【百强校】四川省成都市成都外国语学校2018届高三下学期3月月考数学（文）试题（含答案解析） 18页

四川省成都外国语学校2018届高三下学期3月月考数学（文）试题 一：选择题。‎ ‎1.设全集2，3，4，，集合3，，集合，则 ‎ A. B. C. D. 3，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 由题意，因为全集，集合，所以，‎ ‎ 又因为集合，所以，故选B．‎ ‎2.i为虚数单位，则的虚部为 ‎ A. 2 B. C. 2i D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简已知复数，由复数的基本概念易得虚部．‎ ‎【详解】化简可得 复数的虚部为 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算法则，涉及复数的基本概念．需要注意的虚部为，不要误写为．‎ ‎3.抛物线的焦点到准线的距离为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 抛物线方程化为标准方程，利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为，得到结果．‎ ‎【详解】将抛物线整理为 由标准方程可得 根据抛物线性质可知，焦点到准线的距离为 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，判断焦点到准线的距离为是解题的关键．‎ ‎4.数列满足是数列为等比数列的 ( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由反例得充分性不成立，再根据等比数列性质证必要性成立.‎ 详解：因为满足，所以充分性不成立 若数列为等比数列，则，即必要性成立.‎ 选B.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎5.如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是 ‎ A. ？ B. ？ C. ？ D. ？‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】执行循环得 结束循环，输出，所以判断框内应填入的条件是，选B.‎ 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎6.设函数的图象为C，下面结论中正确的是 ‎ A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是增函数 C. 图象C可由函数的图象向右平移个单位得到 D. 图象C关于点对称 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性以及的图象变换规律，依次排除，得到正确结果．‎ ‎【详解】函数的最小正周期为，可得错误；‎ 在区间上，，根据图像可知，在不单调，可得错误；‎ 把函数的图象向右平移个单位，可得的图象，与不符，可得错误；‎ 令，可得，图象关于点对称，可得正确．‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】判断的基本性质，往往采用整体代入的方法，对应的图像，来判断结论是否正确；图像左右平移时，需要注意左右平移的单位是针对的变化．‎ ‎7.已知为三条不同直线,为三个不同平面,则下列判断正确的是( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线与直线平行与垂直的判定定理一一进行判断可得答案.‎ ‎【详解】解： A项,若,则,则与可能平行,可能相交,也可能异面,故A项错误；‎ B项,若 ，则直线可能在平面内,也可能,则直线和直线可能异面、相交或 平行,故B项错误:‎ C项,若.则直线平行于两平面的交线,即,故C项正确；‎ D项，, 则可能平行于,此时若,不能说明,故D项错误.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间中直线与平面间的位置关系及直线与直线平行与垂直的判定，牢记各定理并灵活运用是解题的关键.‎ ‎8.已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为2时，的最大值是 ‎ A. 5 B. 0 C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为2a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．‎ 作出可行域如图,‎ 由图可得，‎ 目标函数可化为∴当过A点时，z最大，z=1+2×2=5，故选A．‎ 考点：简单的线性规划 ‎9.函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 观察图象知，f(x)为奇函数，排除D；又函数在x＝0处有定义，排除B；取x＝，得f＝0，A不适合，故选C.‎ ‎10.直线：、：与： 四个交点把分成的四条弧长相等，则 ‎ A. 0或1 B. 0或 C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：直线l1：y=x与l2:y=x+2之间的距离为，⊙C：的圆心为（m，m），半径r2=m2+m2，由题意可得解得 m=0或m=-1，故选B.‎ 考点：1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离.‎ ‎11.设O是的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知，则的范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将进行线性拆解，可知需要求出，与的夹角的余弦值；通过为外接圆圆心，利用外接圆表示出两个需求的余弦值，从而将转化为关于的二次函数，通过求解二次函数值域得到最终结果．‎ ‎【详解】是的三边中垂线的交点，故是三角形外接圆的圆心，如图所示：‎ 连接并延长交外接圆于，是的直径，并连接，；‎ 则，，；‎ ‎；‎ ‎ ‎ 设；‎ 当时，取最小值，又 ‎ 的范围是 本题正确选项：‎ ‎【点睛】处理向量数量积范围求解问题主要有两个思路：1.将所求向量进行线性拆解，变成已知向量的数量积问题；2.建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解．本题易错点，在于最后利用二次函数求值域时，忽略了的取值范围，导致求解错误．‎ ‎12.已知函数的导数为，且对恒成立，则下列不等式一定成立的是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过构造出函数，可求得在上的单调性；再通过与的大小关系，得到最终结果．