中考数学专题复习练习：圆心角定理答案 4页

例题1、如图，已知：在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，求和的度数.‎ 解：连结OC，‎ 在Rt△AOB中，∠A=35°‎ ‎∴∠B=55°，又∵OC=OB，‎ ‎（例题1图）‎ ‎∴∠COB=180°-2∠B=70°，∴的度数为70°，‎ ‎∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°，‎ ‎∴的度数为20°. ‎ 说明：连结OC，通过求圆心角的度数求解。此题是基本题目，目的是巩固基础知识.‎ ‎（例题2图）‎ 例题2、如图，已知：在⊙O中，=2，试判断∠AOB与∠COD，AB与2CD之间的关系，并说明理由.‎ 解：∠AOB=2∠COD， AB<2CD，理由如下：‎ 如图，在⊙O上取一点C ’，使=.∴∠COD=∠DOC’‎ ‎∵=2，∴，=+=.‎ ‎∴AB=CC’. ∠AOB=∠CO C’=∠COD+∠DOC’=2∠COD 又∵在△CD C’中，CD+DC’> CC’，∴CC’ <2CD，即AB<2CD.‎ 说明：①证明两条线段的不等关系，常常把两条线段放到一个三角形中。‎ ‎②此题进一步理解定理及其推论的应用条件，在“相等”问题中的不等量.由=2可得∠AOB=2∠COD是正确的，但由=2得出AB=2CD，是错误的，培养学生在学习中的迁移能力.‎ 例题3、如图，已知：AB是⊙O直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，求证：=.‎ 分析：要证弧相等，可以证弧对应的弦相等，弧对应的圆心角相等.‎ 证法一：连结AC、OC、OD、BD，‎ ‎∵M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，‎ ‎∴AC= OC、OD=BD 又∵OC=OD，∴AC= BD，∴=.‎ 证法二：连结OC、OD，‎ ‎（例题3图1）‎ ‎∵M、N分别是AO、BO的中点，∴OM=AO，ON=BO，‎ ‎∵OA=OB，∴OM=ON，‎ ‎∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴OC=OD，‎ ‎∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COA=∠DOB，∴=.‎ 证法三、如图，分别延长CM、DN交⊙O于E、F，‎ ‎∵M、N分别是AO、BO的中点，∴OM=AO，ON=BO，‎ ‎∵OA=OB，∴OM=ON，‎ 又∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴CE=DF，∴=‎ ‎∵=，=，∴=.‎ 说明：此题是利用本节定理及推论应用的优秀题目，题目不难，但方法灵活，培养学生灵活解决问题的能力和基本的辅助线的作法.‎ 例题4、如图，C是⊙O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD＝CO，若的度数为40°，求的度数．‎ 分折： 要求的度数，可求它所对的圆心角∠BOE的度数，如图作辅助线，通过等量转换得出结果．‎ 解： 连OE、OD并延长DO交⊙O于F．‎ ‎ ∵的度数为40°，∴∠AOD=40°．‎ ‎ ∵CD＝CO， ∴∠ODE＝∠AOD＝40°．‎ ‎ ∵OD＝OE， ∴∠E＝ ∠ODE＝40°．‎ ‎（例题4图）‎ ‎ ∴∠EOF=∠E+∠ODE=80°，∠BOF= ∠AOD＝40°，‎ ‎ 则∠BOE=∠EOF +∠BOF =80°+40°=120°，∴的度数为120°．‎ 说明：此题充分体现了圆中的等量转换以及圆中角度的灵活变换．‎ 例题5、如图，在⊙中，直径垂直于并交于；直径交于，且，求的度数.‎ 解 连结.‎ 于，且.‎ ‎，，‎ 又.‎ ‎，‎ ‎（例题5图）‎ ‎ ‎ 的度数是.‎ 说明：由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而我们对角是比较熟悉的，所以求弧的度数的问题往往转化为求它所对的圆心角度数的问题.‎ 例题6、已知：如图，、分别是⊙的弦、‎ 的中点，，求证：.‎ 分析：由弦，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又、分别为、的中点，如连结，，则有，，，故易得结论.‎ 证明 连结、，‎ ‎（例题6图）‎ 为圆心，、分别为弦、的中点，‎ ‎.‎ ‎ ‎ 说明：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题.‎ 例题7、如图，已知⊙中，，、分别交、于点，，求证：是等腰三角形.‎ ‎（例题7图）‎ 分析：由，应得：，，因此，只要证明就可以证明是等腰三角形.‎ 说明：在本题中，请注意垂径定理基本图形在证明中的作用 例题8、如图，已知为⊙的弦，从圆上任一点引弦，作的平分线交⊙于点，连接. ‎ 求证：.‎ 证明：连结.‎ ‎∵ ∴ .‎ ‎∵ 是的平分线，‎ ‎∴ .∴∥.‎ ‎∵ ∴ .‎ ‎∴ ∴ ‎ 说明：本题考查在同圆中等弧对等弦及垂径定理的综合应用，解题关键是连结，证.易错点是囿于用全等三角形的办法证明与相等而使思维受阻或证明繁杂.‎