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- 2021-04-12 发布
2018-2019学年高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本题共12个小题）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解一元二次不等式可得集合，求解指数不等式可得集合，再根据集合的交运算，即可求得结果.
【详解】易知或，，
则.
故选：C.
【点睛】本题考查集合的交运算，涉及一元二次不等式的求解，以及指数不等式的求解，属综合基础题.
2.复数，为z的共轭复数，则（ ）
A. 2 B. -2 C. 2i D. ﹣2i
【答案】A
【解析】
【分析】
把已知代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解：，，
则．
故选：A．
【点睛】本题考查复数的运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的乘除法法则是解题关键．
3.甲、乙两名学生在之前五次物理测试中成绩的茎叶图，如图，（ ）
①甲的平均成绩低，方差较大
②甲平均成绩低，方差较小
③乙的平均成绩高，方差较大
④乙的平均成绩高，方差较小
A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据茎叶图所给的两组数据,分别算出甲和乙的平均数和方差,即可选出正确选项.
【详解】解:由茎叶图知,
甲的平均数是;
乙的平均数是
甲的方差为
乙的方差为
故正确的说法为①④；
故选:A.
【点睛】本题考查了平均数、方差的求法,考查了茎叶图.本题的易错点有两个,一是不能正确地由茎叶图得到原始数据,二是计算上出现问题.
4.已知双曲线中心为原点，焦点在轴上，过点，且渐近线方程为，则该双曲线的方程为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据条件中的渐近线方程,可设双曲线方程为,,把点的坐标代入即可求出结果.
【详解】解：渐近线方程,设双曲线方程为,
将的坐标代入方程得,,求得
则该双曲线的方程为.
故选:C.
【点睛】本题考查了双曲线的方程及性质.若已知双曲线渐近线为 求双曲线的方程时,则根据焦点的位置,设出双曲线方程为,代入已知条件即可求解.
5.已知满足不等式组,则的最小值为（ ）
A. B. C. 2 D. -2
【答案】D
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域,目标函数变形为，通过数形结合可得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.
【详解】解:由约束条件作出可行域如图
化目标函数为
由图可知，当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最小值为-2.
故选:D.
【点睛】本题考查线性规划求最值问题.此类题的解答思路为:根据已知约束条件,画出可行域;将目标函数整理成直线的斜截式,结合目标函数的几何意义,通过平移直线,找到最优解,将最优解的坐标代入目标函数中即可求出最值.注意可行域的边界线的虚实问题.
6.若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由得到这两个向量数量积为0，即,将代入式子中,结合数量积的公式化简即可得到夹角的大小.
【详解】解:非零向量,满足,且
则,.整理得 ,又
所以,即与的夹角为.
故选:A.
【点睛】本题考查了向量的垂直应用,考查了向量的数量积.在向量类的问题中,若已知两个向量垂直,则一般情况下我们即可得到二者的数量积为0.若题目中已知向量的坐标,则接下来代入向量坐标进行化简求值;若未已知向量坐标,则一般情况下,按向量数量积的定义对式子进行化简.
7.如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）
A. 10 B. 21 C. 33 D. 47
【答案】C
【解析】
【分析】
根据所给流程图，按流程图运算，即可求得答案.
【详解】执行程序框图，可得，，，
不满足条件，，，
不满足条件，，，
不满足条件，，，
满足条件，退出循环，输出的值为33.
故选：C
【点睛】本题主要考查了根据流程图求输出结果，解题关键是掌握流程图基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：由给定的三视图得该几何体表示左侧是一个以边长为的正方形为底面，高为的四棱锥，右侧为一个值三棱柱，其底面如俯视图所示，高为的直三棱柱，即可求解其体积．
详解：由给定的三视图可知，
该几何体表示左侧是一个以边长为的正方形为底面，高为的四棱锥，
其体积为；
右侧为一个值三棱柱，其底面如俯视图所示，高为的直三棱柱，
其体积为，
所以该几何体的体积为，故选B．
点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．
9.已知函数是奇函数，且时，，，若函数有2个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据定义在上的奇函数的性质,,可求出的值;函数有2个零点等价于函数的图象与直线有两个交点,数形结合,由图即可求出的取值范围.
【详解】解:因为函数是定义在上的奇函数,所以
即,解得.因为函数有2个零点
所以函数的图象与直线有两个交点,
令.
均在其定义域上单调递增,
在 单调递增, 在 上单调递增.
作出其大致图象,由图可知,.
故选:B.
【点睛】本题考查了奇函数性质,考查了分段函数,考查了函数的零点,考查了函数的单调性.对于考查奇偶性类的题目,若证明函数的奇偶性,一般根据定义来证明;若已知奇偶性求参数的值,一般是代入特殊值进行求解.若函数,其中 均为增函数(减函数),则 也为增函数(减函数);若,其中 为增函数, 为减函数,则为增函数; 若,其中 为减函数, 为增函数,则为减函数.
