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- 2021-04-12 发布
第二篇 思想方法精析
第一讲 函数与方程思想
【
思想解读
】
1.
函数的思想
:
是通过建立函数关系或构造函数
,
运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题
,
从而使问题得到解决的思想
.
2.
方程的思想
:
是建立方程或方程组
,
或构造方程
,
通过解方程或方程组或运用方程的性质去分析、转化问题
,
使问题获得解决的思想
.
热点
1
解决图象交点或方程根的问题
【
典例
1】
(2016
·
忻州一模
)
设
f(x
)
是定义在
R
上的偶
函数，对任意
x∈R
，都有
f(x-2)=f(x+2)
且当
x∈[-2
，
0]
时，
f(x
)= -1
，若在区间
(-2
，
6]
内关于
x
的方程
f(x)-log
a
(x+2)=0(a>1)
恰有
3
个不同的实数根，则
a
的
取值范围是
(
)
【
解析
】
选
B.
因为对于任意的
x
∈
R
，都有
f(x-2)=f(x+2)
，
所以函数
f(x
)
是一个周期函数，且
T=4.
又当
x∈[-2
，
0]
时，
f(x
)= -1
，且函数
f(x
)
是定义
在
R
上的偶函数，
若在区间
(-2
，
6]
内关于
x
的方程
f(x)-log
a
(x+2)=0(a>1)
恰有
3
个不同的实数根，
则函数
y=
f(x
)
与
y=log
a
(x+2)
在区间
(-2
，
6]
上有
3
个
不同的交点，如图所示，
又
f(-2)=f(2)=3
，因此，对于函数
y=log
a
(x+2)
，
由题意可得，当
x=2
时的函数值小于
3
，
当
x=6
时的函数值大于
3
，
即
log
a
4<3
，且
log
a
8>3
，解得
0),
则
g′(t
)=
令
g′(t
)=0,
得
t=1,
当
t∈(0,1)
时
,
g′(t
)<0;
当
t∈(1,+∞)
时
,
g′(t
)>0,
所以
g(t)
min
=g(1)= ,
所以
|AB|≥ ,
所以
|AB|
的最小值为
.
【
规律方法
】
求最值或参数范围的技巧
(1)
充分挖掘题设条件中的不等关系
,
构建以待求字母为元的不等式
(
组
)
求解
.
(2)
充分应用题设中的等量关系
,
将待求参数表示成其他变量的函数
,
然后应用函数知识求解
.
(3)
当问题中出现两数积与这两数和时
,
是构建一元二次方程的明显信息
,
构造方程再利用方程知识使问题巧妙解决
.
(4)
当问题中出现多个变量时
,
往往要利用等量关系去减少变量的个数
.
【
变式训练
】
1.(2016
·
赤峰一模
)
如图
,A
是单位圆与
x
轴的交点
,
点
P
在单位圆上
,∠AOP=θ(0<θ<π),
四边
形
OAQP
的面积为
S,
当
+S
取得最大值时
θ
的值
为
(
)
【
解析
】
选
B.
由
知四边形
OAQP
为平行四边
形
,
故
所以
θ=
时
,
有最大值
.
2.(2016
·
西宁一模
)
已知正四棱锥的体积为
,
则正
四棱锥的侧棱长的最小值为
(
)
A.2 B.2 C.2 D.4
【
解析
】
选
A.
如图所示
,
设正四棱锥的底面边长为
a,
高为
h.
则该正四棱锥的体积
V=
故
a
2
h=32,
即
a
2
= .
则其侧棱长为
l
=
令
f(h
)=
则
f′(h
)=
令
f′(h
)=0,
解得
h=2.
显然当
h∈(0,2)
时
,
f′(h
)<0,f(h)
单调递减
;
当
h∈(2,+∞)
时
,
f′(h
)>0,f(h)
单调递增
.
所以当
h=2
时
,
f(h
)
取得最小值
f(2)= +2
2
=12,
故其侧棱长的最小值
l
=
热点
3
解决与不等式有关的问题
【
典例
3】
(2016
·
保定一模
)
已知函数
f(x
)=
lnx
-1
，
g(x
)=-x
2
+2bx-4
，若对任意
x
1
∈(0
，
2)
，
x
2
∈[1
，
2]
，不等式
f(x
1
)≥g(x
2
)
恒成立，则实数
b
的取值范围
为
__________.
【
解析
】
问题等价于
f(x)
min
≥
g(x)
max
.
f(x
)=
lnx
-1
，
所以
f′(x
)=
令
f′(x
)>0
得
x
2
-4x+3<0
，解得
12
时，
g(x)
max
=g(2)=4b-8.
故问题等价于
解得
b<1
或
1≤b≤
，所以
b≤ .
答案：
【
规律方法
】
解决不等式问题的方法及注意点
(1)
方法
:
在解决不等式恒成立问题时
,
一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题
.
(2)
注意点
:
要注意在一个含多个变量的数学问题中
,
需要确定合适的变量和参数
,
从而揭示函数关系
,
使问题更明朗化
,
一般地
,
已知存在范围的量为变量
,
而待求范围的量为参数
.
【
变式训练
】
1.(2016
·
西安一模
)
已知函数
f(x
)=x
2
+4x+4,
若存在实数
t,
当
x∈[1,t]
时
,f(x-a)≤4x(a>0)
恒成立
,
则实数
t
的最大值是
(
)
A.4 B.7 C.8 D.9
【
解析
】
选
D.
由图可知
,
当函数
y=
f(x
-a)
的图象经过点
(1,4)
时
,
有
x∈[1,t],f(x-a)≤4x(a>0)
恒成立
,
此时
t
取得最大值
,
由
(1-a)
2
+4(1-a)+4=4,
得
a=5
或
a=1(
舍
),
所以
4t=(t-5+2)
2
,
所以
t=1(
舍
)
或
t=9,
故
t=9.
2.(2016
·
太原二模
)
f(x
)=ax
3
-3x+1
对于
x∈[-1,1]
总有
f(x)≥0
成立
,
则
a=________.
【
解析
】
若
x=0,
则不论
a
取何值
,
f(x)≥0
显然成立
;
当
x>0
即
x∈(0,1]
时
,
f(x
)=ax
3
-3x+1≥0
可化为
a≥
设
g(x
)=
则
g′(x
)=
所以
g(x
)
在区间 上单调递增
,
在区间 上单调
递减
,
因此
g(x)
max
=g =4,
从而
a≥4;
当
x<0
即
x∈[-1,0)
时
,
f(x
)=ax
3
-3x+1≥0
可化为
a≤
g(x
)=
在区间
[-1,0)
上单调递增
,
因此
g(x)
min
=g(-1)=4,
从而
a≤4,
综上
a=4.
答案
:
4