2019-2020学年黑龙江省哈尔滨师范大学附中高一上学期期末数学试题（解析版） 16页

‎2019-2020学年黑龙江省哈尔滨师范大学附中高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设集合,则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别求出集合和集合,再求交集即可.‎ ‎【详解】‎ 解: ‎ ‎,‎ 所以 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算,是基础题.‎ ‎2．若,,,,,,上述函数是幂函数的个数是（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【答案】C ‎【解析】由幂函数的定义直接进行判断所给的函数中是幂函数的是和.‎ ‎【详解】‎ 解: 形如的函数是幂函数,‎ 幂函数的系数为,指数是常数,‎ 所以,,,,‎ ‎,,七个函数中,‎ 是幂函数的是和.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的定义,解题时要熟练掌握幂函数的概念.‎ ‎3．若第二象限角,则在第几象限（ ）‎ A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 ‎【答案】A ‎【解析】先求出在第二象限时的表示,再求出的表示,最后讨论偶数和奇数的情况,即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 解:由题可知,第二象限角 所以,‎ 所以,‎ 当为偶数时,在第一象限；‎ 当为奇数时,在第三象限.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题主要考查任意角所在的象限,是基础题.‎ ‎4．已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据指数函数与对数函数单调性得到a，b，c的取值范围，即得到它们的大小关系．‎ ‎【详解】‎ 解：由对数和指数的性质可知， ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．‎ ‎5．函数，，的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据图像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊点求出，化简即得所求.‎ ‎【详解】‎ 由图像知，，，解得，‎ 因为函数过点，所以，‎ ‎，即，‎ 解得，因为，所以，‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.‎ ‎6．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，‎ 且，故选D.‎ ‎【考点】三角恒等变换 ‎【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：‎ ‎（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．‎ ‎（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．‎ ‎7．已知偶函数在区间上单调递增,则满足的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由为偶函数且在上单调递增,便可由得,解该绝对值不等式便可得出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：因为为偶函数,‎ 所以由得;‎ 又在上单调递增;‎ 解得；‎ 的取值范围是.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性解不等式,是基础题.‎ ‎8．如果函数的图象关于直线对称,那么取最小值时的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三角函数的对称性可得,整理得,结合取最小值时,即可得出的值.‎ ‎【详解】‎ 解: 函数的图象关于直线对称,‎ 所以,‎ 即,‎ 取最小值时.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的对称性是解决本题的关键.‎ ‎9．已知锐角的终边上一点，则锐角（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：.‎ ‎【考点】三角函数概念.‎ ‎10．已知函数,则函数最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据定义域求出的取值范围,再用基本不等式求最小值,最后验证取等的情况.‎ ‎【详解】‎ 解: ,‎ ‎,‎ ‎,‎ 当且仅当,即时等号成立.‎ 所以最小值为.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式求函数的极小值,要注意”一正二定三相等”.‎ ‎11．对实数,,定义运算“”:,设函数.若函数的图象与轴恰有两个公共点,则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由,解得；由,解得或.分别画出函数与的图象,由图象即可以得到.‎ ‎【详解】‎ 解：由,化为,解得；‎ 由,解得或.‎ 画出函数与的图象,‎ 由图象可以得到:当且仅当或,‎ 即或时,两个函数与的图象由两个交点,‎ 即函数的图象与轴恰有两个公共点.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了新定义、通过画出函数的图象的交点求出函数零点的个数,考查了数形结合的思想方法属于中档题.‎ ‎12．如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则a 的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据条件将问题转化为方程在上有解的问题即可得解．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 函数为“可拆分函数”，‎ 存在实数，使成立，‎ 方程在上有解，‎ 即在上有解，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 的取值范围为：．‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．‎ 二、填空题 ‎13．化简：________．‎ ‎【答案】1 ；‎ ‎【解析】利用诱导公式和同角三角函数商的关系化简求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解: ‎ 故答案为: 1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式,和同角三角函数商的关系,考查运算能力.‎ ‎14．