10.设O为坐标原点，M为圆的圆心，且圆上有一点满足，则（ ）
A. 1或﹣7 B. ﹣1或7 C. 或﹣1 D. 1或
【答案】D
【解析】
【分析】
利用可知，即OC是圆M切线，故，由此即可求解．
【详解】解：，；
OC是圆M的切线，设直线，
则，解得或．
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆相切问题，考查向量的数量积与垂直的关系．由圆心到切线的距离等于圆半径是解决圆切线问题的常用方法．
11.已知函数，，且，.若的最小值为，则函数的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由的最小值为可求出周期为,进而可求 的值,得到函数解析式后, 令,即可求出增区间.
【详解】解:因为函数,且的最小值为,
所以,解得.所以
令,解得
所以函数的单调递增区间为:
故选:B.
【点睛】本题考查了三角函数的图像性质,考查了三角函数单调性的求解.对于 求单调区间时,若,令,可求增区间; 令,可求减区间. 若,令,可求减区间; 令,可求增区间.
12.已知有，若函数在上是增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用，可以得出，联立可以解出的解析式，再利用导数求出其单调性即可求解；
【详解】解：，
；
，；
令，则；
的单调递增区间为，
；.
故选：A．
【点睛】本题考查求函数解析式，考查导数与单调性的关系．解题时需要掌握方程组法求解析式的方法．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.的展开式中，的系数为192，则________．
【答案】1.
【解析】
【分析】
由题意利用二项展开式的通项公式，求出的系数，再根据的系数为192，求得a的值．
【详解】解：的展开式中，通项公式为，
令，求得，故的系数为，则，
故答案为：1．
【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键．
14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则________．
【答案】．
【解析】
【分析】
已知条件用正弦定理化角为边，再由余弦定理可求A，然后代入即可求解．
【详解】解：，由正弦定理可得，，
整理可得，，由余弦定理可得，，
，，则．
故答案为：.
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，解题关键是掌握正弦定理进行边角转换．
15.已知三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且二面角P﹣AB﹣C的大小为120°，若三棱锥P﹣ABC的体积为，，则球O的表面积为________．
【答案】.
【解析】
【分析】
取中点即球心，利用等腰三角形常作辅助线能够证明平面同时得出二面角的平面角，利用棱锥体积公式进行求解求出球半径．
【详解】解：设球半径为r，则，所以O是AB的中点，
因为，所以，，所以平面OPC，为二面角的平面角，=120°，
所以体积，所以，
所以球的表面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查求球的表面积，考查棱锥的体积公式和二面角．解题中利用等腰三角形性质证得线面垂直，找到二面角的平面角，使问题得到解决．
16.已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，直线：与抛物线交于，两点，点在第一象限，若，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
设，，利用焦半径的公式代入，并与抛物线方程联立，求得点的坐标，再代入斜率公式求得的值.
【详解】设，，直线过抛物线的焦点，
∵，，所以，，
∴，
由，得，
∴，，，
∴，.
故答案为：.
【点睛】本题考查抛物线的焦半径、直线与抛物线的位置关系、斜率公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意焦半径公式的运用.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23
题为选考题，考生根据要求作答．
17.已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）当n为何值时，数列的前n项和最大？
【答案】（1）；（2）当时，数列的前n项和最大．
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为d，由．
利用通项公式可得，，解方程组即得．
（2）令，解得n．
【详解】解：（1）设等差数列的公差为d，．
，
联立解得：．
．
（2）令，解得．
当时，数列的前n项和最大．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前项和的最值．解题方法是基本量法，对前项和的最大值问题，可通过解不等式确定值．
18.已知四棱柱的底面是边长为的菱形，且，平面，，于点，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）取中点为，求证四边形为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，通过求解两平面法向量之间夹角的余弦值，从而求得二面角夹角的余弦值.
【详解】（1）证明：∵，，∴是中点，
取中点，连，，如下图所示：
则在菱形中，，//
∵，//，∴，//，
∴四边形为平行四边形，∴//，
又，//，∴四边形为平行四边形，
∴//，∴//，
又平面，平面，
∴//平面.即证.
（2）以为原点，以分别为建立如图所示的空间的直角坐标系.
因为已知该四棱柱为直四棱柱，，，
所以为等边三角形.
因为，所以点是的中点.
故点，，，，
，，.
设平面的法向量为，，.
由得
取，得，，
故.
∵，，，
∴，∴是平面的法向量，
设平面和平面所成锐角为，
则.
即平面和平面所成锐角的余弦值为.
【点睛】
本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合性中档题.
