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- 2021-04-12 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年广东省汕头市潮南实验中学高二（上）10月月考数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．）
1．设M={x|x=a2+1，a∈R}，P={y|y=b2﹣4b+5，b∈R}，则下列关系正确的是（ ）
A．M=P B．M⊊P
C．P⊊M D．M与P没有公共元素
2．已知点P（sinπ，cosπ）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为（ ）
A． B． C． D．
3．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A．π B． C． D．
4．执行如图的程序框图，则输出S的值为（ ）
A．2 B．﹣3 C． D．
5．三个数a=30.7，b=0.73，c=log30.7的大小顺序为（ ）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
6．在等比数列{an}中，a2，a6是方程x2﹣34x+64=0的两根，则a4等于（ ）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．以上都不对
7．若l，m，n是不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n B B．l⊥n，m⊥n⇒l∥m
C．l⊥α，l∥β⇒α⊥β D．α⊥β，l⊂α⇒l⊥β
8．已知直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0平行，则系数a=（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C． D．
9．有以下几种说法：（l1、l2不重合）
①若直线l1，l2都有斜率且斜率相等，则l1∥l2；
②若直线l1⊥l2，则它们的斜率互为负倒数；
③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；
④只有斜率相等的两条直线才一定平行．
以上说法中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1
的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
11．若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx﹣y﹣9=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．﹣1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）
13．若直线m被两平行直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y+3=0所截得的线段长为2，则m的倾斜角可以是 ．
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°．
14．已知矩形ABCD中AB=3，BC=a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是 ．
15．如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是 ．
16．若x∈R，有意义且满足x2+y2﹣4x+1=0，则的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦；
（1）当时，求AB的长；
（2）当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程．
18．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求c的值．
19．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（1）求证：AC⊥BF；
（2）求证：BF⊥平面ACFD．
20．已知数列{log2（an﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明++…+＜1．
21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．
22．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．
（1）求证：对任意的m，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）设l与圆C交于A，B两点，若|AB|=，求l的倾斜角；
（3）求弦AB的中点M的轨迹方程．
2016-2017学年广东省汕头市潮南实验中学高二（上）10月月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．）
1．设M={x|x=a2+1，a∈R}，P={y|y=b2﹣4b+5，b∈R}，则下列关系正确的是（ ）
A．M=P B．M⊊P
C．P⊊M D．M与P没有公共元素
【考点】集合的相等．
【分析】根据题意，将集合M、P变形可得：M={x|x≥1}，P={x|x≥1}，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，M={x|x=a2+1，a∈R}={x|x≥1}，
P={y|y=b2﹣4b+5，b∈R}={x|x≥1}，
故有M=P；
故选：A．
2．已知点P（sinπ，cosπ）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】解出点P的具体坐标，即可求解θ的值．
【解答】解：点P（sinπ，cosπ） 即P；
它落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），
∴
故选D．
3．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A．π B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，代入锥体体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，
其底面面积S==，
高h=1，
故半圆锥的体积V==，
故选：D
4．执行如图的程序框图，则输出S的值为（ ）
A．2 B．﹣3 C． D．
【考点】程序框图．
【分析】根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环计算S的值，并在循环变量k值大于等于2016时，输出累加结果．
【解答】解：模拟执行程序，可得
S=2，k=1，S=﹣3，
不满足条件k≥2016，k=2，S=﹣，
不满足条件k≥2016，k=3，S=，
不满足条件k≥2016，k=4，S=2，
不满足条件k≥2016，k=5，S=﹣3，
…
观察规律可知，S的取值周期为4，由于2016=504×4，可得
不满足条件k≥2016，k=2016，S=2，
满足条件k≥2016，满足退出循环的条件，
故输出的S值为2．
故选：A．
5．三个数a=30.7，b=0.73，c=log30.7的大小顺序为（ ）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【考点】不等式比较大小．
【分析】由指数函数和对数函数的单调性，可得a，b，c的范围，进而可得答案．
【解答】解：∵a=30.7＞30=1，
0＜b=0.73＜0.70=1，
c=log30.7＜log31=0，
∴c＜b＜a．
故选D．
6．在等比数列{an}中，a2，a6是方程x2﹣34x+64=0的两根，则a4等于（ ）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．以上都不对
【考点】函数的零点；等比数列的通项公式．
