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- 2021-04-12 发布
2017-2018学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期末考试数学试题（理）
试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。）
1.用“辗转相除法”求得和的最大公约数是( )
A B C D
2.已知命题 ;命题若，则,下列命题为真命题的是( )
A B C D
3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有名，高二年级有名．现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A B C D
4将直线变换为直线的一个伸缩变换为( )
A B C D
5．是“方程”表示双曲线的( )
A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件
6. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和如下表：
甲
乙
丙
丁
0.82
0.78
0.69
0.85
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现线性相关性更强( )
A 甲 B 乙 C 丙 D 丁
7.命题的否定形式是 ( )
A
B
C
D
8.若如图所示的程序框图输出的值为，
则条件①为( )
A
B
C
D
9.用秦九韶算法计算多项式在时的值, 的值为( )
A B C D
10．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是 ( )
A ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
B ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
C ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
D ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
11已知抛物线的焦点为，为抛物线上两点，若，为坐标原点，则的面积为（ ）
A B C D
12、已知点是双曲线左支上的一点，
是双曲线的左、右焦点，且，与两条渐近线相交于两点，点恰好平分线段，则双曲线的离心率是（ ）
A B C D
第Ⅱ卷 解答题部分
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13. 把化为二进制数为______________；
14.在随机数模拟试验中，若,,,,
表示生成之间的均匀随机数,共产生了个点，其中有个点满足，则椭圆的面积可估计为 ________ 。
15.采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为，抽到的人中，编号落入区间的人做问卷,编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为__________；
16.已知抛物线的焦点为,准线与轴交于点，过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则的值为__________。
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. (本小题满分10分)
已知关于的一元二次方程
(1)若一枚骰子掷两次所得点数分别是，求方程有两正根的概率；
(2)若，，求方程没有实根的概率．
18.(12分)已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(θ为参数),
直线经过定点,倾斜角为.
(1)写出直线的参数方程和曲线C的标准方程.
(2)设直线与曲线相交于两点,求的值.
19．(本小题满分12分)
以下是某地搜集到的新房屋的销售价格(单位：万元)和房屋的面积(单位：)的数据：
房屋面积
115
110
80
135
105
销售价格
24. 8
21. 6
18. 4
29. 2
22
(1) 求线性回归方程;
(2)并据(1)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格(精确到0. 1万元)．
，
20.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，且，是的中点。
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成二面角的大小（锐角）。
21.(本小题满分12分)
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，
，后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（分及以上为及格）和众数；(众数保留整数)
（3）从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，
求他们在同一分数段的概率（成绩在同一组的为同一分数段）．
22．（本题满分12分）
已知、分别是椭圆的左、右焦点。
（I）若是第一象限内该椭圆上的一点，，求点的坐标；
（II）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中
为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。
大庆铁人中学高 二 学年 上 学期 期 末 考试
数学试题答案（理）
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。）
1-6 DBBABD 7—12 CBDDCD
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13． 14. 15. 11 16.
三、解答题
17. (本小题满分10分)
已知关于的一元二次方程
(1)若一枚骰子掷两次所得点数分别是，求方程有两正根的概率；
(2)若，，求方程没有实根的概率．
[解析] (1)由题意知，本题是一个古典概型，用(a，b)表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件．依题意知，基本事件(a，b)的总数共有36个，
一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0有两正根，等价于即．………………………………….3
设“方程有两个正根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)，共4个，因此，所求的概率为P(A)＝＝．………………………………….5
(2)由题意知本题是几何概型，试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，其面积为S(Ω)＝16. 满足条件的事件为：B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2<16}，其面积为S(B)＝×π×42＝4π，…………………………………8
因此，所求的概率为P(B)＝＝．…………………………………10
18.(12分)已知在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(θ为参数),
直线经过定点,倾斜角为.
(1)写出直线的参数方程和曲线C的标准方程.
(2)设直线与曲线相交于两点,求的值.
【解题】(1)根据直线经过的点和倾斜角求直线的参数方程,消去参数得圆的普通方程.
(2)将直线的参数方程代入圆的普通方程,利用参数的几何意义求值.
【解析】(1)圆C:(x-1)2+(y-2)2=16, ………………………………….3
直线: (t为参数). …………………………………6
(2)将直线的参数方程代入圆的方程得:,
设t1,t2是方程的两个根,则t1t2=-3,
所以|PA||PB|=|t1||t2|=|t1t2|=3. ………………………………….12
19．(本小题满分12分)
以下是某地搜集到的新房屋的销售价格(单位：万元)和房屋的面积(单位：)的数据：
房屋面积
115
110
80
135
105
销售价格
24. 8
21. 6
18. 4
29. 2
22
(1) 求线性回归方程;
(2)并据(1)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格(精确到0. 1万元)．
，
解析] (1)＝i＝109， ＝23. 2，…………………………………2
(xi－)2＝1570，(xi－)(yi－)＝308．………………………………….4
则＝＝≈0. 1962，……6
＝－＝23. 2－0. 1962×109＝1. 8142．
故所求回时直线方程为＝0. 1962x＋1. 8142. …………………………………8
(2)由(1)得： 当x＝150时，销售价格的估计值为＝0. 196×150＋1. 8142＝31. 2442≈31. 2(万元)．
答: 当房屋面积为150 m2时的销售价格估计为31. 2(万元)．…………………………………12
20.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，且，是的中点。
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成二面角的大小（锐角）。
证明：（I）∵底面，平面，
∴平面平面……………………………2分
∵，∴平面，又平面，
∴， …………………………………………4分
∵，是的中点，∴，
∵，∴平面，∵平面，
∴平面平面. ……………………………6分
（II）由题意知两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设.
则，，，，，，
∴，，，……………………8分
设是平面的法向量，则
即 令，则，
∴是平面的一个法向量.
设是平面的法向量，则
即 解得，令，则，
∴是平面的一个法向量. ……………………………10分
∵，
∴平面与平面所成锐二面角的大小为. …………………………12分
21.(本小题满分12分)
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，
，后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（分及以上为及格）和众数；(众数保留整数)
（3）从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，
求他们在同一分数段的概率（成绩在同一组的为同一分数段）．
解:（1）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：
f4=1-(0.025+0.015*2+0.01+0.005)*10=0.03分
直方图如右所示……………………………．3分
（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、
六组，频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)*10=0.75
所以，抽样学生成绩的及格率是75% …… 6分
众数为75,…… 8分
（3）[70,80)，[80,90) ，[90,100]的人数是18,15,3。
所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率。
……………………12分
22．（本题满分12分）
已知、分别是椭圆的左、右焦点。
（I）若是第一象限内该椭圆上的一点，，求点的坐标；
（II）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其
中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。
解（I）因为椭圆方程为，知，，设
，
则，
又，联立 ，解得，……6分
（II）显然不满足题意，所直线的斜率存在，可设的方程为，
设，联立
，--------------------------------------------------------8分
且△------------------ ---------------------10分
又为锐角，，，，
又，， -------------12分