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- 2021-04-12 发布
梅河口市第五中学 2018 年下学期高二 4 月
数学试题（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1.若复数（是虚数单位），则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.某工厂生产三种不同型号的产品，产品数量之比为，现用分层抽样的方法 抽取容量为的样本，样本中型号产品有件，则样本容量为（ ）
A. B. C. D.
3．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设（ ） A.三个内角都大于 B. 三个内角都不大于
C. 三个内角至多有一个大于 D. 三个内角至多有两个大于
4.某程序框图如右图所示，该程序执行后输出的等于（ ） A.7 B.15 C.31 D.63
5.已知
若 ，则 （ ）
,
A. B. C. D.
6．12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，
若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
A．168 B．560 C．840 D．1680
7．在区间内随机取两个实数 ， ，则满足的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知为等差数列， 为正项等比数列，公比，若， ，则（ ） A． B． C． D．或
9.假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用（万元），有如下的统计资料：
由资料可知 对呈线性相关关系，且线性回归方程为 ，请估计使用年限为 20
年时，维修费用约为（ ）
A. B. C. D.
10.边长为的等边中， 为边 的中点，若 为线段的中点，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
11.已知数列 的前 项和为 ，且满足，则 =
（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数当 时，关于 的方程 的所有解
的和为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知数集,，则建立从集合 到集合 的不同函数的 个数为 .
14.若二项式 的展开式的常数项为 240，则正实数 .
15.下列说法中：
①终边落在 轴上的角的集合是；②函数图象的一 个对称中心是 ；③函数 在其定义域内是增函数；④为了得到函数
的图象，只需把函数 的图象向右平移个单位长度. 其中正确说法的序号是 .
16.已知定义在上的函数满足：，，则关于 的不等式 的解集为 .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分） 已知直线过定点，且与圆相交于
两点.
（Ⅰ）若直线 的倾斜角为，求线段 中点 的坐标；
（Ⅱ）当的面积最大时，求直线的方程.
18.（本小题满分 12 分）
在一次数学测试中，某班 40 名学生的成绩频率分布直方图如右图所示（学生成绩都在
之间）.
（Ⅰ）求频率分布直方图中的值，并估算该班数学成绩的平均值；
（Ⅱ）若规定成绩达到 90 分及以上为优秀，从该班 40 名学生中任选 2 人，求至少有一人成
绩为优秀的概率.
19.（本小题满分 12 分）
已知数列的前 项和为，对任意的，点在二次函数的图象 上．
（Ⅰ）求通项公式；
（Ⅱ）设，且 ，求数列 的前 项和 .
20.（本小题满分 12 分） 已知函数的周期为 .
（Ⅰ）当时，求函数 的值域；
（Ⅱ）已知 的内角 对应的边分别为 ，若，且 ， 求的面积.
21.（本小题满分 12 分）
已知椭圆的一个顶点 ，离心率为，过左焦点 的直线 交 椭圆于两点，右焦点为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若成等差数列，求直线 的方程.
22.（本小题满分 12 分）
已知函数其中 是自然对数的底数.
（Ⅰ）若在上是单调增函数，求 的取值范围；
（Ⅱ）当时，求整数 的所有值，使方程在上有解.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
A
D
D
C
A
B
C
B
D
B
二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)
13．64 14．2 15．②④ 16． (-¥,0)
三、解答题（第 17 小题 10 分，第 18、19、20、21、22 小题各 12 分，共 70 分）
17.解：（Ⅰ）过点 P(1,0) 且倾斜角为 p 的直线 l 的方程为 y = x -1 .与圆相交，由几何
4
意 义 知 ， CM ^ l
， 所 以 CM 所 在 直 线 方 程 为
y = - x + 2 +
2 . 解 方 程 组
ì y = x - 1,
í
æ 3 +
得点 M 的坐标为 ç
2 1 + 2 ÷
ö
,
÷
（5 分）
î y = - x + 2 + 2 ,
è 2 2 ø
（Ⅱ）当直线 l 有斜离时，设方程为 y = k ( x - 1) .
