- 85.50 KB
- 2021-04-12 发布
三角函数专练(一)·作业(十六)
1．(2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
解析 (1)由正弦定理得
sinB＋sinC＝2sinAcosB，
故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故00)，其最小正周期为.
(1)求f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图像向右平移个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图像，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有两个实数解，求实数k的取值范围．
解析 (1)f(x)＝sinωxcosωx＋cos2ωx－
＝sin2ωx＋－＝sin(2ωx＋)－1，
由题意知f(x)的最小正周期T＝，T＝＝＝，
所以ω＝2，所以f(x)＝sin(4x＋)－1.
(2)将f(x)的图像向右平移个单位后，得到y＝sin(4x－)－1的图像，再将所得图像所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin(2x－)－1的图像，
所以g(x)＝sin(2x－)－1.
因为0≤x≤，所以－≤2x－≤.
g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有两个实数解，即函数y＝g(x)与y＝－k的图像在区间[0，]上有且只有两个交点，由正弦函数的图像可知－1≤－k<1－1，所以03.5，即>，
即>时，该船没有触礁危险．
三角函数专练(二)·作业(十七)
1．(2016·吉林实验中学)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝(cosA，sinA)，n＝(2cosA，－2cosA)，m·n＝－1.
(1)若a＝2，c＝2，求△ABC的面积；
(2)求的值．
解析 (1)因为m·n＝2cos2A－sin2A＝cos2A－sin2A＋1＝2cos(2A＋)＋1＝－1，所以cos(2A＋)＝－1.又<2A＋<2π＋，所以2A＋＝π，A＝.由12＝4＋b2－2×2×b×cos，得b＝4(舍负值)．所以△ABC的面积为×2×4×sin＝2.
(2)＝＝
＝＝＝2.
2.(2016·福建质检)在△ABC中，B＝，点D在边AB上，BD＝1，且DA＝DC.
(1)若△BCD的面积为，求CD；
(2)若AC＝，求∠DCA.
解析 (1)因为S△BCD＝，即BC·BD· sinB＝，
又B＝，BD＝1，所以BC＝4.
在△BDC中，由余弦定理得，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB，
即CD2＝16＋1－2×4×1×＝13，解得CD＝.
(2)在△ACD中，DA＝DC，可设∠A＝∠DCA＝θ，则∠ADC＝π－2θ，又AC＝，由正弦定理，有＝，
所以CD＝.
在△BDC中，∠BDC＝2θ，∠BCD＝－2θ，
由正弦定理得，＝，即＝，
化简得cosθ＝sin(－2θ)，
于是sin(－θ)＝sin(－2θ)．
因为0<θ<，所以0<－θ<，－<－2θ<，
所以－θ＝－2θ或－θ＋－2θ＝π，
解得θ＝或θ＝，故∠DCA＝或∠DCA＝.
3．(2016·河北七校)设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2＋b2－c2)sinA＝ab(sinC＋2sinB)，a＝1.
(1)求角A的大小；
(2)求△ABC的周长的取值范围．
解析 (1)由(a2＋b2－c2)sinA＝ab(sinC＋2sinB)，结合余弦定理可得2abcosCsinA＝ab(sinC＋2sinB)，
即2cosCsinA＝sinC＋2sin(A＋C)，化简得sinC(1＋2cosA)＝0.
因为sinC≠0，所以cosA＝－，
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为A＝，a＝1，由正弦定理可得
b＝＝sinB，c＝sinC，
所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝1＋sinB＋sinC＝1＋[sinB＋sin(－B)]＝1＋(sinB＋cosB)＝1＋sin(B＋)．
因为B∈(0，)，所以(B＋)∈(，)，
则sin(B＋)∈(，1]，
则l＝a＋b＋c＝1＋sin(B＋)∈(2，1＋].
4．已知函数f(x)＝(sinωx－cosωx)·cosωx＋(其中ω>0)，若f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为.
(1)求y＝f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足(2b－a)cosC＝c·cosA，且f(B)恰是f(x)的最大值，试判断△ABC的形状．
解析 (1)f(x)＝sinωx·cosωx－cos2ωx＋
＝sin2ωx－(2cos2ωx－1)
＝sin2ωx－cos2ωx＝sin(2ωx－)．
因为函数f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为，
所以T＝π，所以＝π，所以ω＝1.
所以f(x)＝sin(2x－)．
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
(2)因为(2b－a)cosC＝c·cosA，
由正弦定理，
得(2sinB－sinA)cosC＝sinC·cosA，
即2sinBcosC＝sinAcosC＋sinCcosA
＝sin(A＋C)＝sinB，
因为sinB≠0，所以cosC＝，所以C＝.
所以00)的最大值为3.
(1)求函数f(x)的对称轴；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，若不等式f(B)0，∴λ＝2.
∴f(x)＝sin2x－cos2x＋1＝2sin(2x－)＋1.
令2x－＝＋kπ，解得x＝＋，(k∈Z)．
∴函数f(x)的对称轴为x＝＋(k∈Z)．
(2)∵＝，由正弦定理，＝可变形得，sin(A＋B)＝2cosAsinC，即sinC＝2cosAsinC，
∵sinC≠0，∴cosA＝，又03.