‎ ‎【详解】构造函数，可得 ‎，‎ 对恒成立 可得：函数在上单调递增 ‎，即 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数判断函数单调性问题，难点在于构造函数 ‎．构造函数是导数考查的重难点知识，要注意选项中函数形式所给的提示，同时要利用好的导函数与原函数一致的特点．‎ 二：填空题。‎ ‎13.设函数的定义域为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 要使函数有意义需有，解得，所以函数的定义域为.‎ ‎14.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原，得到正方体被截去四面体后的直观图，再利用体积公式求解出两个部分的体积，最终得到比值．‎ ‎【详解】由三视图得，原几何体为在正方体中，截去四面体，直观图如图所示：‎ 设正方体棱长为，则 故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 本题正确结果为：‎ 本题考查了几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还有几何体，利用体积公式解答．‎ ‎【点睛】本题考查三视图与几何体的体积问题，关键是正确还原几何体；再利用体积公式求解各部分体积；需要注意的是，对于不规则几何体的体积，经常利用割补进行求解．‎ ‎15.过双曲线的右顶点A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、若，则双曲线的离心率是______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据求得a和b的关系，根据c2﹣a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得．‎ ‎【详解】直线l：y=﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（，），‎ l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，），‎ ‎∵A（a，0），‎ ‎∴=（﹣，），=（，﹣），‎ ‎∵，‎ ‎∴﹣=，‎ ‎∴b=2a，‎ ‎∴c2﹣a2=4a2，‎ ‎∴e2==5，∴e=，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．‎ ‎16.洛萨科拉茨 Collatz，是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半即；如果n是奇数，则将它乘3加即，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，对科拉茨 猜想，目前谁也不能证明，更不能否定现在请你研究：如果对正整数首项按照上述规则施行变换注：1可以多次出现后的第八项为1，则n的所有可能的取值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从第八项为出发，按照规则，逆向逐项推导，即可求出的所有可能的取值．‎ ‎【详解】如果正整数按照上述规则施行变换后的第项为，‎ 则变换中的第项一定是；变换中的第项一定是；‎ 变换中的第项可能是，也可能是；‎ 当第项是时，变换中的第项是；当第项是时，变换中的第项是；‎ 当第项是时，变换中的第项是；当第项是时，变换中的第项是或 当第项是时，变换中的第项是或；当第项是时，变换中的第项是；当第项是时，变换中的第项是；‎ 当第项是时，变换中的第项是；当第项是时，变换中的第项是；当第项是时，变换中的第项是或；当第项是时，变换中的第项是或 则所有可能的取值为，，，，，‎ 本题正确结果为：‎ ‎【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，充分考查了学生的推理能力；关键是利用变换规则，进行逆向验证，在验证中注意多个可能取值的影响．‎ 三：解答题。‎ ‎17.已知的面积为S，且．‎ 求的值；‎ 若，，求的面积S．‎ ‎【答案】(1) (2)3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据向量数量积的定义结合三角形的面积公式建立方程求出，结合正切的倍角公式进行计算即可；（2）利用两角和差的正弦公式求出的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算即可．‎ ‎【详解】（1）设的角所对应的边分别为 ‎ ‎ ‎，即 ‎（2）‎ ‎ ，‎ 由正弦定理知：得 三角形的面积 ‎【点睛】本题主要考查正弦定理、两角和差公式、二倍角公式以及三角形面积的计算，属于基础变换问题，考查学生的计算能力．求解时要注意在求解的同角三角函数值时，的范围对三角函数值符号的影响．‎ ‎18.某小组共有五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2）‎ 如下表所示：‎ ‎ ‎ A ‎ B ‎ C ‎ D ‎ E ‎ 身高 ‎ ‎1.69 ‎ ‎1.73 ‎ ‎1.75 ‎ ‎1.79 ‎ ‎1.82 ‎ 体重指标 ‎ ‎19.2 ‎ ‎25.1 ‎ ‎18.5 ‎ ‎23.3 ‎ ‎20.9 ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)从该小组身高低于的同学中任选人，求选到的人身高都在以下的概率 ‎(Ⅱ)从该小组同学中任选人，求选到的人的身高都在以上且体重指标都在中的概率.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：列举法求试验的基本事件个数．（1）从身高低于1．80的同学中任选2人，共有6种不同的结果，而两人身高在1．78以下的有3种不同的结果，然后由古典概型的概率计算求解即可；（2）从该小组同学中任选2人共有10种不同的结果，‎ 选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9）中的事件有有3种结果，由古典概型的概率计算得其概率为．‎ 试题解析：（1）从身高低于1．80的同学中任选2人，其一切可能的结果的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），‎ ‎（B，C），（B，D），（C，D），共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 选到的2人身高都在1．78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C），共3个，因此选到的2人身高都在1．