当 DABC 的面积最大时， CA ^ CB ,所以圆心 C (2,
2 )到直线 y = k ( x - 1) 的距离为 1，
2k -
所以
2 - k
= 1 ，解得 k =
2 ， （8 分）
k 2 + 1 4
当直线 l 无斜离时，即直线方程为 x = 1 ，经检验也符合题意，
所以直线 l 方程为 y =
2 ( x - 1) 和 x = 1 . （10 分）
4
18.解：（Ⅰ）由题意得， (2a + 2a + 3a + 6a + 7a) ´10 = 1，解得 a = 0.005 .（3 分）
平均成绩约为 55 ´ 2
20
+ 65 ´ 3
20
+ 75 ´ 7
20
+ 85 ´ 6
20
+ 95 ´ 2
20
= 76.5
（6 分）
（Ⅱ）90 分及以上人数为 40 ´ 2
20
= 4 人. （8 分）
C 2 5
C
设“至少有一人成绩为优秀”为事件 A ,则 P( A) = 1 - 36 =
40 26
（12 分）
19.解：（Ⅰ）因为点 (n, Sn ) 在二次函数 f ( x) = x
2
的图象上，所以 Sn = n
，（1 分）
当 n ³ 2 时，有 S
n -1
= (n - 1)2 ,所以 a
= Sn
- Sn -1
= n2 - (n - 1)2 = 2n -1 ，（3 分）
n
又 a1 = S1 = 1,而 a1 = 2 ´1 -1 = 1 ， （4 分）
所以 n ³ 1时， an = 2n - 1成立，数列{an }的通项公式为： an = 2n - 1. （5 分）
（Ⅱ）由（1） b
= 2n -1 ，T
= 1 +
3 + 5
+ L +
2n - 1
①
1 1
所以 Tn = 2
2 2
n 2n
+ 3 + 5
23 24
n
+ L +
2 22
2n - 3 +
2n
23 2n
2n - 1
②
2n +1
1 1 æ 1
1 1
1 ö
2n - 1 1
， T
= 1 +
- 1
- 2n - 1
①－②，
Tn = + 2ç 2 + 3 + 4 + L + n ÷ - n +1 n
2 2 2 2 2
(1 n -1 )
n +1
2 è
2n + 3
ø 2 2 2 2 2
所以Tn
= 3 -
2n
. （12 分）
20.解：（Ⅰ） f ( x) = cos 2 wx +
3 sin wx coswx = 1 (1 + cos 2wx) +
2
3 sin 2wx
2
= sinæ 2wx +
pö 1
÷ + . （3 分）
è 6 ø 2
æ
因为T = p,w> 0 ，所以 2p = p，w= 1 .所以 f ( x) = sinç 2 x +
p÷ + 1
2w
p p p 7p 1
è 6 ø 2 ，
p
又 0 £ x £ 2 ，所以 6 £ 2 x + 6 £
6 ，所以 - 2 £ sin(2 x + 6 ) £ 1 ，
æ pö 1 3
é pù
é0, 3 ù
所以 0 £ sinç 2 x + 6 ÷ + 2 £ 2 ，当 x Î ê0, 2 ú 时，函数 f ( x) 的值域为 ê
2 ú .（6 分）
è ø ë û ë û
æ A ö
æ pö 1
æ pö 1
（Ⅱ）因为 f ç
÷ = 1，所以 sinç A +
÷ + = 1，即 sinç A + ÷ =
，由 A Î (0,p) 知
è 2 ø
è 6 ø 2
è 6 ø 2
p < A + p < 7p ，所以 A + p = 5p ，所以 A = 2p . （9 分）
6 6 6 6 6 3
由余弦定理 a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A ，即16 = b2 + c 2 + bc ，所以16 = (b + c)2 - bc ，
因为 b + c = 5 ，所以 bc = 9 ，所以 S
= 1 bc sin A = 1 ´ 9 ´ sin 2p = 9 3
DABC 2
2 3 4
.（12 分）
21.解：（Ⅰ）因为 A(0,1) 为椭圆的一个顶点，所以 b = 1，又离心率为
2 ，即 c = 2 ，
2 a 2