【分析】根据所给的等比数列的两项和方程根与系数的关系，求出a4的平方，根据条件中所给的三项都是偶数项，得出第四项是一个正数，得到结果．
【解答】解：∵a2，a6时方程x2﹣34x+64=0的两根，a2•a6=64，
∴a42=a2•a6=64
∴a4=±8
∵a4与a2，a6的符号相同，
a2+a4=34＞0，
∴a4=8
故选A．
7．若l，m，n是不相同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n B B．l⊥n，m⊥n⇒l∥m
C．l⊥α，l∥β⇒α⊥β D．α⊥β，l⊂α⇒l⊥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】运用面面平行、线面垂直的判定定理和性质定理对选项逐个分析判断．
【解答】解：对于A，α∥β，l⊂α，n⊂β⇒l∥n或者异面；故A错误；
对于B，l⊥n，m⊥n⇒l与m相交、平行或者异面；故B 错误；
对于C，由l∥β得到过直线l的平面与平面β交于直线a，则l∥a，由l⊥α，所以a⊥α，⇒α⊥β；故C正确；
对于D，α⊥β，l⊂α⇒l⊥β或者l∥β或者斜交；故D错误；
故选：C．
8．已知直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0平行，则系数a=（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C． D．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】根据它们的斜率相等，可得﹣=3，解方程求a的值．
【解答】解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，
∴它们的斜率相等，
∴﹣=3
∴a=﹣6
故选：B．
9．有以下几种说法：（l1、l2不重合）
①若直线l1，l2都有斜率且斜率相等，则l1∥l2；
②若直线l1⊥l2，则它们的斜率互为负倒数；
③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；
④只有斜率相等的两条直线才一定平行．
以上说法中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】利用直线的平行于斜率截距的关系判断命题的真假即可．
【解答】解：①若直线l1，l2都有斜率且斜率相等，l1∥l2；所以①正确；
②若直线l1⊥l2，则它们的斜率互为负倒数；显然必须两条直线的斜率存在的前提下是正确的；所以②不正确；
③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；正确；
④只有斜率相等的两条直线才一定平行．不正确；当两条直线的倾斜角是90°时，直线没有斜率，但是平行．
故选：B．
10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形A1BC1中求出此角即可．
【解答】解：如图，连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，
且EF∥A1B、GH∥BC1，
所以异面直线EF与GH所成的角等于60°，
故选B．
11．若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx﹣y﹣9=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．
【分析】判断直线与坐标轴的关系，然后判断直线与圆的位置关系即可．
【解答】解：直线y=kx+1与圆x2+y2+kx﹣y﹣9=0的两个交点恰好关于y轴对称，
可知k=0，
当k=0时，直线y=1与圆x2+y2﹣y﹣9=0，的两个交点（﹣3，0）和（3，0）．
故选：A．
12．从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．﹣1
【考点】圆的切线方程．
【分析】由题意画出图形，求出圆心到直线x﹣y+3=0的距离，再由勾股定理求得切线长的最小值．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，
圆心为C（2，2），半径为1，如图，
直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，要使切线长的最小，
则直线上的点与圆心的距离最小，
由点到直线的距离公式可得，|PC|=．
∴切线长的最小值为．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）
13．若直线m被两平行直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y+3=0所截得的线段长为2，则m的倾斜角可以是 ①⑤ ．
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°．
【考点】两直线的夹角与到角问题．
【分析】利用两平行线间的距离公式求得两两平行线间的距离，设直线m与两平行直线的夹角为θ，根据 sinθ= 求得 θ=30°，由此可得直线m的倾斜角
【解答】解：两平行直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y+3=0之间的距离等于
=，设直线m与两平行直线的夹角为θ，
则有 sinθ==，∴θ=30°．
由于两平行直线的斜率为1，故它们的倾斜角等于45°，故m的倾斜角可以是 45°±30°，故m的倾斜角可以是75°或15°，
故答案为 ①⑤．
14．已知矩形ABCD中AB=3，BC=a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是 a＞6 ．
【考点】直线与平面垂直的性质；向量语言表述线线的垂直、平行关系．
【分析】以A点为原点，AB、AD、AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，根据向量垂直数量积为零建立等量关系，使方程有两个不同的根即可求出a的值．
【解答】解：以A点为原点，AB、AD、AP所在直线为x，y，z轴，如图所示．
设P（0，0，b），D（0，a，0），E（3，x，0）
PE=（3，x，﹣b），DE=（3，x﹣a，0）
∵PE⊥DE，∴PE•DE=0，
∴9+x（x﹣a）=0，即x2﹣ax+9=0．
由题意可知方程有两个不同根，
∵△＞0，即a2﹣4×9＞0，∴a＞6．
故答案为a＞6
15．如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是 ﹣ ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由向量的加法，可得，将其代入中，变形可得=﹣2（||﹣）2﹣，由二次函数的性质，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，O为圆心，即O是AB的中点，则，
则≥﹣，
即的最小值是﹣；
故答案为﹣．
16．若x∈R，有意义且满足x2+y2﹣4x+1=0，则的最大值为 ．
【考点】圆的一般方程；直线与圆的位置关系．
【分析】令则=k，则y=kx，代入x2+y2﹣4x+1=0，可得（1+k2）x2﹣4x+1=0，利用△=16﹣4（1+k2）≥0，可得结论．
【解答】解：令=k，则y=kx，代入x2+y2﹣4x+1=0，
可得（1+k2）x2﹣4x+1=0，△=16﹣4（1+k2）≥0，
∴，
∴的最大值为；
故答案为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．圆x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦；
（1）当时，求AB的长；
（2）当弦AB被点P0平分时，求直线AB的方程．
【考点】直线和圆的方程的应用；直线的倾斜角；直线的一般式方程．
【分析】（1）根据直线的倾斜角求出斜率．因为直线AB过P0（﹣1，2），可表示出直线AB的解析式，利用点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离，根据勾股定理求出弦的一半，乘以2得到弦AB的长；
