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- 2021-04-12 发布
3.三角函数、解三角形、平面向量
1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．
任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P(x，y)是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r＝>0，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关．
[问题1] 已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sin α＋cos α的值为________．
答案 －
2．同角三角函数的基本关系式及诱导公式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan α＝.
(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限
角
－α
π－α
π＋α
2π－α
－α
正弦
－sin α
sin α
－sin α
－sin α
cos α
余弦
cos α
－cos α
－cos α
cos α
sin α
[问题2] cos ＋tan＋sin 21π的值为_____________________________________．
答案 －
3．正弦、余弦和正切函数的常用性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x≠＋kπ，k∈Z}
值域
{y|－1≤y≤1}
{y|－1≤y≤1}
R
单调性
在k∈Z上递增；在, k∈Z上递减
在[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z上递增；
在[2kπ，(2k＋1)π]，
k∈Z上递减
在，k∈Z上递增
最值
x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
无最值
奇偶性
奇
偶
奇
对称性
对称中心：
(kπ，0)，k∈Z
对称中心：
，k∈Z
对称中心：
，k∈Z
对称轴：x＝kπ＋，
k∈Z
对称轴：x＝kπ，k∈Z
无
周期性
2π
2π
π
[问题3] 函数y＝sin的单调减区间是________________．
答案 (k∈Z)
4．三角函数化简与求值的常用技巧
解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值．常用到切割化弦、降幂、拆角拼角等技巧．如：
α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]．
α＋＝(α＋β)－，α＝－.
[问题4] 已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.
答案 －
5．解三角形
(1)正弦定理：＝＝＝2R(R为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(ⅱ)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(ⅲ)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(ⅳ)＝2R.
②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC中，A>B⇔sin A>sin B.
(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，cos A＝等，常选用余弦定理判定三角形的形状．
[问题5] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝，b＝，A＝60°，则B＝________.
答案 45°
6．求三角函数最值的常见类型、方法
(1)y＝asin x＋b(或acos x＋b)型，利用三角函数的值域，须注意对字母a的讨论．
(2)y＝asin x＋bsin x型，借助辅助角公式化成y＝·sin(x＋φ)的形式，再利用三角函数有界性解决．
(3)y＝asin2x＋bsin x＋c型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sin x|≤1的约束．
(4)y＝型，反解出sin x，化归为|sin x|≤1解决．
(5)y＝型，化归为Asin x＋Bcos x＝C型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何意义)求解．
(6)y＝a(sin x＋cos x)＋bsin x·cos x＋c型，常令t＝sin x＋cos x，换元后求解(|t|≤)．
[问题6] 函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为________．
答案
解析 y＝2－，∵sin x∈[－1,1]，
∴当sin x＝－时，ymin＝－；
当sin x＝1时，ymax＝1.
∴函数的值域为.
7．向量的平行与平面向量的数量积
(1)向量平行(共线)的充要条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔(a·b)2＝(|a||b|)2⇔x1y2－y1x2＝0.
(2)a·b＝|a||b|cos θ，
变形：|a|2＝a2＝a·a，
cos θ＝.
注意：〈a，b〉为锐角⇔a·b>0且a，b不同向；
〈a，b〉为钝角⇔a·b<0且a，b不反向．
[问题7] 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
答案 22
解析 由题意，＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝－，
所以·＝·
＝2－·－2，
即2＝25－·－×64，
解得·＝22.
8．向量中常用的结论
(1)＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若λ＋μ＝1，则三点A，B，C共线．反之也成立．
(2)在△ABC中，若D是BC边的中点，则＝(＋)．
(3)已知O，N，P在△ABC所在平面内．若||＝||＝||，则O为△ABC的外心；若＋＋＝0，则N为△ABC的重心；若·＝·＝·，则P为△ABC的垂心．
[问题8] 在△ABC中，D是边AB的中点，E是边AC的中点，CD与BE交于点F，设＝a
，＝b，＝xa＋yb，则x，y的值分别为______________．
答案 ，
解析 由题意知，点F为△ABC的重心，
如图，设H为BC的中点，则
＝＝×(＋)＝a＋b，
所以x＝，y＝.
易错点1 忽视角的范围
例1 已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a为大于1的常数)的两根为tan α，tan β，且α，β∈，则tan 的值是________．
易错分析 本题易忽略隐含条件tan α，tan β是方程x2＋4ax＋3a＋1＝0的两个负根，α，β∈，从而导致错误．
解析 ∵a>1，∴tan α＋tan β＝－4a<0，
tan α·tan β＝3a＋1>0，
∴tan α，tan β是方程x2＋4ax＋3a＋1＝0的两个负根．
又α，β∈，
∴α，β∈，即∈.
由tan(α＋β)＝
＝＝，
可得tan ＝－2.
答案 －2
易错点2 图象变换方向或变换量把握不准
例2 已知函数f(x)＝sin，为了得到函数g(x)＝cos 2x的图象，只要将y＝f(x)
的图象向__________平移________个单位长度．
易错分析 (1)没有将f(x)，g(x)化为同名函数；(2)平移时看2x变成了什么，而没有认识到平移过程只是对“x”而言．
解析 g(x)＝sin＝sin，
∴y＝f(x)的图象向左平移个单位长度即可得到y＝g(x)的图象．
答案 左
易错点3 三角函数单调性理解不透
例3 求函数y＝3sin的单调区间．
易错分析 对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数，如果ω<0，要求其单调区间，必须先提出负号，然后去求解，否则单调区间正好相反．
解 y＝3sin＝－3sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数的单调减区间为，k∈Z.
