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- 2021-04-12 发布
赣州市四校协作体2017-2018学年第一学期期中考试
高二数学试卷
命题学校：于都五中 命题教师：唐鑫昌 审题教师：钟经贵
考试时间：2017年11月16日 试卷满分：150分
第I卷（选择题 共60分）
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符要求的）
1、如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱台 B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④不是棱柱
2、下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是( )
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．三菱柱
3、某工厂生产的产品,用速度恒定的传送带将产品送入包装车间之前,质检员每隔3分钟从传送带上是特定位置取一件产品进行检测,这种抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．其它抽样方法
4、某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用
分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生人数分别为（ ）
A．15, 5, 25 B．15, 15, 15 C． 10, 5, 30 D．15, 10, 20
5、如图，某简单组合体由一个圆锥和一个圆柱组成，则该组合体三视图的俯视图为( )
6、某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )
A．45 B．50 C．55 D．60
7、右图为某商场一天营业额的扇形统计图，根据统计图你能得到下列错误的信息为( )
A． 家用电器部所得利润最高
B．服装鞋帽和百货日杂共售出29 000元
C．副食的销售额为该商场营业额的10%左右
D．该商场家用电器销售额为全商场营业额的40%
8、一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的表面积为( )
A．96 B．136 C．152 D．192
9、如图，在底面为正方形、侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B．
C． D．
10、已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若m⊥α，mβ，则α⊥β；
②若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β；
③如果mα，nα，m、n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且nα，nβ，则n∥α且n∥β.
其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
11、如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝a，则它的5个面中，互相垂直的面有( )
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
12、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上）
13、已知与之间的一组数据如下表，则与的线性回归方程必过定点________．
14、如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为______cm.
15、一个几何体是由若干个相同的小正方体组成的,其正视图和侧视图如图所示,则这个几何体最多可由_____个这样的小正方体组成.
16、如图是某个正方体的展开图，，是两条侧面对角线，
则在正方体中，对于与的下面四个结论中，正确的是________．
①互相平行； ②异面垂直；
③异面且夹角为； ④相交且夹角为.
三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17、某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如下图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求分数在[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分．
18、某车间20名工人年龄数据如下表：
(1)求这20名工人年龄的众数与极差；
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
(3)求这20名工人年龄的方差．
19、如图1，正方形的边长为4， ∥，把四边形沿
折起，使得⊥底面，是的中点，如图2.
(1)求证：∥平面；
(2)求证：AG⊥平面BCE.
20、如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，又AD∥BC，AD⊥DC，且BC＝PD＝3AD＝3.
(1)画出四棱锥P－ABCD的正视图；
(2)求证：平面PAD⊥平面PCD；
(3)求证: 棱PB上存在一点E，使得AE∥平面PCD，并求的值.
21、在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB∥DC，AB＝AD＝1，CD＝2，AC＝EC＝.
(1)求证：平面EBC⊥平面EBD；
(2)设M为线段EC上一点，且3EM＝EC，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT∥平面BDE，若存在，试指出点T的位置；若不存在，请说明理由．
22、如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2AF，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心.
(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；
(2)求证：PM∥平面AFC.
赣州市四校协作体2017-2018学年第一学期期中考试
高二数学答案
一选择题
CCBDD BACAD CC
二填空题
14.8
15.13
16.④
三解答题
17解：设分数在[70，80)内的频率为x，根据频率分布直方图，有(0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，可得x＝0.3，.............(3分）
所以频率分布直方图如图所示．
...........(6分）
②平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)........................................................(10分）
18. 解：(1)由题表中的数据易知，这20名工人年龄的众数是30，............................(2分）
极差为40－19＝21.............................(4分）
(2)这20名工人年龄的茎叶图如下：
............................(7分）
(3)这20名工人年龄的平均数＝(19×1＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40×1)＝30，............................(9分）
故方差s2＝＝×(121＋12＋3＋0＋4＋12＋100)＝12.6...........(12分）
19.证明：(1)由已知AB∥DC∥EF，又AB＝DC＝EF，G是EF的中点，
所以CDEG，所以四边形DCGE是平行四边形，......................(4分）
所以DE∥CG.因为DE⊄平面AGC，CG⊂平面AGC，
所以DE∥平面AGC.............................(6分）
(2)连接BG，因为BC∥AD，AD⊥底面AEFB，所以BC⊥底面AEFB，又AG⊂底面AEFB，所以BC⊥AG.............................(8分）
因为ABEG，AB＝AE.所以四边形ABGE为菱形，所以AG⊥BE.............................(10分）
又BC∩BE＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以AG⊥平面BCE....(12分）
20．(1)解 四棱锥P－ABCD的正视图如图所示．
........(3分）
(2)证明 因为PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，
所以PD⊥AD.........(5分）
因为AD⊥DC，PD∩CD＝D，PD平面PCD，CD平面PCD，
所以AD⊥平面PCD..........(7分）
因为AD平面PAD，所以平面PAD⊥平面PCD..........(8分）
(3)解 当＝时，AE∥平面PCD.
理由如下：
分别延长CD，BA交于点O，连接PO.
因为AD∥BC，BC＝3AD，
所以＝＝，即＝.
所以＝，
所以AE∥OP.
因为OP平面PCD，AE平面PCD，
所以AE∥平面PCD..........(12分）
21解：(1)证明：因为AD＝1，CD＝2，AC＝，所以AD2＋CD2
＝AC2，所以△ADC为直角三角形，且AD⊥DC.........(2分）
同理，因为ED＝1，CD＝2，EC＝，所以ED2＋CD2＝EC2，所以△EDC为直角三角形，且ED⊥DC..........(4分）
又四边形ADEF是正方形，所以AD⊥DE，又AD∩DC＝D，所以ED⊥平面ABCD.
又BC⊂平面ABCD，所以ED⊥BC.
在梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于点H，
故四边形ABHD是正方形，所以∠ADB＝45°，BD＝.
在Rt△BCH中，BH＝CH＝1，所以BC＝，故BD2＋BC2＝DC2，所以BC⊥BD.
因为BD∩ED＝D，BD⊂平面EBD，ED⊂平面EBD，所以BC⊥平面EBD，
又BC⊂平面EBC，所以平面EBC⊥平面EBD.........(7分）
(2)在线段BC上存在一点T，使得MT∥平面BDE，此时3BT＝BC.
连接MT，在△EBC中，因为＝＝，所以MT∥EB.
又MT⊄平面BDE，EB⊂平面BDE，所以MT∥平面BDE..........(12分）
22．证明 (1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，且CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABEF，.........(2分）
又AF平面ABEF，∴CB⊥AF，
∵AB＝2AF，设AF＝a，则AB＝2a.
又∠BAF＝60°，根据余弦定理得BF＝a，
∴AB2＝AF2＋BF2，从而AF⊥BF，
又CB∩BF＝B，∴AF⊥平面CBF，
又AF平面ADF，∴平面ADF⊥平面CBF..........(6分）
(2)取BF的中点Q，连接PO，PQ，OQ.
∵P，O，Q分别是CB，AB，BF的中点，
∴PO∥AC，PQ∥CF，.........(8分）
又AC平面AFC，CF平面AFC，
从而PO∥平面AFC，PQ∥平面AFC，
又PO∩PQ＝P，AC∩CF＝C，
∴平面POQ∥平面AFC，.........(10分）
∵M为底面△OBF的重心，∴M∈OQ，
从而PM平面POQ，∴PM∥平面AFC..........(12分）