2017-2018学年四川省雅安中学高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版） 8页

雅安中学2017—2018学年下期期中考试高二年级 数学试题（理科）‎ ‎（本试卷满分150分，答题时间120分钟）‎ 注意事项：‎ ‎ 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上,并检查条形码粘贴是否正确.‎ ‎ 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ ‎3.考试结束后，将答题卡收回.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2. 复数 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎3. 已知向量，，且＋与互相垂直，则值是 A．1‎ B． ‎ C．‎ D． ‎ ‎4.在等比数列中， 是函数的极值点，则 A．‎ B． -3‎ C．3‎ D．4 ‎ ‎5.正方体中,与平面所成角的正弦值为 A．‎ B．‎ C. ‎ D．‎ ‎6.若函数在区间单调递增，则的取值范围是 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎7.若函数在处取极值,则 A．1‎ B．2‎ C．3‎ D．-3‎ ‎8. 棱长为1的正方体中，为AA1中点，则点B1到平面BCE的距离是 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． 1‎ ‎9.已知函数，下列结论错误的是 A.函数一定存在极大值和极小值 B.若函数在上是增函数，则 C.函数的值域是 D.函数一定存在三个零点 ‎10. 如图， 是的直径， 垂直于所在平面， 是圆周上不同于两点的一点，且， ，则二面角的大小为 A．‎ C．‎ B．‎ D．‎ ‎11. 直线的方程为Ax＋By＝0，若从1,2,3,6,7,8这六个数字中每次取两个不同的数作为A、B的值，则表示不同直线的条数是 A．36条 ‎ B．30条 ‎ C．26条 ‎ D．15条 ‎12. 定义在上的函数与其导函数满足，则下列不等式一定成立的是 A．‎ B.‎ C． ‎ D．‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.长方体中， ， ，点、、 分别是、‎ ‎、的中点，则异面直线与所成的角为 .‎ ‎14.用红、黄、蓝三种不同的颜色涂方格，使得每行没有相同颜色且每列也没有相同颜色的涂法种数是_______（用数字作答）.‎ ‎15.函数的单调递增区间是_________.‎ ‎16.若函数在其定义域内的一个区间上不是单调函数，则实数的取值范围是__________．‎ 三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(10分)若复数满足，‎ ‎（1）求复数;（2）求 ‎ ‎18．(12分) 已知函数的图像关于原点对称,且过点.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)函数的单调区间;‎ ‎(3)求函数在上的最小值.‎ ‎19．(12分) 已知矩形，，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角是直二面角.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20．(12分).在四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，是线段的中点，底面，已知.‎ ‎（1）求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）试在平面上找一点，使得平面.‎ ‎21．(12分)已知函数在处的切线与直线平行．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.‎ ‎22．（12分）设函数．‎ ‎（1）证明：当时，；‎ ‎（2）设当时，，求实数的取值范围 雅安中学2017—2018学年下期期中考试高二年级 数学试题参考答案（理科）‎ 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D B A D C A D C C A 二、填空题 ‎13、； 14、12； 15、； 16、.‎ 三、解答题 ‎17、（1）； （2）.‎ ‎18、（1）；‎ ‎（2）在上递增，在上递减；‎ ‎（3）最小值.‎ ‎19、（1）∵，是的中点，‎ ‎∴，是等腰直角三角形，‎ ‎∴，即，‎ 又∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面，∴； ‎ ‎（2）如图，以，为轴、轴，过点且垂直于平面的射线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，‎ 易知平面的一个法向量为；‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，，求得，‎ ‎∴，‎ ‎∴二面角的余弦值为. ‎ ‎20、（1）因为底面，过作，则，以、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，‎ 求得平面的法向量为，而，‎ 与平面所成角的正弦值为 ‎（2）设M（x，y，z），由平面知，‎ ‎，,,‎ 又共面，‎ 存在唯一实数使得，‎ 而，，解得，‎ 符合题意.‎ ‎ ‎ ‎21、（1）‎ ‎∵函数在处的切线与直线平行 ‎∴，解得： ；‎ ‎（2）由（1）得，∴，即 设，‎ 则 列表得：‎ ‎∴当时， 的极小值为，‎ 又 ‎∵方程在上恰有两个不相等的实数根，‎ ‎∴,解得： ；‎ ‎22、（1）证明：注意到时，，‎ 于是有，即.‎ 令，．，令，得．‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ 可见在上单调递减，在上单调递增，所以当时，‎ ‎，故当时，，即，从而，且当且仅当时等号成立．‎ ‎（2）解：由时，恒成立，故.‎ 设，，‎ 则．‎ 设，，‎ 则.‎ 当，即时，，时，，，故.‎ 所以单调递增，，故单调递增，恒成立，符合题意.‎ 当，即时，存在，时，，单调递减， ，与恒成立矛盾.‎ 综合上述得实数的取值范围是．‎