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- 2021-04-12 发布
永春一中高二年期末考数学（理）科试卷 （2018.02）
命题：刘奕忠 审核：陈鹏林 考试时间：120分钟 试卷总分：150分
本试卷分第I卷和第II卷两部分
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．已知在△ABC中，角A是三角形一内角，，则角A＝（ ）
A．30° B．60° C．150° D．30°或150°
2．抛物线的准线方程是，则a的值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
3．已知向量，分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（ ）
A． B． C． D．
4．数列的前n项和为，满足，，则的值为（ ）
A．57 B．58 C．62 D．63
5．短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，
则的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体，
的中点E与AB的中点F的距离为（ ）
A． B． C．a D．
7．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
A． B．3 C．5 D．
8．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM（ ）
A．和AC、MN都垂直 B．垂直于AC，但不垂直于MN
C．垂直于MN，但不垂直于AC D．与AC、MN都不垂直
9．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为，若直线与椭圆交于点M，满足，则离心率是（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线的焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，如满足，则∠AFB的最大值（ ）
A． B． C． D．
11．如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，
AB⊥平面BCD，，则点A到平面MBC的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．已知A、B为椭圆E：的左、右顶点，点P在E上，在△APB中，，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）
13．如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于10，那么点P到另一个焦点F2的距离是 ．
14．若直线l的方向向量，平面的一个法向量，则直线l与平面所成角的正弦值等于 ．
15．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别
在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，
AC＝6，BD＝8，则CD的长为 ．
16．已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为、，则＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.）
17．（本题满分为10分）已知数列的前n项和为，若．
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．
18．（本题满分为12分）如图：在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，点M是线段A1D的中点，点N在线段C1D1上，且，∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠BAD＝90°，AB＝AD＝AA1＝1．
（1）求满足的实数x、y、z的值．
（2）求AC1的长．
19．（本题满分为12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且．
（1）求角B的大小．
（2）若，，求△ABC的面积．
20．（本题满分为12分）已知抛物线与直线相交于A，B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．
21．（本题满分为12分）如图，直角梯形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，，．椭圆F以A、B为焦点且过点D．
（1）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；
（2）若点E满足，是否存在斜率k≠0的直线l与
椭圆F交于MN两点，且，若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由．
22．（本题满分为12分）如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，其中DA⊥AB，AD∥BC，PA＝2AD＝BC＝2，AB＝．
（1）求异面直线PC与AD所成角的大小；
（2）若平面ABCD内有一经过点C的曲线E，该曲线上的任一动点Q都满足PQ与AD所成角的大小恰等于PC与AD所成角试判断曲线E的形状并说明理由；
（3）在平面ABCD内，设点Q是（2）题中的曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的一段曲线CG上的动点，其中G为曲线E和DC的交点以B为圆心，BQ为半径r
的圆分别与梯形的边AB、BC交于M、N两点当Q点在曲线段CG上运动时，试求圆半径r的范围及的范围．
永春一中高二年期末考数学（理）科试卷答案 （2018.02）
1．D 2．C 3．D 4．A 5．B 6．B 7．A
8．A 9．B 10．B 11．A 12．C
13．14 14． 15． 16．
17．解：（1）当时，------1分
当时，-------4分
化简，得：检验，时，代入上式符合．
则；-------5分
（2）解：由题意知：
， -----------7分
，--------9分
解得：． --------10分
18．解：
所以分
分
19．解：化为：，-----2分
由正弦定理，得：，
又三角形中，，
化简，得：即：，----------5分
又：中，，得：；--------6分
把化为：，
由三角形内角和定理，得：，---7分
根据正弦定理，得：，又，------8分
结合余弦定理：，即为，
解得：，-------10分
由面积公式：，得：．------12分
20．解：证明：由方程
消去x后，整理得
．
设、，由韦达定理．----2分
、B在抛物线上，
． ------4分
，
．-------6分
设直线与x轴交于N，又显然，
令，则，即．------7分
，------9分
．
，
解得．------12分
21．解：（1）以AB中点为原点所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图
则．
设椭圆F的方程为，
由 得，
所求椭圆F方程．
（2）由得．
显然时不合条件，设l方程代入，得．
l与椭圆F有两不同公共点的充要条件是，即．
设，中点为等价于，
．
，得，得，得．
代入得得．
又，故k取值范围为．
22．解：（1）如图，以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系．
于是有．
则有，又．
则异面直线PC与AD所成角满足，
所以异面直线PC与AD所成角的大小为．
（2）设点，点、点、点，
则，
则，
化简整理得到，
则曲线E是平面ABCD内的双曲线．
（3）在如图所示的xOy的坐标系中，因为、、，设则有，故DC的方程为，
代入双曲线E：的方程可得，，其中．
因为直线DC与双曲线E交于点C，故进而可得，即．
故双曲线E在直角梯形ABCD内部包括边界的区域满足．
又设为双曲线CG上的动点，．所以，
因为，所以当时，；
当时，．
而要使圆B与AB、BC都有交点，则．
故满足题意的圆的半径取值范围是．
因为，所以体积为故问题可以转化为研究的面积又因为为直角，所以必为等腰直角三角形．
由前述，设，则，
故其面积，所以．
于是，．当Q点运动到与点C重合时，体积取得最大值；当Q点运动到横坐标时，
即长度最小时，体积取得最小值．