19.某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统计，按海鱼重量（克）得到如图的频率分布直方图：
（1）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
（2）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表：
等级
一等品
二等品
三等品
重量（g）
若经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X，求x的分布列和数学期望．
【答案】（1）610；（2）分布列见解析，．
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图先求出每条海鱼平均重量，由此能估计这批海鱼有多少条．
（2）从这批海鱼中随机抽取3条，的频率为，则，由此能求出X的分布列和数学期望．
【详解】解：（1）由频率分布直方图得每条海鱼平均重量为：
，
经销商购进这批海鱼100千克，
估计这批海鱼有：（条）．
（2）从这批海鱼中随机抽取3条，的频率为，
则，，
，
，
，
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
．
【点睛】本题考查频率分布直方图，考查由频率分布直方图计算期望，考查二项分布的分布列和期望．掌握二项分布的分布列与期望公式是解题关键．
20.已知椭圆的离心率为，焦距为，直线过椭圆的左焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与轴交于点是椭圆上的两个动点,的平分线在轴上,.试判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标;若不过定点，请说明理由.
【答案】(1);(2)过定点
【解析】
【分析】
(1)因为直线过椭圆的左焦点,故令,得,又因为离心率为,从而求出,又因为,求出的值,从而求出椭圆的标准方程;
(2)先求出点的坐标,设直线的方程为,联立方程组,利用根与系数的关系,设,,得到,又因为的平分线在轴上,所以,从而求出的值,得到直线的方程为过定点坐标.
【详解】解:(1)因为直线过椭圆的左焦点,故令,得，
,解得.又,解得.
∴椭圆的标准方程为:.
(2)由(1)得,直线的方程为
令得,,即.设直线的方程为
联立方程组,消去得,
设,,,
则直线、的斜率,
所以
的平分线在轴上,,即
又,,.
即直线的方程为,过定点.
【点睛】本题考查了椭圆的方程,考查了直线与椭圆的位置关系.求椭圆方程时,经常会用到,这里易错点就是和双曲线的 进行混淆.求解直线和圆锥曲线问题时,一般要设出直线方程,与圆锥曲线方程进行联立,消元后韦达定理得到交点坐标的关系,再根据具体的题目往下做.
21.已知a是实常数，函数．
（1）若曲线在处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；
（2）若有两个极值点（），
①求证：；
②求证：．
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.
【解析】
试题分析：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．第一问，求出的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a；第二问，①依题意：有两个不等实根（），设，求出导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；②由①知：，变化，求得的增区间，通过导数，判断，设（0＜x＜1），求得h（x）的单调性，即可得证．
试题解析：（1）由已知可得，（x＞0），切点，
在x=1处的切线斜率为，
切线方程：，
把代入得：a=1；
（2）证明：①依题意：有两个不等实根（），
设则：（x＞0）
当a≥0时，有，所以是增函数，不符合题意；
当a＜0时：由得：，
列表如下：
依题意：，解得：，
综上可得，得证；
②由①知：，变化如下：
由表可知：在[x1，x2]上为增函数，所以：
又，故，
由（1）知：，（）
设（），则成立，所以单调递减，
故：，也就是,
综上所证：成立．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,椭圆 以极坐标系中的点为中心、点为焦点、为一个顶点.直线的参数方程是
,（为参数）.
（1）求椭圆的极坐标方程；
（2）若直线与椭圆的交点分别为，，求线段的长度.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.
(2)联立直线与椭圆,利用韦达定理求出交点坐标的关系,代入弦长公式即可求解.
【详解】解:(1)椭圆以极坐标系中的点为中心、点为焦点、为一个顶点.
所以,,.所以椭圆的方程为
代入 转换为极坐标方程为.
(2)直线的参数方程是,(为参数).转换为直角坐标方程为.
设交点,.所以
整理得.所以,
所以
【点睛】本题考查了直角坐标方程与极坐标方程的转换,考查了直角坐标方程与参数方程的转换,考查了弦长问题.已知直角坐标方程求极坐标方程时,代入整理即可,已知极坐标方程求直角坐标方程时,代入 化简即可.已知参数方程求直角坐标方程时,关键是消参.求直线和圆锥曲线相交的弦长问题时,常用弦长公式 进行计算.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数.
（1）解不等式；
（2）若，恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)由绝对值不等式的解法,化简可得所求解集;
(2)若,恒成立,可得恒成立,由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最大值,运用二次不等式的解法,可得所求范围.
【详解】解:(1)函数,不等式即为
即,即有.因为恒成立
所以,即,可得
则原不等式的解集为.
(2)若,恒成立,可得恒成立
由,可得,即.
解得.则实数t的取值范围是.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,考查了绝对值三角不等式的应用,考查了二次不等式的求解.解含有绝对值的不等式,常用方法有分类讨论法,几何意义解释,函数图像法.对于含参恒成立问题,一般做法是参变分离,求出分离后函数的最值,进而可求参数的取值范围.