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- 2021-04-12 发布
宜宾市南溪区第二中学校高2015级10月
阶段性测试理科数学学科试题
出题人：毛艺 审题人：樊成华
考试时间120分钟，满分150分。
一、选择题（本题共12小题，共60分）
1、设集合，．若，则( )
A． B． C． D．
2、复数满足（其中为虚数单位），则复数( )
A. B. 2 C. D.
3、的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
4、命题若，则；命题，使得，则下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
5、要得到函数的图像，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
6、将这名同学从左至右排成一排，则与相邻且与之间恰好有一名同学的排法有( )
A. B. C. D.
7、定义在上的函数满足时，，则的值为( )
A.-2 B.0 C.2 D.8
8、直线与曲线相切于点，则的值为( )
A. B. C. D.
9、若是函数的极值点，则的极小值为( )
A. B. C. D.1
10、函数的图象大致是( )
A．B.C. D.
11、已知函数，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
12、已知不等式对一切都成立，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13、若，则的值为 .
14、已知，
则 .
15、如图所示的边长为的正方形区域内任投一点，
则该点落入阴影部分的概率为 .
16、对于三次函数，定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：
①任意三次函数都关于点对称：
②存在三次函数有实数解，点为函数的对称中心；
③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；
④若函数，
则
其中正确命题的序号为 .（把所有正确命题的序号都填上）．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17、（12分）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
18、（12分）已知函数
（1）若函数的图象在处的切线斜率为l，求实数的值；
（2）求函数的单调区间.
19、 （12分）在中，内角所对的边分别为.已知 ，.
（I）求的值；
（II）求的值.
20、（12分）某网络营销部门为了统计某市网友2015年11月11日在某网店的网购情况，随机抽查了该市100名网友的网购金额情况，得到如下频率分布直方图.
（1）估计直方图中网购金额的中位数；
（2）若规定网购金额超过15千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过15千元的顾客定义为“非网购达人”；若以该网店的频率估计全市“非网购达人”和“网购达人”的概率，从全市任意选取3人，则3人中“非网购达人”与“网购达人”的人数之差的绝对值为，求的分布列与数学期望.
21、（12分）已知函数
（Ⅰ）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；
（Ⅱ）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负．
选做题（从22、23题中任选一道）
22、 （10分）已知曲线的极坐标方程为，在以极点为直角坐标原点，极轴为轴的正半轴建立的平面直角坐标系中，直线的参数方程为
（为参数）．
（Ⅰ）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系中，设曲线经过伸缩变换得到曲线，若为曲线上任意一点，求点到直线的最小距离．
23、（10分）设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
高三上期10月月考理科答案
一、单项选择
1、【答案】C 2、【答案】D
3、【答案】A 【解析】∵的展开式的通项公式为，∴的展开式中的系数为，故选A.
4、【答案】C【解析】若，则，在时不成立，故是假命题； ，使得，故命题为真命题，故命题， ， 是假命题；命题是真命题，故选C.
5、【答案】C
6、【答案】B【解析】当A，C之间为B时，看成一个整体进行排列，共有种，
当A，C之间不是B时，先在A，C之间插入D，E中的任意一个，然后B在A之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个进行排列，共有种，所以共有20种不同的排法.
7、【答案】A【解析】 由已知可得的周期，故选A.
8、【答案】B【解析】由切点，则，对曲线方程求导即，则，解得．可得．故本题答案选．
9、【答案】A【解析】由题可得
因为，所以，，故
令，解得或，所以在单调递增，在单调递减所以极小值，故选A。
10、 【答案】D【解析】解：当时函数有定义，排除AB选项，当时， ，其中均为正数，而先负后正，即函数的函数值先负后正，本题选择D
11、【答案】C【解析】因为 ，所以 ，即函数 为奇函数，又 为 上增函数，所以 为 上增函数，因此 ，选C.
12、【答案】C【解析】令，则
若a≤0，则y′＞0恒成立，x＞﹣1时函数递增，无最值．
若a＞0，由y′=0得：x=，当﹣1＜x＜时，y′＞0，函数递增；
当x＞时，y′＜0，函数递减．则x=处取得极大值，也为最大值﹣lna+a﹣b﹣2，∴﹣lna+a﹣b﹣2≤0，∴b≥﹣lna+a﹣2，∴≥1﹣﹣，
令t=1﹣﹣，∴t′=，∴（0，e﹣1）上，t′＜0，（e﹣1，+∞）上，t′＞0，
∴a=e﹣1，tmin=1﹣e．∴的最小值为1﹣e．
二、填空题
13、【答案】1【解析】
14、【答案】【解析】∵，∴，又，∴，∴=
15、【答案】 【解析】由题意阴影部分的面积为，所以所求概率为．
16、【答案】①②④【解析】为函数的拐点，及是对称中心，所以①正确；任意三次函数都有对称中心且拐点是对称中心，存在三次函数有实数解，点为函数
的对称中心；并且对称中心只有1个，所以②正确③错误；的对称中心是，所以④成立
三、解答题
17、【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值为，最小值为
试题解析：（1）由题意可得
∴的最小正周期为；
（2）∵，∴，∴，
∴在区间上的最大值为，最小值为-2.
18、【答案】解：（1）
由已知，解得．
（2）函数的定义域为．
当时, ，的单调递增区间为；
当时．
当变化时，的变化情况如下：
由上表可知，函数的单调递减区间是；单调递增区间是．
19、【答案】(1)(2)
试题分析：（Ⅰ）由，及，得.
由，及余弦定理，得.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.
由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是，
，故
.
20、【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1）由初步判定中位数在第二组，设中位数为
，则解得，则中位数是；
（2）依题意，从全市任取的三人中“网购达人”的人数服从，所以可能取值为，且,
所以的分布列为
数学期望.
21、【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ），极值都为正数．
试题解析：（Ⅰ）由，得．即在上恒成立．
设函数，．则．设．
则．易知当时，．∴在上单调递增，且．
即对恒成立．∴在上单调递增．
∴当时，．∴，即的取值范围是．
（Ⅱ），．∴．
设，则． 由，得．
当时，；当时，．
∴在上单调递增，在上单调递减．
且，，．显然．
结合函数图象可知，若在上存在极值，则或．
（ⅰ）当，即时，
则必定，使得，且．
当变化时，，，的变化情况如下表：
-
0
+
0
-
-
0
+
0
-
↘
极小值
↗
极大值
↘
∴当时，在上的极值为，且．
∵． 设，其中，．
∵，∴在上单调递增，，当且仅当时取等号．
∵，∴． ∴当时，在上的极值．
（ⅱ）当，即时，则必定，使得．
易知在上单调递增，在上单调递减．
此时，在上的极大值是，且．
∴当时，在上的极值为正数．
综上所述：当时，在上存在极值，且极值都为正数．
22、【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）．
试题解析：（Ⅰ）由消去参数，得．
即直线的普通方程为．
∵，，∴．即曲线的直角坐标方程为．
（Ⅱ）由，得．代入方程，得．
已知为曲线上任意一点，故可设，其中为参数．
则点到直线的距离
，其中
∴点到直线的最小距离为．
23、【答案】(1);(2).
试题解析：（1）函数可化为
当时，，不合题意；当时，，即；当时，，即.综上，不等式的解集为.
（2）关于的不等式有解等价于，由（1）可知，（也可由，得），即，解得.