78以下的概率为；‎ 从该小组同学中任选2人其一切可能的结果的基本事件：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的 选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9）中的事件有：（C，D），（C，E），（D，E）共3个．‎ 因此选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9）中的概率为．‎ 考点：古典概型的概率计算．‎ ‎19.如图，四棱锥中，底面，，，.‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析 (2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由于可以证明要证明只需证明从而中的两条相交直线，（2）由（1）知为等腰三角形，面积容易求出，考虑以BCD为底面．F为顶点 的三棱锥，以及以BCD为底面，P为顶点的三棱锥面积容易求出，所以 试题解析：（1）证明：因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形,‎ 又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC． 因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD．‎ 从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直, 所以BD⊥平面PAC．‎ ‎（2）解：三棱锥PBCD的底面BCD的面积S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=×2×2×sin=．‎ 由PA⊥底面ABCD,得=·S△BCD·PA=××2=2．‎ 由PF=7FC,得三棱锥FBCD的高为PA,‎ 故=·S△BCD·PA=×××2=,‎ 所以=-=2-=．‎ 考点：1、线面垂直的判定定理；2、空间几何体的体积公式．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直的判定定理及三棱锥的体积公式，属于中档题．求三棱锥的体积公式的方法有：间接法，用已知几何体体积减去部分体积即得所求几何体体积．直接法，直接求该几何体的一条高与所对应的底面积，这里求几何体的高可通过几何法直接做出高并计算，也可以在空间直角坐标系中用点到面的距离公式来解决．‎ ‎20.已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的面积 ‎（Ⅱ） 当时，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求的取值范围.‎ 试题解析：（Ⅰ）设，则由题意知.‎ 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.‎ 又，因此直线的方程为.‎ 将代入得.‎ 解得或，所以.‎ 因此的面积.‎ ‎（Ⅱ）将直线的方程代入得 ‎.‎ 由得，故 由题设，直线的方程为，故同理可得.‎ 由得，即.‎ 设，则是的零点，，所以在 单调递增.又，因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.‎ ‎【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系 ‎【名师点睛】对于直线与椭圆的位置关系问题，通常将直线方程与椭圆方程联立进行求解，注意计算的准确性.‎ 请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎21.设函数 若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a、b的值；‎ 当时，若存在，，使成立，求实数a的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，且，可得，，联立解得a，b．‎ 当时，，，可得，，存在，，使成立，，对a分类讨论解出即可．‎ ‎【详解】，且，‎ 函数的图象在点处的切线方程为，‎ ‎，，‎ 联立解得．‎ 当时，，，‎ ‎，，．‎ ‎，‎ ‎，‎ 存在，，使成立 ‎，，‎ 当时，，在上为减函数，‎ 则，解得．‎ 当时，由在上的值域为 当即时，在上恒成立，‎ 因此在上为增函数，‎ ‎，不合题意，舍去．‎ 当时，即时，由的单调性和值域可知：‎ 存在唯一，使得，‎ 且满足当，，为减函数；‎ 当时，，为增函数．‎ ‎，‎ ‎，与矛盾．‎ 综上可得：a的最小值为：．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为：‎ 当极点到直线的距离为时，求直线的直角坐标方程；‎ 若直线与曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围 ‎【答案】（1） (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线的方程化为直角坐标方程，由点到直线的距离公式求出值，可得直线的方程；（2）曲线中消去参数，得出普通方程，并根据三角函数的有界性求出的取值范围，将直线与曲线有两个不同的交点，转化为直线与二次函数有两个不同的交点，通过二次函数图象可得出的取值范围．‎ ‎【详解】（1）直线的方程为：‎ 则直角坐标方程为 极点到直线的距离为：；解得 故直线的直角坐标方程为 ‎（2）曲线的普通方程为 直线的普通方程为 联立曲线与直线的方程，消去可得 即与在上有两个不同的交点 最大值为；且；‎ 实数的范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标方程与普通方程的互化，以及函数与方程思想的应用．求解直线与曲线交点类问题时，通常转化为与函数的交点，通过函数图像来进行求解；易错点为：参数方程化普通方程时，忽略自变量的取值范围．‎ ‎23.已知，，设函数，‎ ‎（I）若，求不等式的解集；‎ ‎（II）若函数的最小值为，证明：（）‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）代入a,b,c的值，结合x取不同范围，去掉绝对值，解不等式，即可．（II）计算的最小值，得到a,b,c的等式，利用基本不等式，证明不等式，即可．‎ ‎【详解】（I），不等式，即 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 解集为 ‎（II） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】考查了含绝对值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的证明，难度偏难．‎