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- 2021-04-12 发布
浏阳市2019年下学期期末考试试卷
高二数学
时量：120分 分值：150分
一：选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，则下列不等式成立的是
A． B． C． D．
2．对于实数，“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 下列各组数能组成等比数列的是
A. ，， B. ,, 6, 8, 10 D. ,,
4. 若命题“”为真命题，则
A．为假命题 B．为假命题
C．为真命题 D．为真命题
5. 已知为等差数列，其公差为－2，且是与的等比中项，为的前n项和，则的值为
A．－110 B．－90 C．90 D．110
6. 设,若关于的不等式在∈(0,+∞)恒成立,则的最小值为
A. 4 B. 2 C. 16 D. 1
7. 已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为，设为坐标原点，则的面积为
A． B． C． D．
8. 已知函数在上不是单调函数，则实数的取值范围是
A．(－∞，－)∪(，＋∞) B． (－，)
C．(－∞，－]∪[，＋∞) D．[－，]
9. 在平行六面体中，，，，，，则
A. B. C. D.
10. 已知，函数的最小值是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件，若使得该女子所织布的尺数不少于10尺，则该女子所需的天数至少为
A．8 B.7 C.6 D.5
12.椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最小值为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.双曲线的渐近线方程为 ．
14. 已知变量，满足约束条件则取最大值为 ．
15. 已知等差数列的前项和为，且，，则数列的前99项和为______．
16. 函数的定义域为，，对任意，，则的解集为 ．
三：解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （10分）已知函数，且不等式的解集为
（1）求实数的值；
（2）求不等式的解集；
18.（12分）已知等差数列前项的和为，且（为常数，），．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设（），设数列前项的和为，求．
19.（12分）在长方体中，，,是面对角线上一点，且
（1）求证：；
（2）设异面直线与所成角的大小为，求的值.
20.（12分）近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本
万元，且 ，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求出2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额—
成本）；
（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
21.（12分）已知椭圆经过点，离心率，直线的方程为．
（１）求，的值；
（２）过椭圆左焦点的直线交椭圆于，两点，过作直线的垂线与交于点．求证：当直线绕点旋转时，直线必经过轴上一定点．
22.（12分）已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数在区间上的最大值和最小值；
（3）若对任意的，均存在，使得，求的取值范围．
2019年下学期期终考试试卷
高二数学参考答案
一：选择题：DBDBD ABAAC CD
12. 因为关于原点对称，所以也在椭圆上，设左焦点为，根据椭圆的定义：，又因为，所以，是直角三角形斜边的中点，所以,，所以，所以
，由于，所以.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. ．
14. 3
15.
16. 考查函数单调性
三：解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17（10分）解：（1）的解集为
1和3是方程的两个根， （3分） （5分）
即：
化简得： （6分） 解得： （9分）
原不等式的解集为： （10分）
18.（12分）解：由
令 得 ，又 （2分）
令得 （3分）
所以，等差数列 的公差 （5分）
（7分）
（2） （9分）
数列是首项为4，公比为2的等比数列 （10分）
（12分）
19.（12分）解：(1)如图建立空间直角坐标系，（1分）
依题意得，，，
（3分）
设，则
,
（5分） （7分）
（8分）
(2) , （9分）
（12分）
20.（12分）解（Ⅰ）当时，；......................…………….(2分)
当时，，.........………….(4分)
.......................…..........………….(6分)
（Ⅱ）若，，
当时，万元 . ......................……...................................……….(8分)
若，，..........…….(10分)
当且仅当时，即时，万元 . ....…….....……….(11分)
2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. ........…….(12分)
21.（12分）解：由 得 （2分）
又在椭圆上，
解得：， （5分）
（1） 左焦点，设直线的方程为： （6分）
由
设
则， （8分）
直线
在上述方程中令得：
将代入一式得：
即直线经过点 （10分）
特别，当与轴重合时，显然直线经过点 （11分）
综上所述，直线过定点。 （12分）
【该题是根据几年前本人发表的《一道课本例题的研究性学习》一文命制的，有兴趣的老师可看看这篇文章（在浏阳高中数学QQ群和赵世强高中数学名师微信群可找到）】
22.（12分）（1）时，， （1分）
，
曲线在点处的切线方程为：
，即 （3分）
（2）时，
由，得
当时，；当时，
在上单调递增；在上单调递减。
又 又
函数在区间上的最大值是；最小值是 （6分）
（3）
当时，的值域是 （7分）
的定义域为，
①当时，，在定义域为上单调递增，且值域是
所以，对任意的，均存在，使得 （8分）
②当时，由 得
当时，，当时，
当时，取得最大值
所以“对任意的，均存在，使得”等价于
，即，解得 （11分）
综合①，②得的取值范围是 （12分）