂在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为：
元万元万元．
能把保费x定为5元．
【解析】由已知求得与的值，则线性回归方程可求；
把代入线性回归方程，求得y值，进一步求出该手机厂在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润，与70万元比较大小得结论．
本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．
21.【答案】解：由题意可知，第2组的频数人，
第3组的频率；
第一、二两组的频率和为，
第三组的频率为，
所以中位数落在第三组．
设中位数距离170为x，则，解得，
故笔试成绩的中位数为；
第3、4、5组共有60名学生，
利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，
每组分别为：第3组：人，第4组：人，第5组：人，
试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有种，
满足条件的事件是第4组至少有一名学生被考官A面试有种结果，
至少有一位同学入选的概率为．
【解析】根据频率，频数的关系以即可求出答案；中位数能把频率分布直方图面积平均分配．
因为在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生，而这三个小组共有60人，利用每一个小组在60人中所占的比例，乘以要抽取的人数，得到结果．再试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有种满足条件的事件是第4组至多有一名学生被考官甲面试有种结果，根据古典概型概率公式得到结果．
本题考查的知识点是频率分布直方图，熟练掌握频率，矩形的高等常用公式及利用直方图计算平均数、中位数的方法是解答的关键．
22.
【答案】解：证明：由得：，整理得：，因为解集为，所以方程的根是，，，；
由题意可得，，
，在区间为增函数，为减函数，，，
所以函数在区间上的最小值是；
函数开口向上，且对称轴，
当，即，，解得：；
当，即，或，
所以；
，即，，解得：，所以；
综上所述，m的取值范围：
【解析】由函数的解集得不等式转化为方程的两根，进而求出k的值；
由题意可得在区间的最小值，大于等于的在区间的最小值，转化为求的最小值问题，讨论对称轴在区间的哪侧，函数的单调性的函数最小值与的关系进而求出m的范围．
考查函数的最值问题，属于中难度题．