同理，函数的单调增区间为，k∈Z.
易错点4 解三角形时漏解或增解
例4 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝.
(1)若角C＝，则角A＝________；
(2)若角A＝，则b＝________.
易错分析 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c边比a边大，在求得sin A＝＝后，得出角A＝或；在第(2)问中没有考虑角C有两解，由sin C＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2，这样就出现漏解的错误．
解析 (1)由正弦定理＝，
得sin A＝＝，
又a＜c，所以A＜C.所以A＝.
(2)由正弦定理＝，
得sin C＝＝，得C＝或，
当C＝时，B＝，可得b＝2；
当C＝时，B＝，此时得b＝1.
答案 (1) (2)2或1
易错点5 忽视题目中的制约条件
例5 已知函数f(x)＝2cos2x－sin，若在△ABC中，满足f(A)＝，b＋c＝2，求边长a的取值范围．
易错分析 本题中有两点易错：确定角A时忽视范围；求边长a的取值范围时，忽视三角形中两边之和大于第三边的条件．
解 f(x)＝2cos2x－sin
＝1＋cos 2x－
＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝sin＋1.
由题意，f(A)＝sin＋1＝，
化简得sin＝.
因为A∈(0，π)，所以2A＋∈，
所以2A＋＝，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc.
由b＋c＝2知，bc≤2＝1，即a2≥1，
当且仅当b＝c＝1时取等号．
又由b＋c>a，得a<2，
所以a的取值范围是[1,2)．
易错点6 忽视向量共线
例6 已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________________________________________________________________________．
易错分析 误认为θ为锐角⇔cos θ>0，没有排除θ＝0，即两向量同向的情况．
解析 由θ为锐角，可得∴
∴λ的取值范围是.
答案
1．已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．
答案
解析 tan θ＝＝＝－1，
又sin >0，cos <0，
所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝.
2．已知sin αcos α＝，则cos2的值为________．
答案
解析 ∵sin αcos α＝，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝，
∴cos2＝
＝＝＝.
3．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α＝________.
答案 3或－
解析 因为sin α＋2cos α＝，
所以sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝，
所以3cos2α＋4sin αcos α＝，
所以＝，
即＝，
即3tan2α－8tan α－3＝0，
解得tan α＝3或tan α＝－.
4．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．
答案
解析 由对称轴完全相同知，两函数周期相同，
∴ω＝2，∴f(x)＝3sin.
由x∈，得－≤2x－≤，
∴－≤f(x)≤3.
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为________．
答案
解析 ∵cos C＝＝，
又a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2.
∴cos C≥.∴cos C的最小值为.
6．(2017·江苏如皋中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知＝(3，－1)，＝(0,2)，若⊥，＝λ，则实数λ的值为________．
答案 2
解析 ∵在平面直角坐标系xOy中，＝(3，－1)，
＝(0,2)，∴＝(－3,3)，
设C(x，y)，则＝(x－3，y＋1)，
∵⊥，＝λ，
∴－3x＋3y＝0，(x－3，y＋1)＝(0,2λ)，
∴解得x＝y＝3，λ＝2.
7．已知f1(x)＝sincos x，f2(x)＝sin xsin(π＋x)，若设f(x)＝f1(x)－f2(x)，则f(x)的单调增区间是____________．
答案 (k∈Z)
解析 由题意知，f1(x)＝－cos2x，f2(x)＝－sin2x，
f(x)＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，
令2x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，
得x∈(k∈Z)，
故f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
8．在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．
答案 2
解析 由正弦定理知，＝＝，
∴AB＝2sin C，BC＝2sin A.
又A＋C＝120°，
∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C)
＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C)
＝2(sin C＋cos C＋sin C)
＝2(2sin C＋cos C)＝2sin(C＋α)，
其中tan α＝，α是第一象限角，
由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，
因此AB＋2BC有最大值2.
9．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则的值为________．
答案 1
解析 tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，
＝
＝，
分式同除以cos(α＋β)cos(α－β)，
＝＝1.
10．在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝1，AD＝，P为平行四边形内一点，且AP＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为________．
答案 1
解析 ∵＝λ＋μ，
∴||2＝(λ＋μ)2，
即2＝λ2||2＋μ2||2＋2λμ·.
又AB＝1，AD＝，∠BAD＝60°，
∴·＝||||cos 60°＝，
∴＝λ2＋3μ2＋λμ，
∴(λ＋μ)2＝＋λμ≤＋2，
∴(λ＋μ)2≤1，
∴λ＋μ的最大值为1，当且仅当λ＝，μ＝时取等号．
11．(2017·江苏泰州姜堰区质检)已知函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x－.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域；
(3)将函数f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的解析式．
解 f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－＝sin.
(1)所以最小正周期T＝＝π.
(2)当x∈时，2x＋∈，sin∈，
所以f(x)的值域为.
(3)将函数f(x)的图象向右平移个单位，
得到g(x)＝sin＝sin 2x.
12．(2017·江苏天一中学月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin A＝acos B.
(1)求角B的值；
(2)若cos Asin C＝，求角A的值．
解 (1)因为＝，
所以bsin A＝asin B，
又bsin A＝acos B，
所以acos B＝asin B，即tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为cos Asin C＝，
所以cos Asin＝，
cos A＝cos2A＋sin A·cos A
＝·＋sin 2A＝＋cos 2A＋sin 2A＝＋sin＝，
所以sin＝－，
因为B＝，所以0