ìb = 1
ï
í
所以解方程组 ï c = 2
得 a =
2 , b = 1, c = 1 ，所以椭圆方程为 x
+ y 2 = 1 .（4 分）
ï a 2 2
î
ïa 2 = b2 + c 2
（Ⅱ）因为 CF2 , CD , DF2
成等差数列，所以 CF2 + DF2
= 2 CD ①, （5 分）
又因为 CF2 + DF2 + CD = 4a = 4
2 ②，由①②解得， CD =
4 2
. （7 分）
3
ì y = k ( x + 1)
í x
当斜率存在时，设直线 l 的方程为 y = k ( x + 1) ，联立方程组 ï 2
ï
+ y 2 = 1
得 x 的方程
î 2
(2k 2 + 1) x 2 + 4k 2 x + 2k 2 - 2 = 0 ，因为直线过椭圆的左焦点，显然 D > 0 ，
设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ，由韦达定理 x1 + x2 = -
4k 2
2
，x1 x2 =
2k 2 - 2
2
代入弦长公式，
2k + 1
2k + 1
CD =
(1 + k 2 )[( x
+ x )2 - 4x x ] =
éæ
(1 + k 2 )êç -
ø
4k 2
2
÷
ö - 4 ´ 2k
- 2 ù 4 2
ú =
1 2 1 2
ç 2k 2
è
ë
+ 1 ÷
2k 2
+ 1 úû 3
整理得 7k 4 - 2k 2 - 5 = 0 ，解得 k 2 = 1, k 2 = - 5 （舍）， k = ±1 ，所以直线 l 的方程为
7
y = x + 1或 y = - x - 1 .当斜率不存在时，经检验不成立. （12 分）
22 解：（Ⅰ） f ¢( x) = [ax 2 + (2a + 1) x + 3]e x ，因为 f ( x) 在 [- 2,2]上是单调增函数，所
以 x Î [- 2,2]时，f ¢( x) ³ 0 恒成立。令 g ( x) = ax 2 + (2a + 1) x + 3 ，对称轴 x = -1 - 1 ，
2a
因为 a >
1 ，所以 - 2 < -1 - 1
2 2a
< 0 ，要使 x Î [- 2,2]时，f ¢( x) ³ 0 恒成立，即 g ( x) ³ 0
时 恒 成 立 ， 所 以 D = (2a + 1)2 - 12a £ 0 恒 成 立 ， 解 得 1 -
3 £ a £ 1 +
2
3
， 所 以
2
1 < a £ 1 +
2
3
. （4 分）
2
（Ⅱ）因为 a = 1 ，设 h( x) = ( x 2 + x + 2)e x - x - 4 ，则 h¢( x) = ( x 2 + 3x + 3)e x - 1 ，令
j( x) = ( x 2 + 3x + 3)e x - 1 ，则j¢( x) = ( x 2 + 5x + 6)e x ，令j¢( x) = 0 ，解得 x = -2,-3
当j¢( x) > 0 时， x < -3 或 x > -2 ，j( x) 是增函数，
当j¢( x) < 0 时， - 3 < x < -2 ，j( x) 是减函数.
所以 x = -3 是极大值点， x = -2 是极小值点，j( x) 的极大值为j(-3) = 3
e2
1
- 1 < 0 ，极
小值为j(-2) = 2 - 1 < 0 . （8 分）
e
1
因为j(-1) =
e - 1 < 0 ，j(0) = 2 > 0 .
所以存在 x0 Î (-1,0) ，当 x Î (-¥, x0 ) 时，j( x) < 0 ， x Î ( x0 ,+¥) 时，j( x) > 0 ，
所 以 h( x)
在 (-¥, x0 )
上 单 调 递 减 ， 在
( x0 ,+¥)
上 单 调 递 增 . 又
h(-4) = 14 > 0, h(-3) = 8
e4 e3
- 1 < 0
，h(0) = -2 < 0, h(1) = 4e - 5 > 0
，由零点存在定理，
可知 h( x) = 0 的根 x1 Î (-4,-3) ， x2 Î (0,1) ，即 t = -4,0
（12 分）