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- 2021-04-12 发布
2017-2018学年遵化一中高三第三次综合训练
理科数学试题 命题人：
说明：本试题共2页，共22题。满分为150分，考试时间为120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
1．若集合M={x∈Z|x2﹣8x+7＜0}，N={x|∉Z}，则M∩N等于（ ）
A．{3，6} B．{4，5} C．{2，4，5} D．{2，4，5，7}
2.已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第四象限 B．第一象限 C．第三象限 D．第二象限
3.设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点F（2，0）是双曲线3x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
5.设函数f(x)＝sin－cos，且其图象关于y轴对称，则函数y＝f(x)的一个单调递减区间是( )
A. B. C. D.
6．执行如下程序框图，则输出的结果为
A．20200 B．5268.5 C．5050 D．5151
7．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见 “行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为的圆，中间有边长为的正方形孔，现随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为
（ ）
A． B．
C． D．
8．某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知平面区域，夹在两条斜率为的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离为m．若点P（x，y）∈Ω，则z=mx﹣y的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．6
10．设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为( )
A．1－ln 2 B.(1－ln 2)
C．1＋ln 2 D.(1＋ln 2)
11．三棱锥的四个顶点都在球面上，SA是球的直径，，，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知焦点在轴的椭圆 的左、右焦点分别为，直线过右焦点，和椭圆交于两点，且满足， ，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分
13．已知向量=（x，2），=（2，1），=（3，x），若∥，则向量在向量方向上的投影为 ．
14．在中，分别为角的对边，且角，若，且 ，则的周长等于______．
15．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有 种。（数字作答）
16．已知函数，若存在实数、、、，满足 ，其中，则的取值范围是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（本小题12分）
在数列中，设，且满足，且．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的前项和．
18、（本小题12分）某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：
(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的均值和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些.
(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值.
19、（本小题12分）
如图，在五棱锥F﹣ABCDE中，平面AEF⊥平面ABCDE，AF=EF=1，AB=DE=2，BC=CD=3，且∠AFE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=90°．
（1）已知点G在线段FD上，确定G的位置，使得AG∥平面BCF；
（2）点M，N分别在线段DE，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，D与F恰好重合，求直线BM与平面BEF所成角的正弦值．
20、（本小题12分）
已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，过其焦点作斜率为1的直线l交抛物线C于M，N两点，且|MN|＝16.
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D(0,4)，若动圆P与x轴交于A，B两点，求＋的最大值．
21、（本小题12分）
已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：对任意的，
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22、（本小题10分）选修4－4：坐标系与参数方程
点是曲线（）上的动点，，的中点为.
（1）求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）若上点处的切线斜率的取值范围是，求点横坐标的取值范围.
23、（本小题10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（1）解不等式；
（2）若，，且，求证：．
强化训练三答案
1．C．2. B 3. C 4．C．5.C6．C 7．A 8．D 9 A．10．B11．B 12．A
13． 4 ．14．15． 1008 . 16. .
17.（1）证明：由已知得，得，
∴，又， ∴是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）解：由（1）知，，∴．∴，
两边乘以2，得，
两式相减得，
∴．
18.【解析】(1)=(7+9+11+13+13+16+23+28)=15，
=(7+8+10+15+17+19+21+23)=15，
=[(-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132]=44.75，
=[(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25，
因为甲乙两名队员的失分均值相等，甲的方差比乙的方差大，所以乙同学做解答题相对稳定些.
(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别是p1=，p2=，
两人失分均超过15分的概率为p1p2=，X的所有可能取值为0，1，2，依题意X～B，
P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
E(X)=2×=.
19．解：（1）点G为靠近D的三等分点,在线段CD取一点H，使得CH=2，连结AH，GH…
∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD．又AB=CH，∴四边形ABCH为平行四边形，∴AH∥BC，
∵点G为靠近D的三等分点，∴FG：GD=CH：HD=2：1，∴GH∥CF，
∵AH∩GH=H，∴平面AGH∥平面BCF，而AG⊂平面AGH，∴AG∥平面BCF…
（2）取AE的中点K，连接FK，∵AF=EF，∴FK⊥AE，又平面AEF⊥平面ABCDE，
∴FK⊥平面ABCDE…
如图，建立空间直角坐标系B﹣xyz，则．
设EM=m（0＜m＜2），则M（1+m，3，0）…∵翻折后，D与F重合，∴DM=FM，又FM2=KM2+FK2，
故，从而， =（，3，0）…
=（1，3，0），=（，），设n=（x，y，z）为平面BEF的一个法向量，
则，取x=3，则…设直线BM与平面BEF所成角为α，则sinα==，故直线BM与平面BEF所成角的正弦值为…
20. [解] (1)设抛物线的焦点为F，则直线l：y＝x＋.
由得x2－2px－p2＝0，∴x1＋x2＝2p，∴y1＋y2＝3p，
∴|MN|＝y1＋y2＋p＝4p＝16，∴p＝4，∴抛物线C的方程为x2＝8y.4分
(2)设动圆圆心P(x0，y0)，A(x1,0)，B(x2,0)则x＝8y0且圆P：(x－x0)2＋(y－y0)2＝x＋(y0－4)2，
令y＝0，整理得x2－2x0x＋x－16＝0，解得x1＝x0－4，x2＝x0＋4，6分
设t＝＝＝＝，
当x0＝0时，t＝1， ①7分当x0≠0时，t＝.
∵x0＞0，∴x0＋≥8，∴t≥＝＝－1，且t＜1， ②
综上①②知－1≤t≤1.9分
∵f(t)＝t＋在[－1,1]上单调递减，∴＋＝t＋≤－1＋＝2，
当且仅当t＝－1，即x0＝4时等号成立．∴＋的最大值为2.12分
21.
【答案】（1）当时，函数在上单调递减；（2）证明见解析.
（2）设，，，
令，，则，
当时，，有，
∴在上是减函数，即在上是减函数，…………………6分
又∵，，
∴存在唯一的，使得，
∴当时，，在区间单调递增；
22.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
点是曲线（）上的动点，，的中点为.
（1）求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）若上点处的切线斜率的取值范围是，求点横坐标的取值范围.
试题解析：（1）由，得设，，
则，即，代入，
得，∴；…………………5分
（Ⅱ）轨迹是一个以为圆心，半径的半圆，如图所示，
设，设点处切线的倾斜角为
由斜率范围，可得，
而，∴，∴，
所以，点横坐标的取值范围是．…………………10分
23.（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（1）解不等式；
（2）若，，且，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
（2），即．
因为，，
所以，
所以，故所证不等式成立．…………………10分