已知关于的二次方程，若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】试题分析：设f（x）=x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（﹣1，0）和（1，2）内，由根与系数的关系得出不等式，解不等式组求得m的范围．‎ 解：设f（x）=x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在 区间（﹣1，0）和（1，2）内，则，解得﹣＜m＜﹣，‎ 故m的范围是，‎ 故答案为．‎ ‎【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．‎ ‎15． 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得12000=2000，=6，解得，所以，填 ‎【点睛】‎ 本题易错在没有注意单位，函数关系式中速度v的单位是(米/秒)，问题当中的单位是火箭的最大速度可达12千米/秒，所以需要统一单位为(米/秒)，再利用对数式与指数式互化．‎ ‎16．定义:关于的两个不等式和的解集分别为和,则称这两个不等式为对偶不等式,如果不等式与不等式为对偶不等式,且,则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据对偶不等式的定义,以及不等式的解集和方程之间的关系,即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 解:设不等式的解集为,‎ 由题意不等式的解集为,‎ 即是方程的两根,‎ 是方程的两根.‎ 由一元二次方程与不等式的关系可知 ,‎ 整理可得:,即.‎ 又因为 所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题以新定义为载体,考查了一元二次方程与一元二次不等式的相互转化关系方程的根与系数的关系是一道综合性比较好的试题.‎ 三、解答题 ‎17．已知，求 ‎（1）的值；‎ ‎（2）的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）∵tan=2, ∴；‎ 所以=；‎ ‎（2）由（1），tanα=－, 所以==．‎ ‎18．设函数的最小正周期为．‎ ‎（Ⅰ）求的值．‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到，求的单调增区间．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎(1)f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋sin2ωx＋1＋cos2ωx ‎＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝sin＋2，‎ 依题意得，故ω的值为.‎ ‎(2)依题意得g(x)＝sin＋2＝sin＋2，‎ 由2kπ－≤3x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 故y＝g(x)的单调增区间为(k∈Z)‎ ‎19．在中,角的对边分别为,已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若三角形的外接圆半径为,求最大值.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】（1）由三角形的内角和公式及二倍角公式整理可得,解方程可求,进而求角.‎ ‎（2）由（1）得,代入化简可得,利用正弦函数的性质可求出的最大值,最后利用正弦定理求得最大值.‎ ‎【详解】‎ 解: （1）为三角形的内角.‎ ‎,‎ ‎,‎ 即,,‎ ‎, ‎ ‎（2）由（1）得,‎ 又因为三角形的外接圆半径为,‎ 所以,‎ 当,时即,取得最大值.‎ ‎ 此时,‎ 所以的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用二倍角公式对三角函数式进行化简、求值还考查了辅助角公式的应用及正弦函数的性质、正弦定理的应用,属于基础知识的简单综合运用,属于中档试题.‎ ‎20．在中，分别是角的对边，且．‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式和诱导公式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式进行求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）由 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又所以. ‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理有 ，解得，所以 点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的 ‎.‎ ‎21．已知函数,在区间上的值域为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】（1）先求函数的开口和对称轴,根据对称轴结合” 函数在区间上的值域为”分情况讨论, 即可得的值.（2）将（1）中的代入函数,结合,分离常数,设新函数,利用二次函数的性质求出,从而从求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解: （1）已知函数,‎ 开口向上,对称轴,‎ 有因为在区间上的值域为.‎ ‎①当时, ,解得,‎ ‎②当时, ,解得不符舍去,‎ ‎③当,,解得不符舍去,‎ 综上所述: .‎ ‎（2）由（1）得,所以,‎ 不等式,即.‎ ‎,‎ 设,‎ ‎,‎ 令,‎ 则,‎ ‎,,‎ 则,即,‎ 所以,‎ 所以 ‎,‎ 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用一元二次函数的定义域和值域求参数,考查换元法求不等式的最值,是一般的综合题.‎ ‎22．已知,定义:表示不超过的最大整数,例如:,.‎ ‎（1）若,写出实数的取值范围；‎ ‎（2）若,且,求实数的取值范围；‎ ‎（3）设,,若对于任意的,都有,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2）；（3）‎ ‎【解析】（1）由表示不超过的最大整数,可得的取值范围为；‎ ‎（2）由指数函数的单调性,可得,则,即有,考虑,解不等式即可得到所求范围；‎ ‎（3）化简得在单调递减,在单调递增.求得的最值,可得所以在恒成立,讨论当时,当时,由新定义和二次函数的最值求法,即可得到所求的范围.‎ ‎【详解】‎ 解:（1）若,‎ 则表示不超过的最大整数,‎ 所以,‎ 故的取值范围为；‎ ‎（2）若,可得,‎ ‎,‎ 则,,‎ ‎,‎ 当时,,不符合.‎ 当时,,不符合.‎ 则时,,不符合.‎ 当时,‎ 所以,解得.‎ 所以实数的取值范围为；‎ ‎（3）‎ 在单调递减,在单调递增.‎ 可得,,‎ 则,‎ 所以在恒成立,‎ 即,整理得在恒成立,‎ 当时, 在恒成立,即,‎ 当时, 在恒成立,即,‎ 综上可得: 实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查定义新运算中函数参数的求法,属于创新题型,解决此类型题要注重对新运算的理解.‎