（2）因为弦AB被点P0平分，先求出OP0的斜率，然后根据垂径定理得到OP0⊥AB，由垂直得到两条直线斜率乘积为﹣1，求出直线AB的斜率，然后写出直线的方程．
【解答】解：（1）直线AB的斜率k=tan=﹣1，
∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x+1），即x+y﹣1=0
∵圆心O（0，0）到直线AB的距离d==
∴弦长|AB|=2=2=．
（2）∵P0为AB的中点，OA=OB=r，
∴OP0⊥AB
又==﹣2，∴kAB=
∴直线AB的方程为y﹣2=（x+1），即x﹣2y+5=0
18．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求c的值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（ I）由正弦定理得，结合二倍角公式及sinA≠0即可得解．
（ II）由（ I）可求sinA，又根据∠B=2∠A，可求cosB，可求sinB，利用三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可得sinC，利用正弦定理即可得解．
【解答】解：（ I）因为a=3，b=2，∠B=2∠A．
所以在△ABC中，由正弦定理得．
所以．
故．
（ II）由（ I）知，
所以．
又因为∠B=2∠A，
所以．
所以．
在△ABC中，．
所以．
19．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
（1）求证：AC⊥BF；
（2）求证：BF⊥平面ACFD．
【考点】直线与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）延长AD，BE，CF相交于一点K，推导出AC⊥BC，从而AC⊥平面BCK，由此能证明BF⊥AC．
（2）推导出△BCK为等边三角形，从而BF⊥CK，再由平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，知AC⊥平面BCEF，从而BF⊥AC，由此能证明BF⊥平面ACFD．
【解答】（本小题满分12分）
证明：（1）延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示，
因为平面BCEF⊥平面ABC，且AC⊥BC，
所以AC⊥平面BCK，
因为BF⊂平面BCK，所以BF⊥AC． …
（2）因为EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，
所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，
则BF⊥CK，
又平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，
所以AC⊥平面BCEF，
因为BF⊂平面BCEF，所以BF⊥AC，
又AC∩CK=C，
所以BF⊥平面ACFD…..
20．已知数列{log2（an﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明++…+＜1．
【考点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；不等式的证明．
【分析】（1）设等差数列{log2（an﹣1）}的公差为d．根据a1和a3的值求得d，进而根据等差数列的通项公式求得数列{log2（an﹣1）}的通项公式，进而求得an．
（2）把（1）中求得的an代入++…+中，进而根据等比数列的求和公式求得++…+=1﹣原式得证．
【解答】（I）解：设等差数列{log2（an﹣1）}的公差为d．
由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．
所以log2（an﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即an=2n+1．
（II）证明：因为==，
所以++…+=+++…+==1﹣＜1，
即得证．
21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB．
（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，NF是△PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N﹣BCM的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，
∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线
∴NE∥PB，
又∵AD∥BC，∴BE∥AD，
∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，
∴BE=BC=AM=2，
∴四边形ABEM是平行四边形，
∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，
∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．
解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，
∵NF是△PAC的中位线，
∴NF∥PA，NF==2，
又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，
如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，
∵AMCG，∴四边形AGCM是平行四边形，
∴AC=MG=3，
又∵ME=3，EC=CG=2，
∴△MEG的高h=，
∴S△BCM===2，
∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM===．
22．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．
（1）求证：对任意的m，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）设l与圆C交于A，B两点，若|AB|=，求l的倾斜角；
（3）求弦AB的中点M的轨迹方程．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（1）由直线系方程求得直线过定点，再由定点在圆内得结论；
（2）由弦长及圆的半径求得弦心距，再由圆心到直线的距离列式求得m的值，则直线l的倾斜角可求；
（3）设出弦AB的中点坐标，由直角三角形中的边长关系求得弦AB的中点M的轨迹．
【解答】（1）证明：由直线l：mx﹣y+1﹣m=0，得m（x﹣1）﹣y+1=0，
由，得．
∴直线l：mx﹣y+1﹣m=0过定点P（1，1），代入圆C：x2+（y﹣1）2=5，
得12+（1﹣1）2=1＜5，∴点P（1，1）在圆C：x2+（y﹣1）2=5内部，
∴对任意的m，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）解：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=1，代入圆x2+（y﹣1）2=5得：y1=﹣1，y2=3，
此时|AB|=4，不满足题意；
∴直线l的斜率存在，由|AB|=，圆的半径为，
得圆心到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离为．
则，解得：．
∴直线l为或．
直线l的倾斜角为60°或120°；
（3）解：当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM⊥MP，
∴|CM|2+|MP|2=|CP|2，
设M（x，y），则x2+（y﹣1）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，
化简得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0（x≠1），
当M与P重合时，x=1，y=1也满足上式；
故弦AB中点的轨迹方程是x2+y2﹣x﹣2y+1=0．